Bragg-Spiegel

Breaking News
Zufallsbild: Gerd Altmann / Pixabay

Bragg-Spiegel

Drei Bragg-Spiegel die im gelben, roten und blauen Bereich des optischen Lichts ihr Stoppband haben und diesen Teil reflektieren (links). Der transmittierte Teil des Lichts erscheint in der Komplementärfarbe (rechts).

Ein Bragg-Spiegel (abgekürzt DBR von {{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Multilingual:149: attempt to index field 'data' (a nil value)) bezeichnet einen effizienten Reflektor, der in Lichtleitern oder in optischen Resonatoren eingesetzt wird. Er besteht aus alternierenden, dünnen Schichten unterschiedlicher Brechungsindizes. Meist bestehen die Schichten aus Dielektrika. Darum verwendet man bei solch einem Reflektor auch den Begriff dielektrischer Spiegel. An jeder Grenzschicht wird ein Teil der elektromagnetischen Welle des Lichtes gemäß den fresnelschen Formeln reflektiert. Wenn die Wellenlänge nahe dem Vierfachen der optischen Weglänge der Schichten liegt, dann interferieren die reflektierten Strahlen konstruktiv und es entsteht ein hochqualitativer Reflektor. Der Bereich, in dem die Reflexion sehr hoch ist, heißt Stoppband. Licht, dessen Wellenlänge innerhalb des Stoppbands liegt, kann sich in der Struktur nicht ausbreiten.

Charakteristika

Datei:Bragg Spiegel Prinzip.png
Die ersten 4 Lagen eines Bragg-Spiegels. Jede Lage hat eine optische Weglänge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\lambda_0}{4} . Somit entsteht bei der Wellenlänge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_0 konstruktive Interferenz.
Datei:DBRREFL.png
Berechnete Reflektivität eines idealen Bragg-Spiegels im Bereich des Stoppbands.

Bragg-Spiegel bestehen aus alternierenden, dielektrischen dünnen Schichten mit niedrigem und hohem Brechungsindex. Die maximale Reflektivität für eine Wellenlänge wird erreicht, wenn alle Schichten eine optische Dicke von genau einem Viertel der Wellenlänge aufweisen. In der Skizze rechts sind 4 Schichten eines Bragg-Spiegels illustriert. Trifft Licht senkrecht auf den Bragg-Spiegel, so kommt es an den Grenzflächen von niedrigem zu hohem Brechungsindex (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_L ,Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_H ) zu einer Phasenverschiebung des elektrischen Feldvektors des Lichts von einer halben Wellenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\lambda}{2} . Bei den Übergängen von hohem zu niedrigem Brechungsindex ist dies jedoch nicht der Fall. Um konstruktive Interferenz des Bragg-Spiegels zu erzeugen, muss die gesamte Phasendifferenz jedoch ein Vielfaches der Wellenlänge des einfallenden Lichtes sein. Um konstruktive Interferenz an allen Grenzschichten zu erreichen, muss also die optische Weglänge eines jeden Dünnfilmes $ {\frac {\lambda }{2}} $ sein. Die Bedingung für maximale Reflektivität des Bragg-Spiegels kann nun wie folgt ermittelt werden. Für konstruktive Interferenz muss die gesamte Phasenverschiebung ein ganzzahliges Vielfaches Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m der Wellenlänge des einfallenden Lichtes sein.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 2n_Ld_L + \frac{\lambda}{2} = 2n_Hd_H + \frac{\lambda}{2} = m\lambda

Es ergibt sich somit folgende Bedingung für die optische Weglänge der Dünnschichten des Bragg-Spiegels.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_Hd_H=n_Ld_L=\frac{(2m-1)\lambda}{4}

