Bernoulli-Abbildung

Bernoulli-Shift ausgehend von zwei verschiedenen Startwerten $ 0<x_{01}<0{,}5 $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 0{,}5 < x_{02} < 1

Die Bernoulli-Abbildung (oder Bernoulli-Shift) wird als eindimensionales zeitdiskretes dynamisches System mit stückweiser-definierter Systemfunktion definiert durch die Vorschrift Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{n+1} = ax_{n} \bmod 1 mit dem Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a>0 .

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a = 2 liefert die Bernoulli-Abbildung interessante Eigenschaften. Man erhält die Iterationsvorschrift Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{n+1} = 2x_{n} \bmod 1 , also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 2x_{n} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{n} < 0{,}5 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 2x_{n} - 1 für $ x_{n}>0{,}5 $.

Die Bernoulli-Abbildung ist chaotisch.

Mit dem Startwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{0} = 0{,}4 erhält man folgende Iterationswerte:

An dieser Stelle wird nun klar, warum die Bernoulli-Abbildung auch als Bernoulli-Shift bezeichnet wird: die binäre Ziffer wird nach links geshiftet und die Vorkommastelle wird abgeschnitten. D.h. nach jedem Iterationsschritt vergisst das System genau eine Ziffer der binären Darstellung ergo geht ein Bit an Information verloren.

In der binären Darstellung sieht man weiter deutlich, dass die Bernoulli-Abbildung bei der Parametereinstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a = 2 mehrere invariante Mengen besitzt.

• Alle rationalen Anfangswerte, deren binäre Darstellung endlich ist, führen dazu, dass der Orbit nach endlich vielen Schritten beim Fixpunkt $ {\hat {x}}=0 $ landet.
• Alle rationalen Anfangswerte, deren binäre Darstellung periodisch ist, führen dazu dass der Orbit nach endlich vielen Schritten auf einem periodischen Attraktor landet.
• Alle irrationalen Anfangswerte haben eine unendliche und aperiodische binäre Darstellung und bilden deshalb einen aperiodischen Attraktor.