Drehimpuls

Name

Drehimpuls

Wirkung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec L, \vec J

Größen- und Einheitensystem	Einheit	Dimension
SI	N·m·s = kg·m²·s⁻¹	M·L²·T⁻¹

Datei:BehoudImpulsmoment.ogv

Demonstrationsexperiment zur Drehimpulserhaltung (Video, 18 s). Indem die Person ein Drehmoment aufbringt, ändert der Drehimpuls des Rades seine Richtung in die Senkrechte (roter Pfeil). Nach dem Prinzip Actio gleich Reactio bekommt der Drehstuhl durch das Reaktionsmoment einen entgegengesetzten Drehimpuls (gelber Pfeil). Der vertikale Drehimpuls von null bleibt dabei erhalten.

Der Drehimpuls (in der Mechanik auch Drall oder veraltet Schwung oder Impulsmoment, in der Quantenmechanik in manchen Fällen auch Spin) ist eine physikalische Erhaltungsgröße. Ein System hat beispielsweise dann einen Drehimpuls, wenn es sich um seinen Massenschwerpunkt dreht, wie bspw. ein Kreisel, ein Sportler bei einer Pirouette oder ein Planetensystem.

Der Drehimpuls ist eine vektorielle Größe, und zwar – wie das Drehmoment und die Winkelgeschwindigkeit – ein Pseudovektor. Seine Dimension ist das Produkt aus Masse, Länge und Geschwindigkeit. Im SI-Einheitensystem wird er in Newtonmetersekunden (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{N\,m\,s} ) gemessen.^{[A 1]} Sein Formelzeichen ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec L oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec J .

Der Drehimpuls eines Systems ist die Summe der Drehimpulse seiner Komponenten. Der Drehimpuls einer Komponente des Systems setzt sich im Allgemeinen aus zwei Komponenten zusammen (s. #Der Drehimpuls eines starren Körpers):

dem Bahndrehimpuls, als dem Anteil, der aufgrund einer Bewegung eines massebehafteten Körpers bezüglich eines Bezugspunkts entsteht, sofern der Körper sich nicht direkt auf den Bezugspunkt zu oder von ihm weg bewegt.
dem Eigendrehimpuls, als dem Anteil, der nicht Bahndrehimpuls ist. In der Mechanik wird dieser Anteil von der Rotation um den Massenschwerpunkt des Körpers hervorgerufen. In der Quantenmechanik ist es der Spin.

Der Drehimpuls bezieht sich immer auf den Punkt im Raum, der als Bezugspunkt der Drehbewegung gewählt wird. Bei einem frei rotierenden System wird als Bezugspunkt oft der Schwerpunkt festgelegt, in der Astronomie meist der Schwerpunkt des Zentralgestirns. Wenn die Rotation durch ein Lager vorgegeben ist, wird meist ein Punkt auf der Achse gewählt.

Der Drehimpuls lässt sich allgemein als Vektorprodukt aus dem Ortsvektor ${\vec {r}}$ und dem Impuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec p des Körpers berechnen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec L = \vec r \times \vec p,

oder mit Hilfe des Trägheitstensors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{\Theta} und der Winkelgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec L = \mathbf{\Theta} \cdot \vec \omega.

In der Quantenmechanik wird der Drehimpuls durch den Drehimpulsoperator beschrieben. Dabei zeigt sich, dass er eine quantisierte Größe ist. Der Betrag des Drehimpulses ist stets ein ganz- oder halbzahliges Vielfaches des reduzierten Planckschen Wirkungsquantums. Die Ausrichtung des Drehimpulses ist ebenfalls gequantelt. Sie unterliegt der Richtungsquantelung in Bezug auf die Quantisierungsachse. Die Rolle des Eigendrehimpulses wird vom Spin wahrgenommen, der nicht mit einer räumlichen Bewegung verbunden ist. Somit setzt sich der Drehimpulsoperator aus den Komponenten Bahndrehimpulsoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat \mathbf{L} = \hat \mathbf{r} \times \hat \mathbf{p} und Spinoperator zusammen.