Ein Bragg-Spiegel zeigt daher konstruktive Interferenz bei mehreren Wellenlängen. Es gibt also mehrere Wellenlängenbereiche konstruktiver Interferenz bei denen ein Maximum der Reflexion auftritt. Die Wellenlänge, für die maximale Reflektivität bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m=1 erfüllt ist, wird als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_0 bezeichnet und liegt in der Mitte des sogenannten Stoppbands eines Bragg-Spiegels. Im Bild rechts ist das berechnete Reflexionsspektrum eines Bragg-Spiegels im Bereich des Stoppbands und $ \lambda _{0} $ abgebildet. Die Reflektivität für diese Wellenlänge zu:[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R= \left[\frac{n_o (n_2)^{2N} - n_s (n_1)^{2N}}{n_o (n_2)^{2N} + n_s (n_1)^{2N}}\right]^2,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_o der Brechungsindex des Umgebungsmediums ist, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_1 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_2 die Brechungsindizes der beiden Materialien und $ n_{s} $ der Brechungsindex des Substrats. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N ist die Anzahl der Schichtpaare. Unter der Voraussetzung, dass beide Materialien unterschiedliche Brechungsindizes haben, ergibt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lim\limits_{N\to \infty} R =1 . Es ist also möglich eine beliebig hohe Reflektivität zu erreichen, wenn nur genug Schichtpaare verwendet werden.

Die Frequenz-Breite Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta f_0 des Stoppbands berechnet sich wie folgt:[2]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\Delta f}{f_0}=\frac{4}{\pi}\arcsin\left\vert \frac{n_1-n_2}{n_1+n_2} \right\vert .

Physikalische Wirkungsweise

Reflexionsgrad

Datei:Dünnfilm skizze matrix transfer methode herleitung.png
Abbildung zur Herleitung der Matrix-Transfer-Methode anhand eines Dünnfilmes auf einem Substrat

In diesem Abschnitt wird die Berechnung der Reflektivität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R eines Bragg-Spiegels erläutert. Der Leser kann sich dabei am Bild rechts orientieren, wo ein Dünnfilm auf einem Substrat skizziert ist. An der Grenzfläche zwischen Luft und Dünnfilm kommt es zur Reflexion einer elektromagnetischen Welle. Die einfallende Welle und reflektierte Wellenlänge haben die Wellenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{k_0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{k'_0} . Weiters hat die an der ersten Grenzfläche transmittierten Welle den Wellenvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{k_1} und die an der zweiten Grenzfläche reflektierte Welle wird durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{k'_1} beschrieben. Letztendlich hat die Welle die sich ins Substrat ausbreitet den Wellenvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{k_2} . Die Vektoren der magnetischen Feldstärke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{H} sowie der elektrischen Feldstärke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{E} sind in analoger Weise beschriftet. Die Vektoren der magnetischen Feldstärke zeigen in die Bildebene (markiert durch ein Kreuz) bei reflektierten Wellen und aus der Bildebene für einlaufende Wellen (markiert durch einen Punkt). Am ersten Phasenübergang muss die folgende Bedingung für die entsprechenden Amplituden der elektrischen Feldstärke-Vektoren gelten. Dies folgt aus den fresnelschen Gleichungen, die besagen, dass die Tangentialkomponenten der elektrischen Feldvektoren an einer Grenzfläche stetig sein müssen.[3]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_0+E_0'=E_1+E_1'

Gleiches gilt für die Amplituden der magnetischen Feldstärke. Da jedoch bei der Reflexion die Orientierung der Vektoren umgekehrt wird, werden die reflektierten Amplituden abgezogen.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H_0-H_0'=H_1-H_1'

Die Amplituden der magnetischen Feldstärke können durch die entsprechenden Amplituden der elektrischen Feldstärke ausgedrückt werden. Man bedient sich dabei der Beziehung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H= \frac{n}{\mu c}E . Der Brechungsindex wird durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n repräsentiert, während $ c_{0} $ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum darstellt und die magnetische Permeabilität mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu gekennzeichnet ist. Unter der Annahme, dass die relative magnetische Permeabilität für alle beteiligten Materialien annähernd 1 ist, so erhält man folgende Gleichungen da man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_0 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu kürzen kann.[4]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_0(E_0-E_0')=n_1(E_1-E_1')

