Biegewelle
Biegewellen sind transversale Wellen, die sich in begrenzten Medien mit nichtverschwindender Schubspannung ausbreiten können, beispielsweise in Balken (Anwendungsfall: u. a. Triangel) und in Platten (Anwendungsfall: u. a. Glocken). Im Gegensatz zu Dehnwellen findet die periodische Auslenkung des Mediums senkrecht ("transversal") zur Ausbreitungsrichtung statt, so dass die Welle auch als periodische Änderung des Krümmungsradius beschrieben wird.
Wellengleichung
Balken
Die Wellengleichung einer Biegewelle auf einem Balken lautet in erster Ordnung nach der Euler-Bernoulli-Theorie:
- $ {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}+{\frac {E\cdot I}{\rho \cdot A}}\cdot {\frac {\partial ^{4}z}{\partial x^{4}}}=0 $
mit
- $ z({\vec {x}},t) $ die transversale Auslenkung (in der Abb.: z senkrecht, x waagerecht)
- $ t $ die Zeit
- $ E $ der Elastizitätsmodul
- $ I $ das Flächenträgheitsmoment
- $ E\cdot I $ die Biegesteifigkeit
- $ \rho $ die Dichte des Balkens
- $ A $ die Balkenquerschnittsfläche.
Für eine Dimension (Ortsvariable $ x $) ergibt sich aus dem harmonischen Lösungsansatz
- $ z=z_{0}\cdot e^{i(\omega t+kx)} $
mit
- der Amplitude $ z_{0} $
- der Eulerschen Zahl $ e $
- der imaginären Einheit $ i $
- der Kreisfrequenz $ \omega =2\pi \cdot f $
- der Kreiswellenzahl $ k $
die Dispersionsrelation:
- $ k^{2}={\sqrt {\frac {\rho \cdot A}{E\cdot I}}}\cdot \omega . $
Die Phasengeschwindigkeit $ c={\frac {\omega }{k}} $ ist damit stark von der Frequenz $ f $ (und damit auch von $ \omega $) abhängig:
- $ c={\sqrt {\omega }}\cdot {\sqrt[{4\,}]{\frac {E\cdot I}{\rho \cdot A}}} $.
Platte
Die entsprechende Gleichung für eine Biegewelle auf einer Platte lautet:
- $ {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}+{\frac {E\,h^{2}}{12\rho (1-\mu ^{2})}}\,\nabla ^{4}z=0 $
mit den zusätzlichen Bezeichnungen
- $ h $ die Höhe der Platte
- $ \mu $ die Querkontraktionszahl
- $ \nabla $ der Nabla-Operator.
Diese Gleichung führt auf die Dispersionsrelation
- $ k^{2}={\frac {\sqrt {12}}{h}}\cdot {\sqrt {\frac {\rho \cdot (1-\mu ^{2})}{E}}}\cdot \omega $
und die Phasengeschwindigkeit:
- $ c={\sqrt {\omega }}\cdot {\sqrt[{4\,}]{\frac {h^{2}\cdot E}{12\cdot \rho \cdot (1-\mu ^{2})}}}. $
Gruppengeschwindigkeit
In beiden Fällen ist die Gruppengeschwindigkeit $ c_{g}={\frac {d\omega }{dk}} $ gerade doppelt so groß wie die Phasengeschwindigkeit:
- $ c_{g}=2\cdot c $.
Literatur
- Michael Möser: Technische Akustik. 7. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-71386-9 (google-books)