Das bohr-sommerfeldsche Atommodell, sommerfeldsche Atommodell oder die Sommerfeld-Erweiterung ist eine physikalische Beschreibung der Elektronenbahnen in einem Atom. Es wurde 1915/16 von Arnold Sommerfeld vorgeschlagen und stellt eine Verfeinerung des bohrschen Atommodells dar.
Das bohr-sommerfeldsche Atommodell von 1916 baut auf dem bohrschen Modell von 1913 auf und ist damit eine der älteren Quantentheorien vor Entwicklung der Quantenmechanik. Es wird angenommen, dass sich die Elektronen um den Atomkern auf wohldefinierten Bahnen bewegen, die sich aus den Bewegungsgleichungen zunächst der klassischen Mechanik ergeben, also auf den aus der Planetenbewegung bekannten Ellipsen. Quantentheoretische Prinzipien werden durch zusätzliche Quantisierungsbedingungen (Bohr-Sommerfeld-Quantisierung) eingeführt. Diese führen dazu, dass von allen Bahnen, die nach der klassischen Mechanik möglich wären, nur eine kleine Auswahl erlaubt ist. Insbesondere können auch die mit der Bahnbewegung verbundenen Erhaltungsgrößen (Energie und Drehimpuls) nicht mehr beliebige, sondern nur noch bestimmte, diskrete Werte annehmen, sie sind also „gequantelt“. Beim Drehimpulsvektor betrifft die Quantelung nicht nur den Betrag, sondern auch die Komponente längs einer vorgewählten z-Achse, anschaulich gesprochen also den Winkel zwischen Drehimpuls und z-Achse (Richtungsquantelung).
Der unmittelbare Fortschritt des sommerfeldschen Atommodells gegenüber dem bohrschen Atommodell bestand vor allem darin, dass es die Feinstruktur des Wasserstoffspektrums, d. h. die kleinen Aufspaltungen der klassisch berechneten Energien, berechenbar machte (Feinstrukturkonstante), indem es die Bewegungsgleichung der speziellen Relativitätstheorie berücksichtigt. Die Feinstruktur wird mit der Erhöhung der trägen Masse begründet, welche die spezielle Relativitätstheorie für steigende Geschwindigkeit voraussagt. Bei gleicher Hauptquantenzahl n ist dieser Effekt umso stärker, je näher das Elektron im Perihel am Kern vorbeifliegt, je größer also die numerische Exzentrizität der Ellipse bzw. je kleiner der Bahndrehimpuls ist. Daher haben, anders als nach der klassischen Mechanik, die durch den Bahndrehimpuls unterschiedenen Bahnen zu derselben Hauptquantenzahl nicht mehr exakt das gleiche Energieniveau.
Des Weiteren ergeben sich (bei vorgegebener z-Achse) aus dem sommerfeldschen Atommodell zu jeder Hauptquantenzahl n nicht nur eine mögliche Bahn (wie im bohrschen Atommodell), sondern mehrere Bahnen in bestimmter Anzahl, die später als die Anzahl der zu n-ten Schale gehörenden Atomorbitale erkannt wurde, eine für die Erklärung des Periodensystems der chemischen Elemente zentrale Größe. Aus der Richtungsquantelung ergibt sich weiter, dass magnetische und elektrische Felder bei den Bahnen mit gleicher Hauptquantenzahl und gleichem Drehimpulsbetrag eine zusätzliche Energieaufspaltung bewirken, wie sie als (normaler) Zeeman-Effekt und Stark-Effekt schon beobachtet worden waren.
Das bohr-sommerfeldsche Atommodell hat wegen seiner Anschaulichkeit hohen Erklärungswert; statt der bisher im bohrschen Modell begründeten einzigen Quantenzahl der Elektronenzustände lieferte es richtig alle drei räumlichen Quantenzahlen mit ihren jeweiligen Wertebereichen und ermöglichte damit erstmals eine wenigstens qualitative physikalische Erklärung des Periodensystems.