Somit sind die Stetigkeitsbedingungen an der ersten Grenzfläche durch die Amplituden der elektrischen Feldstärken mit zwei Gleichungen ausgedrückt. Selbiges kann auch für die zweite Grenzfläche gemacht werden. Dazu müssen die Amplituden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_1 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E'_1 jedoch mit einem zusätzlichen Phasenterm angeschrieben werden. Beide Amplituden ohne Phasenterm entsprechen den Bedingungen an der ersten Grenzfläche. Da der Wellenvektor der transmittierten Welle in positive x-Richtung zeigt, wird die Amplitude an der zweiten Grenzfläche durch eine positive Phasenverschiebung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k_1d_1 beschrieben. Da der Wellenvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{k'_1} in negative x-Richtung zeigt, kann die entsprechende Phasenverschiebung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -k_1d_1 angeschrieben werden. In beiden Fällen kennzeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d_1 die Schichtdicke des Dünnfilmes. Mit Hilfe dieser Überlegungen gelangt man zu zwei Gleichungen für die zweite Grenzfläche.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_1e^{\mathrm ik_1d_1} + E_1'e^{-\mathrm ik_1d_1}=E_2
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_1E_1e^{\mathrm ik_1d_1} - n_1E_1'e^{-\mathrm ik_1d_1}=n_2E_2

Man schreibt nun beide Gleichungen mit Imaginär- und Realteil an:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (E_1+E_1')\cos(k_1d_1)+\mathrm i(E_1-E_1')\sin(k_1d_1)=E_2
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_1(E_1-E_1')\cos(k_1d_1)+\mathrm i n_1(E_1+E_1')\sin(k_1d_1)=n_2E_2

Mit den eingangs erläuterten Stetigkeitsbedingungen an der ersten Grenzfläche kann man die beiden letzten Gleichungen in Matrix-Form anschreiben.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M\binom{E_0+E_0'}{n_0(E_0-E_0')}=\binom{E_2}{n_2E_2}

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M=\begin{pmatrix} \cos(k_1d_1) & \frac{\mathrm i}{n_1}\sin(k_1d_1) \\ \mathrm i n_1 \sin(k_1d_1) & \cos(k_1d_1) \end{pmatrix}

Dividiert man schlussendlich noch durch $ E_{0} $ und invertiert die Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M' so gelangt man zu folgenden Ausdrücken. Die erste Gleichung enthält den Reflexionskoeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r=\frac{E'_0}{E_0} , sowie den Transmissionskoeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t=\frac{E_2}{E_0} .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \binom{1}{n_0} + \binom{1}{-n_0}r=M'\binom{1}{n_2}t
$ M'={\begin{pmatrix}\cos(k_{1}d_{1})&-{\frac {\mathrm {i} }{n_{1}}}\sin(k_{1}d_{1})\\-\mathrm {i} n_{1}\sin(k_{1}d_{1})&\cos(k_{1}d_{1})\end{pmatrix}} $
Datei:Matrix transfer methode veranschaulichung.png
Skizze zum Rechengang der Berechnung der Reflektivität eines Bragg-Spiegels mit Hilfe der Matrix-Transfer-Methode

Man kann somit sowohl den Transmissions- als auch Reflexionskoeffizienten für einen Dünnfilm auf einem Substrat berechnen. Um die Reflektivität eines Bragg-Spiegels berechnen zu können muss man jedoch mehrere Lagen berücksichtigen. Dies kann man tun, indem man in die obige Gleichung eine Matrix für jeden Dünnfilm einsetzt. Anschaulich gesprochen bedeutet dies, dass man ausgehend von der n-ten Schicht die Bedingungen an der ersten Grenzfläche ermitteln kann. Dies ist in der Abbildung rechts verdeutlicht. Man nennt dieses Verfahren Matrix-Transfer-Methode.[4]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \binom{1}{n_0} + \binom{1}{-n_0}r=M_1'M_2' \ldots M_{N-1}'M_N'\binom{1}{n_s}t

Letztendlich gelangt man mit der obigen Formel zu der maximalen Reflektivität des Bragg-Spiegels Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R=r^2 bei der Wellenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_0 . Man bedient sich dabei der Tatsache, dass bei der Wellenlänge $ \lambda _{0} $ alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): kd Terme den Wert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\pi}{2} haben.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R= \left[\frac{n_o (n_2)^{2N} - n_s (n_1)^{2N}}{n_o (n_2)^{2N} + n_s (n_1)^{2N}}\right]^2