Leonhard Euler führte 1775 den Drallsatz als ein fundamentales von den Newton’schen Gesetzen unabhängiges Prinzip in der Mechanik ein.^[1] Er besagt, dass ein Drehmoment auf das System einwirken muss, um den Drehimpuls zu ändern. Die Drehimpulserhaltung lässt sich im Alltag an vielen Stellen erfahren (siehe Video, oder Pirouetteneffekt).

Definition und Veranschaulichung

Mit der Rechte-Hand-Regel kann die Richtung des Drehimpulsvektors als Daumenrichtung bestimmt werden.

Für einen Massenpunkt, der sich am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec r mit dem Impuls ${\vec {p}}=m{\vec {v}}$ bewegt, wird der Drehimpuls durch das Kreuzprodukt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}

definiert. Bezugspunkt ist dabei der Ursprung ${\vec {r}}={\vec {0}}$ . Für den Drehimpuls um einen anderen Bezugspunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec r_0 muss man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec r durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec r'= (\vec r - \vec r_0) ersetzen.

Zur Veranschaulichung geeignet ist der Fall, dass der Massenpunkt eine ebene Kreisbewegung um den Ursprung ausführt. Dann liegt der Drehimpulsvektor senkrecht zur Kreisebene, also in Richtung der Achse der Kreisbewegung, und hat den Betrag

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L = m r v = m r^2 \omega .

Der Drehimpuls wächst mit

höherer Winkelgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega proportional,
größerer Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m ebenfalls proportional,
größerem Abstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r dieser Masse zur Drehachse jedoch in quadratischem Verhältnis.

Der Drehimpulsvektor zeigt in die Richtung, in der sich bei gleichem Drehsinn eine Rechtsschraube voranbewegen würde. Es gilt die Korkenzieherregel oder Rechte-Faust-Regel: Wenn die gekrümmten Finger der rechten Hand die Richtung der Drehbewegung angeben, so zeigt der Daumen in Richtung des Drehimpulses (siehe Bild). Dass die rechte Hand für diese Regel verwendet werden muss und nicht die linke, liegt an der Definition des Kreuzprodukts zweier Vektoren.

Den Drehimpuls eines ausgedehnten Körpers zu einem bestimmten Bezugspunkt erhält man, in dem man die Drehimpulse seiner Massenpunkte zu diesem Bezugspunkt bildet und vektoriell addiert.

Auch wenn die Bezeichnung anderes vermuten lässt, haben auch solche Körper einen Drehimpuls, die anschaulich gesehen gar keine Drehung ausführen. Selbst ein geradlinig bewegter, nicht um sich selbst rotierender Körper besitzt einen Drehimpuls, wenn man den Bezugspunkt so wählt, dass er nicht auf der Bahn des Massenmittelpunkts des Körpers liegt. Der Drehimpuls berechnet sich dann einfach aus dem Produkt von Masse, Geschwindigkeit und senkrechtem Abstand des Bezugspunktes von der Bahn. Es lassen sich daher auch stets Bezugssysteme finden, in denen zur Bewegung des Massenmittelpunktes kein Drehimpuls gehört. Der Drehimpuls eines um seinen Massenmittelpunkt rotierenden Körpers hingegen verschwindet nur in einem mitrotierenden, also beschleunigten Bezugssystem.

Drehimpulserhaltung

Erfahrungsgemäß bleibt der Drehimpuls eines isolierten physikalischen Systems nach Betrag und Richtung unverändert, gleichgültig, welche inneren Kräfte und Wechselwirkungen zwischen den Bestandteilen des Systems wirken. Dies wird als Drehimpulserhaltung bezeichnet. Nahezu perfekt isolierte Systeme sind z. B. die Atomkerne, die Moleküle in verdünnten Gasen und astronomische Objekte im Weltall. Das zweite Keplersche Gesetz, nach dem ein Planet sich auf seiner exzentrischen Umlaufbahn umso schneller bewegt, je näher er der Sonne ist, lässt sich aus der Drehimpulserhaltung herleiten.

