Charaktertafel

Eine Charaktertafel enthält Informationen über die irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppe. In der Chemie kann man mit ihrer Hilfe Aussagen über Eigenschaften von Molekülen basierend auf der zugehörigen Punktgruppe machen.

Die eigentliche Charaktertafel einer Gruppe $ G $ ist eine quadratische Tabelle mit komplexen Zahlen als Einträgen. Die Zeilen entsprechen den irreduziblen Darstellungen von $ G $, die Spalten den Konjugationsklassen in $ G $. Der Tabelleneintrag zur Darstellung $ \rho $ und Konjugationsklasse $ C $ ist der Wert des zu $ \rho $ gehörenden Charakters, ausgewertet auf einem beliebigen Element von $ C $.

Definitionen

Jede irreduzible Darstellung $ \rho \colon G\rightarrow \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} ) $ einer endlichen Gruppe $ G $ in die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen definiert den zugehörigen irreduziblen Charakter

$ \chi _{\rho }\colon G\rightarrow \mathbb {C} ,\,\chi _{\rho }(g):=\mathrm {tr} (\rho (g)) $,

wobei $ \mathrm {tr} $ die Spurabbildung ist. Dabei sind zwei irreduzible Darstellungen genau dann äquivalent, wenn die zugehörigen irreduziblen Charaktere gleich sind. Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g,h\in G konjugiert, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g=k^{-1}hk für ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k\in G und daher folgt nach den Eigenschaften der Spur für einen Charakter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi = \chi_\rho

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi(g) = \mathrm{tr}(\rho(g)) = \mathrm{tr}(\rho(k^{-1}hk)) = \mathrm{tr}(\rho(k)^{-1}\rho(h)\rho(k)) = \mathrm{tr}(\rho(h)) = \chi(h) ,

das heißt, Charaktere sind auf Konjugationsklassen konstant. Daher ist ein Charakter bereits dadurch bestimmt, dass der Wert auf allen Konjugationsklassen angegeben wird. Weiter kann man zeigen, dass es genauso viele irreduzible Charaktere gibt wie Konjugationsklassen. Daher kann man alle Charaktere durch ein quadratisches Schema beschreiben. Die Spalten dieses Schemas sind die Konjugationsklassen $ C_{1},\ldots ,C_{r} $, die Zeilen die Charaktere Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi_1, \ldots, \chi_r . In der i-ten Zeile und j-ten Spalte steht der Wert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi_i auf der Konjugationsklasse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C_j , das ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi_i(c_j) , wobei mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_j\in C_j ein Vertreterelement der Konjugationsklasse gewählt sei.

Unter den Charakteren gibt es ein ausgezeichnetes Element, nämlich den Charakter zur trivialen Darstellung, der auf allen Konjugationsklassen den Wert 1 annimmt, den man auch den trivialen Charakter nennt. Ferner gibt es eine triviale Konjugationsklasse, die aus dem neutralen Element 1 besteht. Der Wert eines jeden Charakters auf der trivialen Konjugationsklasse ist die Spur der Einheitsmatrix und damit gleich der Dimension $ d_{i} $ der i-ten irreduziblen Darstellung.

Man ordnet nun die Charaktere so an, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi_1 der triviale Charakter und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C_1=\{1\} die triviale Konjugationsklasse ist. Für die weiteren Daten liegt keine Anordnung fest, viele Autoren wählen die erste Spalte aufsteigend sortiert. Die Spaltenbeschriftung besteht aus der Konjugationsklasse oder einem Vertreterelement, oft gibt man auch noch die Mächtigkeit der Konjugationsklasse an. Das führt zu folgender Übersicht, die man Charaktertafel nennt:

Diese Charaktertafel enthält wichtige Gruppendaten. Zwar kann man daraus nicht die Gruppe rekonstruieren, doch enthält sie genügend Informationen, wichtige Eigenschaften der Gruppe zu entscheiden. Oft gelingt es, Daten der Charaktertafel zu ermitteln, ohne die Gruppe genau zu kennen. Dazu dienen verschiedene Sätze, wie zum Beispiel die Tatsache, dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1+d_2^2+d_3^2+\ldots +d_r^2 = |G|

und vor allem die schurschen Orthogonalitätsrelationen.

Beispiele

Zyklische Gruppen

Es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G=\Z_r die zyklische Gruppe mit $ r $ Elementen. Die Elemente werden mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [0], [1], \ldots [r-1] bezeichnet. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega = e^{2\pi i/r} \in \Complex . Dann erhält man folgende Charaktertafel:^[1]

Es ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi_i([j]) = \omega^{(i-1)j} .