Bandbreite

Im vorigen Abschnitt wurde erläutert, dass der Reflexionskoeffizient an der obersten Schicht des Bragg-Spiegels mit Hilfe der Matrix-Transfer-Methode berechnet werden kann. Durch Umformung der Matrix-Transfer Gleichung des vorigen Kapitels gelangt man zu folgendem Ausdruck, der die Amplituden der magnetischen und elektrischen Feldstärke bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z=0 mit den Amplituden bei $ z=d_{1}+d_{2}=d $ miteinander verknüpft. Hier sind die Dicken der ersten beiden Lagen des Bragg-Spiegels zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d zusammengefasst. Gemäß den Ausführungen im letzten Abschnitt ist die Transfer-Matrix durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M_d=M'_1M'_2 gegeben.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \binom{E(0)}{H(0)}=M_{d}\binom{E(d)}{H(d)}

Um weiter fortzufahren bedient man sich des Bloch-Theorems. Die Amplituden einer elektromagnetischen Welle in einem Medium mit periodisch variierenden Brechungsindex mit Periodenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d sind bei $ z=d $ durch deren Werte bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z=0 gegeben, multipliziert mit einem Phasenfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e^{iKd} . Der Wellenvektor der sich im Bragg-Spiegel ausbreitenden elektromagnetischen Welle ist durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): K gegeben.[5][6] Man gelangt schlussendlich zu folgendem Ausdruck:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \binom{E(0)}{H(0)}=e^{-\mathrm iKd}\binom{E(d)}{H(d)}

Kombiniert man die ersten beiden Gleichungen dieses Abschnitts so gelangt man zu folgender Eigenwertgleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M_{d}\binom{E(d)}{H(d)}=e^{-\mathrm iKd}\binom{E(d)}{H(d)}

Ziel ist es nun einen Ausdruck für den Wellenvektor $ K $ zu finden. Wenn dieser imaginäre Werte annimmt, so fallen die Komponenten der elektromagnetischen Welle exponentiell mit der Schichtdicke ab. Das heißt, dass sich die elektromagnetische Welle nicht im Spiegel ausbreiten kann. Der Bereich in dem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): K imaginär ist, entspricht jenen Wellenlängenbereichen in denen Bragg-Spiegel ihre Reflexionsmaxima zeigen. Um nun also einen Ausdruck für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): K in Abhängigkeit von der Wellenlänge zu finden bedient man sich erst der Tatsache, dass die Determinante von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M_d 1 ist. Die Determinante einer Matrix ist zugleich aber auch durch das Produkt ihrer Eigenwerte gegeben. Ein Eigenwert ist bereits durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e^{-\mathrm iKd} gegeben, was bedingt, dass der verbleibende Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e^{iKd} gegeben sein muss. Schlussendlich ist die Spur der Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M_d durch die Summe der Eigenwerte definiert. Unter Verwendung der Definition des Kosinus mit imaginären Exponentialfunktionen erhält man letztendlich folgende Gleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e^{-iKd} + e^{iKd}=2\cos(Kd)=2\cos(k_1d_1)\cos(k_2d_2)-\Bigl(\frac{n_2}{n_1}+\frac{n_1}{n_2}\Bigr)\sin(k_1d_1)\sin(k_2d_2)

Durch weiteres Umstellen und Ausdrücken der Wellenzahlen durch die Wellenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda erhält man weiters:

Datei:Photonic band bragg spiegel.png
Photonische Bandstruktur eines idealen Bragg-Spiegels und die berechneten Reflexionsspektren mit zunehmender Anzahl an Schichten mit alternierendem Brechungsindex
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): K =\arccos\left(\cos(k_1d_1)\cos(k_2d_2)-\frac{1}{2}\left(\frac{n_2}{n_1}+\frac{n_1}{n_2}\right)\sin(k_1d_1)\sin(k_2d_2)\right)
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): K = \arccos\left(\cos\left(\frac{2\pi n_1d_1}{\lambda}\right) \cos\left(\frac{2\pi n_2d_2}{\lambda}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{n_2}{n_1}+\frac{n_1}{n_2}\right) \sin\left(\frac{2\pi n_1d_1}{\lambda}\right)\sin\left(\frac{2\pi n_2d_2}{\lambda}\right)\right)

Die letzte Gleichung beschreibt nun den Wellenvektor $ K $ in Abhängigkeit von der Wellenlänge des senkrecht einfallenden Lichtes. Ein Plot davon ist in der Abbildung rechts zu sehen, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): K auf der x-Achse in Einheiten von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\pi}{d} aufgetragen ist. Bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\pi}{d} nimmt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): K komplexe Werte an, was den Peaks im Reflexionsspektrum des Bragg-Spiegels entspricht. Passend dazu sind im Bild rechts auch die Reflexionsspektren von dementsprechenden Bragg-Spiegeln mit mehreren Dünnfilm-Lagen aufgetragen. Je mehr Lagen der Spiegel hat umso besser entspricht er einem idealen Bragg-Spiegel und das Stoppband stimmt besser mit dem Bereich von komplexen Wellenvektoren überein. Weiters sieht man wie im vorigen Abschnitt hergeleitet, dass die Reflektivität mit der Anzahl der Dünnfilmschichten zunimmt.