Die Drehimpulserhaltung gilt auch in Anwesenheit äußerer Kräfte, wenn diese Kräfte insgesamt kein Drehmoment auf das System ausüben. In einem homogenen Schwerefeld gilt das z. B. für den Drehimpuls jedes Körpers um seinen eigenen Schwerpunkt. Sind die äußeren Kräfte auf verschiedene Teile eines Systems parallel zueinander, so bleibt jedenfalls die zu den Kräften parallele Komponente des Drehimpulses erhalten.

Die Drehimpulserhaltung zeigt sich beispielsweise bei Spielzeugkreiseln, beim Diskuswurf und beim Pirouetteneffekt.

Die Drehimpulserhaltung gilt für beliebige physikalische Systeme (z. B. auch elektromagnetische Felder) und kann mithilfe des Noether-Theorems daraus hergeleitet werden, dass die physikalischen Gesetze nicht von der Orientierung des betrachteten Systems im Raum abhängen.

Verschiebung, Drehung, Spiegelung

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Während Ortsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec r und Impuls

{\vec {p}}=m{\vec {v}}

bei einer Punktspiegelung um den Koordinatenursprung ihre Richtung umkehren, bleibt die des Drehimpulses bezüglich der Scheibenmitte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec {L}=m\vec{r}\times\vec{v} unverändert. (Im Bild sind die Vektoren in Fettdruck und nicht mit Pfeil gezeichnet.)

Betrag und Richtung des Drehimpulses einer Punktmasse hängen davon ab, welchen Punkt man als Bezugspunkt wählt. Bei Verschiebung des Bezugspunkts ändert sich der Vektor jedes Ortes in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}^{\,\prime} =\vec{x} +\vec a und der Drehimpuls in

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec L^\prime =\vec L +\vec a\times\vec{p}.

Oft wählt man als Bezugspunkt den Massenmittelpunkt oder einen Punkt, der bei den betrachteten Drehungen ruht, also auf der Drehachse liegt.

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren steht stets senkrecht auf der von ihnen aufgespannten Ebene, eine Drehung des betrachteten Systems aber dreht sowohl die Ortsvektoren als auch die Bahngeschwindigkeiten um denselben Betrag, wodurch auch der Drehimpuls in gleicher Weise mitgedreht wird.

Bei einer Punktspiegelung am Bezugspunkt geht der Ort in den gegenüber liegenden Ort über. Auch das Vorzeichen der Geschwindigkeit in Bezug auf diesen Punkt kehrt sich um. Bei der Bildung des Kreuzprodukts kompensieren sich diese beiden Vorzeichenwechsel, sodass sich bei einer Punktspiegelung der Drehimpuls nicht ändert. Damit unterscheidet er sich vom Verhalten der Geschwindigkeit oder des Ortsvektors: Der Drehimpuls gehört zur Klasse der Pseudovektoren.

Eulerscher Drehimpulssatz

Um den Impuls eines Körpers zu ändern, muss eine Kraft wirken. Genauer gesagt ist die zeitliche Änderung des Impulses die Kraft:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d} t} =\vec{F}.

Ganz analog formulierte 1754 Leonhard Euler den Eulerschen Drehimpulssatz, nach dem die zeitliche Änderung des Drehimpulses bezüglich des Ursprungs gleich dem angreifenden Drehmoment Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec M um den Ursprung ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d} t} =\vec{M}.

Um den Drehimpuls eines Körpers zu ändern, muss ein Drehmoment auftreten. Ein Drehmoment ist das Kreuzprodukt von Abstandsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r} und Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{M} =\vec{r}\times\vec{F}.

Der Drehimpulssatz ergibt sich, wenn man den Drehimpuls nach der Zeit ableitet, beispielsweise bei einer Punktmasse am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec x :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d} t} =\dot{\vec{L}} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} [\vec{x}\times\vec{p}] =\underline{\dot{\vec{x}}\times\vec{p}} + \vec{x}\times \dot{\vec{p}} = \vec{x}\times\vec{F} =\vec{M} .