Kleinsche Vierergruppe

Es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V_4=\{1,a,b,ab\} die kleinsche Vierergruppe. Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V_4\cong \Z_2\times \Z_2 und da man zeigen kann, dass die Charaktere eines direkten Produktes von Gruppen die Produkte der Charaktere der Faktoren dieses Produktes sind, kann man die Charaktertafel aus derjenigen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Z_2 gewinnen. Man erhält:^[2]

Symmetrische Gruppe S₃

Die symmetrische Gruppe S₃ muss neben dem trivialen Homomorphismus und der Signumfunktion mindestens einen weiteren irreduziblen Charakter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi_3 haben und mindestens einen mit Dimension größer als 1, da die Gruppe sonst abelsch wäre. Da die Summe der Quadrate der Dimensionen gleich der Gruppenordnung ist, bleibt nur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d_3=2 und mittels der Orthogonalitätsrelationen sind auch die beiden anderen Werte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi_3 festgelegt. Man erhält:^[3][4]

Nichtabelsche 8-elementige Gruppe

Allein aus der Kenntnis, dass eine Gruppe $ G $ 8 Elemente hat und nicht abelsch ist, lässt sich die Charaktertafel konstruieren. Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G eine 2-Gruppe ist, kann das Zentrum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Z nicht trivial sein und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G/Z hat 2 oder 4 Elemente und kann nicht zyklisch sein, da sonst Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G abelsch wäre. Also muss $ G/Z\cong V_{4} $ sein. Da es wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 3^2=9>8 höchstens irreduzible Charaktere der Dimension 2 geben kann, da es mit dem trivialen Charakter immer einen der Dimension 1 gibt und da die Summe der Quadrate der Dimensionen 8 ergeben muss, bleibt nur die Möglichkeit von 5 irreduziblen Charakteren der Dimensionen 1,1,1,1,2. Also muss es auch 5 Konjugationsklassen geben, deren jeweiliger Vertreter mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1,-1,a,b,c bezeichnet sei, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -1\in Z . Mittels Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |Z|=2 , $ G/Z\cong V_{4} $ und Orthogonalitätsrelationen kann man zeigen, dass notwendig folgende Charaktertafel vorliegen muss:

Da es mit der Diedergruppe D₄ und der Quaternionengruppe zwei nicht-isomorphe nichtabelsche Gruppen der Ordnung 8 gibt, zeigt dieses Beispiel, dass sich die Gruppe nicht aus der Charaktertafel rekonstruieren lässt.^[5]

Alternierende Gruppe A₄

Die alternierende Gruppe A₄ ist nichtabelsch und hat 4 Konjugationsklassen. Für die Dimensionen der Darstellungsräume bleibt dann nur noch die Folge 1,1,1,3 und es ergibt sich^[6]

Alternierende Gruppe A₅

Die Überlegungen für die Charaktertafel der alternierenden Gruppe A₅ fallen schon etwas komplizierter aus. Daher soll hier nur das Ergebnis angegeben werden:^[7]

Symmetrische Gruppe S₅

Schließlich soll mit der Charaktertafel der symmetrischen Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S_5 noch ein etwas größeres Beispiel angegeben werden:^[8]

Eigenschaften der Charaktertafel

Wie das Beispiel der nichtabelschen Gruppen der Ordnung 8 zeigt, kann man die Gruppe im Allgemeinen nicht aus der Charaktertafel rekonstruieren. Dennoch lassen sich gewisse Gruppeneigenschaften ablesen.

Eine Gruppe ist genau dann abelsch (kommutativ), wenn alle irreduziblen Darstellungen eindimensional sind, das heißt, wenn die erste Spalte der Gruppentafel nur Einsen enthält.

Man kann zeigen, dass für jeden irreduziblen Charakter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N_\chi = \{g\in G|\chi(g)=\chi(1)\} ein Normalteiler ist und jeder andere Normalteiler Durchschnitt solcher Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N_\chi ist.^[9]

Insbesondere ist eine Gruppe genau dann einfach, wenn in jeder Zeile ab der zweiten der Wert der ersten Spalte in der Zeile (d. i. die Dimension des zugehörigen Darstellungsraums) kein zweites Mal vorkommt. Man liest daher leicht ab, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_5 einfach ist. Die zweite Zeile der Charaktertafel der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_4 zeigt, dass diese Gruppe nicht einfach ist.

Da man mit den $ N_{\chi } $ die Normalteiler und deren Teilmengenbeziehungen kennt, kann man auch Verfahren angeben, mit denen man Auflösbarkeit und mit etwas mehr Aufwand auch Nilpotenz ablesen kann.^[10]

Anwendung in der Chemie

Schließt man nun aus den Symmetrieelementen oder unter Zuhilfenahme des Schoenflies-Schemas auf die Punktgruppe eines Moleküls, kann man mit Hilfe der Charaktertafel auf bestimmte Eigenschaften des Stoffes schließen.