Für einen idealen Bragg-Spiegel mit unendlich vielen Dünnfilm-Lagen lässt sich auch ein analytischer Ausdruck für die Breite des Stoppbands finden. Man setzt dazu das Argument des Arkuskosinus-Terms -1 oder 1, da dieser ab diesen Werten nicht mehr im reellen Bereich definiert ist. Weiters führt man die Phasendifferenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta_e ein. Somit kann man die Sinus- und Kosinus-Terme zusammenfassen, da deren Argumente in einem Bragg-Spiegel die gleichen Werte haben.

$ -1=\cos ^{2}(\delta _{e})-{\frac {1}{2}}{\Bigl (}{\frac {n_{2}}{n_{1}}}+{\frac {n_{1}}{n_{2}}}{\Bigr )}\sin ^{2}(\delta _{e}) $

Durch Umstellen gelangt man zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cos^2(\delta_e)=\Bigl(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\Bigl)^2

Weiters kann man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta_e mit Hilfe der Hilfsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta g schreiben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta_e=\frac{\pi \lambda_0}{2\lambda_e}=\frac{\pi}{2}(1 \pm \Delta g)

Mit Hilfe der letzten Gleichung gelangt man zu:

$ \cos ^{2}(\delta _{e})=\sin ^{2}(\pm {\frac {\pi \Delta g}{2}}) $

Schlussendlich erhält man einen Ausdruck für die Breite des Stoppbands. Anstatt der Wellenlänge wie bisher wird das Stoppband durch Frequenzen ausgedrückt. Die zentrale Frequenz des Stoppbands ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f_0 während Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta f die Breite des Stoppbands charakterisiert.[2]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\Delta f}{f_0}=\frac{4}{\pi}\arcsin\left\vert \frac{n_1-n_2}{n_1+n_2} \right\vert

Herstellung

Die alternierenden Lagen von Dielektrika eines Bragg-Spiegels können mit unterschiedlichen Beschichtungsverfahren hergestellt werden, zum einen durch physikalische Gasphasenabscheidung wie Sputtern[7] oder Aufdampfen[8] zum anderen chemische Gasphasenabscheidung[9] oder mit Hilfe der Sol-Gel-Methode[10]. Eine weitere Methode um Bragg-Spiegel herzustellen ist das elektrochemische Porösizieren von Silizium-Wafern. Dabei kann man die Porosität maßgenau einstellen. Variiert man die Porosität zwischen hoher und niedriger Porosität, so erhält man eine Abfolge von Schichten mit niedrigem und hohem Brechungsindex.[11] Das elektrochemische Porösizieren erlaubt im Gegensatz zu den vorher genannten Methoden auch die einfache Realisierung von Spiegeln mit stetig variierenden (z. B. sinusförmigen) Brechungsindex-Profilen. Solche Spiegel werden Rugate-Filter genannt.[12]

Anwendung

Datei:Two Broadband Dielectric Mirrors.jpg
Zwei dielektrische Spiegel in einem Versuchsaufbau

Bragg-Spiegel werden bei vielen Halbleiterlasern wie Oberflächenemittern (VCSEL)[13], optisch gepumpten Halbleiterlasern (VECSEL), Laserdioden, DFB- und DBR-Lasern eingesetzt. Bei vielen Lasern werden Bragg-Spiegel als Spiegel verwendet, da die Wellenlänge meist genau festgelegt ist. Somit kann man mit Bragg-Spiegeln deutlich höhere Reflektivitäten erreichen als mit metallischen Spiegeln. Außerdem lassen sich Bragg-Spiegel als dichroitische Spiegel verwenden, die eine Farbe fast vollständig reflektieren und andere Farben annähernd vollständig transmittieren. Durch die Verwendung von λ/2- anstelle von λ/4-Schichten ergibt sich ein Interferenzfilter und bei Verwendung von dielektrischen Materialien ein dielektrisches Filter.