Da die Geschwindigkeit und der Impuls parallel sind, entfällt ihr Kreuzprodukt im unterstrichenen Term. Um den (Bahn-)Drehimpuls einer Punktmasse zu verändern, bedarf es also eines Moments Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{M} , das dem Moment der an der Punktmasse angreifenden Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F entspricht. Bei einem ausgedehnten Körper vermag auch ein Kräftepaar mit resultierender Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F=\vec 0 eine Änderung des Drehimpulses auszulösen, was den Eigendrehimpuls betrifft, siehe unten. Der Eigendrehimpuls entfällt freilich bei einer Punktmasse.

Handelt es sich bei der Kraft um eine Zentralkraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F=f\tfrac{\vec{x}}{|\vec{x}|} , so bleibt der Drehimpuls um das Zentrum erhalten, denn die zeitliche Änderung des Drehimpulses – das angreifende Moment der Zentralkraft – verschwindet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d} t} =\vec{x}\times\left( f\frac{\vec{x}}{|\vec{x}|}\right) =\frac{f}{|\vec{x}|}\underbrace{\vec{x}\times\vec{x}}_{=\vec0} =\vec0.

Folglich ist der Drehimpuls um das Zentrum über die Zeit konstant. Dies betrifft insbesondere Planetenbewegungen um ein Zentralgestirn.

Ebene Bahn, Flächensatz

Behält der Drehimpuls einer Punktmasse (beispielsweise die Erde, die die Sonne umläuft) jederzeit den anfänglichen Wert, dann verläuft die Bahn der Punktmasse in einer Ebene.

Denn das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren und zu allen Zeiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t gilt für den Drehimpuls bezüglich des Koordinatenursprungs

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}(t)\cdot\vec L(t) =\vec{x}(t)\cdot\bigl(\vec{x}(t)\times m\vec{v}(t)\bigr)=0,

wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m die Masse und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v} die Bahngeschwindigkeit der Punktmasse sind. Wenn nun der Drehimpuls zeitunabhängig ist, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec L(t) =\vec L(0), dann erfüllt jeder Bahnpunkt die Ebenengleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}(t)\cdot\vec L(0) = 0.

Es handelt sich also um eine Bewegung in der Ebene durch den Massenmittelpunkt des Systems senkrecht zum Drehimpuls.

Dann gilt das zweite Keplersche Gesetz (auch Flächensatz genannt): Der Fahrstrahl zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.

Denn in einer kurzen Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d} t ändert sich der Fahrstrahl ${\vec {x}}$ um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}\mathrm{d} t und überstreicht dabei die Fläche des Dreiecks mit diesen beiden Seiten. Das Dreieck ist halb so groß wie das von beiden Vektoren aufgespannte Parallelogramm, dessen Inhalt durch den Betrag des Kreuzprodukts gegeben ist. In der Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d} t überstreicht der Fahrstrahl folglich die Fläche

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d} F =\frac{1}{2}\left |\vec{x}(t)\times\vec{v}(t)\,\right |\,\mathrm{d} t =\frac{1}{2\,m}\bigl |\vec L\bigr |\mathrm{d} t.

Wenn der Drehimpuls sich nicht mit der Zeit ändert, ist folglich die Flächengeschwindigkeit konstant. Dieser Sachverhalt lässt sich auch auf Situationen verallgemeinern, in denen sich der Drehimpuls ändert, siehe Drallsatz#Flächensatz.

Der Flächensatz gilt auch in relativistischer Physik, wenn zudem die Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E erhalten ist. Denn in relativistischer Physik ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d} t} =\frac{\vec{p}}{E}\,c^2

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d} F =\frac{c^2}{2\,E}\bigl |\vec L\bigr |\mathrm{d}t.

Für ebene Bahnen gibt es einen Zusammenhang zwischen Drehimpuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec L und Winkelgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\omega , der für den Runge-Lenz-Vektor relevant ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec L = m r^2\vec\omega.