Beispiel

Die Charaktertafel der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C_{2v} -Punktgruppe (kleinsche Vierergruppe, hier in der Schoenflies-Symbolik geschrieben) wird wie folgt mit chemisch relevanten Informationen erweitert

Die erste Bezeichnung ist die Punktgruppe, in der ersten Zeile stehen die Symmetrieelemente R, die in ihr enthalten sind. Kommt ein Symmetrieelement n-mal vor, dann schreibt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n R oder stellt wie oben eine weitere Zeile mit den Anzahlen voran. In diesem Fall sind alle Anzahlen gleich 1. Die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n R Symmetrieelemente bilden eine Klasse mit der Ordnung $ n $. Die Gesamtzahl der Symmetrieelemente ist die Ordnung der Gruppe. Im Beispiel der Punktgruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C_{2v} ist die Ordnung vier (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h=4 ). In der ersten Spalte stehen die irreduziblen Darstellungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma_i . Im obenstehenden Beispiel sind diese in lateinischen Buchstaben mit Indices, den sogenannten Mulliken-Symbolen wiedergegeben. In den folgenden Spalten stehen die Werte der Charaktere Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi^R (hier: −1 und +1). In den letzten beiden Spalten stehen die Basen der irreduziblen Darstellungen, bzw. Orbitale, die sich wie eine irreduzible Darstellung transformieren. Man sagt z. B. die Drehung um die z-Achse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_z transformiert wie $ A_{2} $.

Die vorletzte Spalte erlaubt Rückschlüsse darauf, ob eine Molekülbewegung – in ihrer Symmetrie charakterisiert durch ihre irreduzible Darstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma_i – in der Infrarotspektroskopie oder ein elektronischer Übergang zwischen zwei Orbitalen in der UV/VIS-Spektroskopie sichtbar sein kann (transformiert wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x,y,z , zeigt also Translation – wobei es jeweils zu einer Dipolmomentänderung kommt). Oder ob, wie aus der letzten Spalte hervorgeht, die Molekülbewegung mittels Raman-Streuung nachweisbar ist (transformiert wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): xy,xz,yz sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x^2,y^2,z^2,x^2-y^2 , also entsprechend dem Polarisierbarkeitstensor mit verbundener Polarisierbarkeitsänderung).

Rotationen und Schwingungen

• Die Angaben Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_x , $ R_{y} $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_z beziehen sich auf Molekülrotationen in x-, y- und z-Richtung, die wie die irreduziblen Darstellungen transformieren. z. B. transformiert bei einem Molekül der Punktgruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C_{2v} die Rotation um die z-Achse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_z wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_2 .

Die Eigenschwingungen des Moleküls transformieren ebenfalls wie eine der irreduziblen Darstellungen der Punktgruppe des Moleküls.

Orbitale

Die Symmetrien der Basis-Orbitale eines Moleküls lassen sich ebenfalls einer irreduziblen Darstellung der Punktgruppe zuordnen. Hat ein Charakter bei einer bestimmten Darstellung und einem bestimmten Symmetrieelement z. B. den Charakter „+1“, dann ändert sich das Vorzeichen der Wellenfunktion bei Anwendung dieses Symmetrieelements nicht. Ist er „-1“ dann ändert es sich.

Beispiel (Fortsetzung)

Ein Molekül gehöre zur Punktgruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C_{2v} (siehe Charaktertafel oben). Zu seinem Basissatz gehöre das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_x -Orbital, das auf der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x -Achse liegt und wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B_1 transformiert. Spiegelung an der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): xz -Spiegelebene bewirkt keine Änderung des Orbitals, es wird auf sich selbst abgebildet, der Charakter ist „+1“. Spiegelt man das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x -Orbital dagegen an der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): yz -Ebene, ändert sich das Vorzeichen der Wellenfunktion, der Charakter ist also „-1“, wie aus der Charaktertafel erkennbar.

Reduzible und irreduzible Darstellungen, ausreduzieren

Eine irreduzible Darstellung $ \Gamma _{\mathrm {red} } $ besitzt nur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L als invariante Unterräume. Alle anderen Unterräume mixen. Eine reduzible Darstellung zerfällt in verschiedene Unterräume.

Wenn eine Darstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho vollständig reduzibel ist, kann sie als direkte Summe von irreduziblen Darstellungen betrachtet werden. Nicht jede reduzible Darstellung ist vollständig reduzibel.

Bei vollständig reduziblen Darstellungen können die Anteile Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_i der irreduziblen Darstellungen in einer reduziblen Darstellung durch Raten oder folgende Formel ermittelt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_i = {1 \over h} \sum_{R} n\chi^R \chi_i^R

$ h $ ist die Ordnung der Gruppe, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n die Ordnung der Klasse, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi_i^R der Charakter der jeweiligen irreduziblen Darstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma_i und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi^R der Charakter der reduziblen Darstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma_\mathrm{red} .

$ \Gamma _{\mathrm {red} }=\sum _{R}a_{i}\Gamma _{i} $

Siehe auch

• Infrarotspektroskopie
• Ramanspektroskopie
• Alternativverbot
• Chiralität

Literatur

• J. H. Conway: Atlas of Finite Groups, Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups. Clarendon Press, Oxford 1985, ISBN 0-198-53199-0.

Einzelnachweise