Abklingkonstante

Darstellung des zeitlichen Verlaufs der Größe

$ x(t) $

bei einer freien gedämpften Schwingung.

Die Abklingkonstante, auch Dämpfungskonstante oder Abklingkoeffizient,^[1] ist bei linearen Schwingungssystemen mit einem Freiheitsgrad das Produkt aus ungedämpfter Eigenkreisfrequenz $\omega _{0}$ und Lehrscher Dämpfung $$ D $$ .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta = \omega_0\cdot D, \, \left | D \right | < 1

Der Zeitverlauf einer linearen Schwingung kann durch die Gleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x(t)=x_0\,e^{-\delta t}\sin(\omega_d\, t+ \varphi_0) \, , mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega_d = \omega_0 \, \sqrt {1 - D^2}

beschrieben werden. Bei positivem Vorzeichen der Abklingkonstanten klingt die Schwingung ab, bei negativem Vorzeichen nimmt die Amplitude der Schwingung exponentiell zu.

Bei einer gedämpften Schwingung (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta > 0 ) ist die Amplitude etwa nach der Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t_\mathrm{\mbox{ü}} = \frac{3}{\delta} auf unter 5 % der Ausgangsamplitude abgeklungen.

Bei gemessenen Sprungantworten beliebiger Schwingungssysteme kann die Abklingkonstante näherungsweise aus dem logarithmischen Dekrement $\Lambda$ und der Schwingungsperiode Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T_\mathrm{d} berechnet werden.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta = \frac{\Lambda}{T_\mathrm{d}}

Das logarithmische Dekrement berechnet sich aus zwei Amplituden, die um die Schwingungsdauer entfernt liegen. Bei linearen Systemen reichen zwei Amplituden aus. Bei schwach nichtlinearen Systemen sollte über mehrere logarithmische Dekremente gemittelt werden. Bei stark nichtlinearen System ist es besser die Zeit zu ermitteln, bis die Amplitude in einen Streifen um ± 5 Prozent des Stationärwerts eingetreten ist.^[2]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Lambda = \ln\frac {A(t)} {A(t+T_\mathrm{d})}

Systeme mit PT1-Verhalten, z. B. die Hintereinanderschaltung einer Feder und eines Dämpfers werden durch die Differentialgleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T_1\cdot \dot y(t) + y(t) = x(t)

beschrieben. Die Zeitkonstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T_1 ist der Kehrwert der Abklingkonstanten.

Siehe auch

Literatur

Hans Dresig, Franz Holzweißig: Maschinendynamik. 10. Auflage. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-16009-7, S. 44 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Einzelnachweise

↑ Eintrag IEV 103-05-24. In: DKE-IEV Deutsche Online-Ausgabe des IEV. Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik in DIN und VDE, Dezember 2009, abgerufen am 20. Dezember 2020: „positive Größe δ im Ausdruck A₀ e^−δt f(t), der eine exponentiell gedämpfte Schwingung beschreibt; dabei ist f(t) eine periodische Funktion“
↑ Otto Föllinger: Regelungstechnik. 6. verbesserte Auflage. Hüthig Verlag 1985. ISBN 3-7785-1137-8

[1] Eintrag IEV 103-05-24. In: DKE-IEV Deutsche Online-Ausgabe des IEV. Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik in DIN und VDE, Dezember 2009, abgerufen am 20. Dezember 2020: „positive Größe δ im Ausdruck A₀ e^−δt f(t), der eine exponentiell gedämpfte Schwingung beschreibt; dabei ist f(t) eine periodische Funktion“

[Föllinger-2] Otto Föllinger: Regelungstechnik. 6. verbesserte Auflage. Hüthig Verlag 1985. ISBN 3-7785-1137-8

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