Das bohr-sommerfeldsche Modell versagt aber wie schon das bohrsche Modell bei allen Berechnungen der Elektronenbewegung, wenn das Atom mehr als ein Elektron besitzt. Dass dieser Fehlschlag von der grundlegenden, aber irrigen Annahme definierter, klassischer Teilchenbahnen herrührte, wurde ab 1925 deutlich, als die neue Quantenmechanik wesentlich mehr Beobachtungen erklären und Vorhersagen machen konnte, und diese sogar zumeist quantitativ richtig. In der Quantenmechanik kann es keine definierten Bahnen mehr geben, was man z. B. an der heisenbergschen Unschärferelation erkennen kann, sondern nur noch Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Während im Modell von Niels Bohr die möglichen Bahnen des Elektrons Kreise um den Atomkern sind, führte Sommerfeld als Erweiterung zu diesen Kreisbahnen allgemeinere Ellipsenbahnen ein. Der Kern befindet sich nach diesem Modell in einem der beiden Brennpunkte einer Bahnellipse, so dass sich eine geometrische Konfiguration wie bei den Planetenbahnen nach den keplerschen Gesetzen ergibt. Auf diesen Bahnen soll sich – wie im bohrschen Modell – das Elektron stabil bewegen, ohne dass die von der klassischen elektromagnetischen Theorie für diesen Fall geforderte Abstrahlung elektromagnetischer Wellen entsteht.
Das bohr-sommerfeldsche Modell stellt also ein keplersches Planetensystem im Kleinen dar, während das bohrsche Modell der älteren kopernikanischen Vorstellung reiner Kreisbahnen entspricht. Diese Analogie ist naheliegend, da die Kraftfelder der Coulombkraft des Atomkerns und der Gravitation der Sonne die gleiche Form haben:
Bei Berücksichtigung der speziellen Relativitätstheorie ergeben sich Bahnen, die nicht exakt elliptisch sind, aber näherungsweise die Form einer Ellipse haben, deren Hauptachse sich langsam dreht (Periheldrehung).
Eine Ellipse kann nicht mehr wie ein Kreis durch einen einzigen Parameter (Radius) beschrieben werden, vielmehr benötigt man dazu zwei (z. B. große und kleine Halbachse). Deshalb sind bei Ellipsenbahnen zwei Quantenzahlen notwendig, um die Form festzulegen. Eine dritte benötigt man für die Orientierung der Bahnebene im Raum. Eine Quantenzahl davon, aber auch nur eine, kann die bohrsche Quantisierung der Kreisbewegung beisteuern, denn im kugelsymmetrischen Potential des Atomkerns besitzen alle Bahnen einen bestimmten Drehimpuls. Sommerfeld verallgemeinerte Bohrs Quantisierung dahingehend, dass jede Koordinate
Darin ist
Das Phasenintegral ist ein Kurvenintegral, das die Fläche innerhalb der betreffenden Bahn in der
Im 1-dimensionalen Fall kann
Bei Bewegung in zwei oder drei Dimensionen kann man als Koordinate z. B. einen Drehwinkel
und es ergibt sich die Drehimpulsquantisierung wie bei Bohr zu
Sommerfeld betrachtet das System in den drei Kugelkoordinaten (Abstand r und zwei Winkel) und unterwirft jede der neuen Quantisierungsbedingung. So erhält er drei Quantenzahlen: die radiale
Die Quantenzahl n, die wie im bohrschen Modell und in den Rydberg-Formeln auch hier die Energie bestimmt, wird nun Hauptquantenzahl genannt und erweist sich als
bzw. eigentlich als
Die azimutale Quantenzahl
wobei der größtmögliche Drehimpuls (
Nach der quantenmechanischen Berechnung, die ab 1925 das Bohr-Sommerfeld-Modell ablöste, ist der Drehimpuls allerdings um genau eine Einheit
(s. auch nebenstehende Abb.). Zu
Die magnetische Quantenzahl
Der Wertebereich dieser Quantenzahl ist
insgesamt
Das sich um den Atomkern bewegende Elektron bildet einen magnetischen Dipol
Neben diesen im bohr-sommerfeldschen Atommodell eingeführten räumlichen Quantenzahlen gibt es für jedes Elektron auch noch die Spinquantenzahl
Aufgrund der durch das sommerfeldsche Modell ermöglichten Ordnung im Verständnis des Atomaufbaus konnte Wolfgang Pauli 1925 das Pauli-Verbot entdecken: Jede Bahn, die durch die drei räumlichen Quantenzahlen bestimmt ist, kann maximal zwei Elektronen aufnehmen, die dann entgegengesetzte Spinquantenzahl haben müssen.
en:Bohr model#Refinements