Bragg-Spiegel lassen sich auch gut in Glasfasern integrieren, wobei man von Faser-Bragg-Gittern spricht. Hier gelten die gleichen Gesetzmäßigkeiten wie auch bei anderen Bragg-Spiegeln.

Neben den bisher beschriebenen Anwendungsfeldern ist die potentielle Anwendung von porösen Bragg-Spiegeln ein aktueller Forschungsgegenstand. Mögliche Anwendungsgebiete gibt es im Bereich der analytischen Chemie sowie in der Gassensorik.[11]

Einzelnachweise

  1. ↑ C. J. R. Sheppard: Approximate calculation of the reflection coefficient from a stratified medium. In: Pure and Applied Optics: Journal of the European Optical Society Part A. 4. Jahrgang, Nr. 5, 1995, S. 665, doi:10.1088/0963-9659/4/5/018, bibcode:1995PApOp...4..665S.
  2. ↑ 2,0 2,1 H. A. Macleod: Thin-Film Optical Filters. 3. Auflage. Institute of Physics Publishing, Bristol/Philadelphia 2001, ISBN 0-7503-0688-2 (Erstausgabe: 1986).
  3. ↑ Rice University MOOC: Waves & Optics. Abgerufen am 11. Mai 2017 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 149: attempt to index field 'data' (a nil value)).
  4. ↑ 4,0 4,1 Paul Anton Letnes: Wave propagation in layered structures - Lecture. Abgerufen am 11. Mai 2017 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 149: attempt to index field 'data' (a nil value)).
  5. ↑ Femius Koenderink: Vortrag am Amolf Institut für Materialwissenschaften. (PDF) Abgerufen am 11. Mai 2017 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 149: attempt to index field 'data' (a nil value)).
  6. ↑ Polina Anikeeva: Vorlesungsskript vom MIT-Electronic, Optical and Magnetic Properties of Materials. (PDF) Abgerufen am 11. Mai 2017 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 149: attempt to index field 'data' (a nil value)).
  7. ↑ A. Scherer, M. Walther, L. M. Schiavone, B. P. Van der Gaag, E. D. Beebe: High reflectivity dielectric mirror deposition by reactive magnetron sputtering. In: Journal of Vacuum Science & Technology A: Vacuum, Surfaces, and Films. Band 10, Nr. 5, 1. September 1992, S. 3305–3311, doi:10.1116/1.577816.
  8. ↑ I-Wen Feng Hongxing Jiang: SiO2/TiO2 distributed Bragg reflector near 1.5 μm fabricated by e-beam evaporation. In: Journal of Vacuum Science & Technology A. 31. Jahrgang, 2013, S. 061514, doi:10.1116/1.4823705.
  9. ↑ David Massoubre: Vertically Conductive Single-Crystal SiC-Based Bragg Reflector Grown on Si Wafer. In: Scientific Reports. 5. Jahrgang, 2015, S. 17026, doi:10.1038/srep17026.
  10. ↑ Rui Almeida: Photonic band gap structures by sol–gel processing. In: Current Opinion in Solid State and Materials Science. 7. Jahrgang, Nr. 2, 2003, S. 151–157, doi:10.1016/S1359-0286(03)00045-7.
  11. ↑ 11,0 11,1 Claudia Pacholski: Photonic Crystal Sensors Based on Porous Silicon. In: Sensors. Band 13, Nr. 4, 9. April 2013, S. 4694–4713, doi:10.3390/s130404694.
  12. ↑ Markus Leitgeb, Christopher Zellner, Michael Schneider, Ulrich Schmid: Porous single crystalline 4H silicon carbide rugate mirrors. In: APL Materials. 5. Jahrgang, Nr. 10, 2017, S. 106106, doi:10.1063/1.5001876.
  13. ↑ Carl Hepburn: Vertical Cavity Surface Emitting Lasers (VCSELs). In: Britney Spears' Guide to Semiconductor Physics. Abgerufen am 21. September 2011 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 149: attempt to index field 'data' (a nil value)).
Abgerufen von „https://www.cosmos-indirekt.de/physik_137/index.php?title=Bragg-Spiegel&oldid=15144“