Zum Beweis zerlegt man die Geschwindigkeit in eine radiale und eine azimutale Komponente (siehe Polarkoordinaten/Geschwindigkeit), Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\vec r} =\dot r\vec{e}_r + r\dot\varphi\vec{e}_\varphi . Im Kreuzprodukt mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec r = r\vec{e}_r fällt die Radialgeschwindigkeit weg, und man erhält

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec L = \vec r\times m\dot{\vec r} = m r^2\dot\varphi\,\vec{e}_r\times\vec{e}_\varphi = m r^2\dot\varphi\vec{e}_z = m r^2\vec\omega .

Der Drehimpuls eines starren Körpers

Der Drehimpuls eines Körpers ist die Summe der Drehimpulse seiner Komponenten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{L} = \sum_n m_n\,\vec{x}_n\times\dot{\vec{x}}_n

bzw. für einen Körper mit kontinuierlicher Masseverteilung das Integral:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{L} = \int \mathrm d^3x\, \rho(\vec x)\,\vec{x} \times {\vec v(\vec x)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_{1\ldots N} … die Massen der Massepunkte des Körpers mit diskreter Masserverteilung
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho(\vec x) … die Massendichte der kontinuierlichen Masseverteilung
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec x_{1\ldots N} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\vec x}_{1\ldots N} … die Orte und Geschwindigkeiten der Massepunkte des Körpers mit diskreter Masseverteilung
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec v(\vec x) … das Geschwindigkeitsfeld, das angibt, mit welcher Geschwindigkeit sich die Masse am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec x bewegt

Mit Hilfe des Massenmittelpunkts eines Körpers und dessen Ortskoordinate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec s sowie seiner Schwerpunktsgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot \vec s können darauf bezogene Ortskoordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\chi := \vec x - \vec s und die Winkelgeschwindigkeiten der Massepunkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\omega_n definiert werden. Dann lassen sich die Geschwindigkeiten ausdrücken als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \dot{\vec{x}}_n &= \dot\vec s + \vec\omega_n \times \vec\chi_n\\ {\vec{v}(\vec x})&= \dot\vec s + \vec\omega_n \times \vec\chi. \end{align}

Bei einem starren Körper, dessen Ausrichtung zum Bezugspunkt konstant ist, sind zudem alle Winkelgeschwindigkeiten gleich groß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\forall n: \vec\omega_n \equiv \vec\omega) . Damit ergibt sich der Drehimpuls zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \vec{L} &= \sum_n m_n\,\vec{x}_n\times\left(\dot\vec s + \vec\omega \times \vec\chi_n\right) \\ &= M \vec s\times\dot\vec s + \sum_n m_n\,\vec\chi_n \times\left(\vec\omega \times \vec\chi_n\right) \text{ bzw.}\\ \vec{L} &= \int \mathrm d^3x\, \rho(\vec x)\,\vec x \times \left(\dot\vec s + \vec\omega \times \vec\chi\right)\\ &= M \vec s\times\dot\vec s + \int \mathrm d^3\chi \rho(\vec \chi)\,\vec\chi \times \left(\vec\omega \times \vec\chi\right) \text{ oder verallgemeinert} \\ &= M \vec s\times\dot\vec s + \mathbf{\Theta}_s \cdot \vec\omega. \end{align}

Hier sind zusätzlich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M = \sum_n m_n die Gesamtmasse des Körpers und
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{\Theta}_s= \int \mathrm d^3x \rho(\vec x)\,[(\vec{x}\cdot\vec x)\,\mathbf{1}-\vec{x}\otimes\vec x] der Trägheitstensor des Körpers bezogen auf seinen Massenmittelpunkt.

Vorlage:Klappbox Der erste Term Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M \vec s\times\dot\vec s wird Bahndrehimpuls genannt, der zweite Term ist der Eigendrehimpuls.

Der Eigendrehimpuls

Der Eigendrehimpuls eines starren Körpers ist der Anteil seines Drehimpulses, der durch die Rotation um seinen Massenmittelpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec s darstellbar ist. Mit Hilfe der Winkelgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\omega}_s und des Trägheitstensors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{\Theta}_s , jeweils auf den Massenmittelpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec s bezogen, lässt er sich als deren Matrixprodukt berechnen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{L}_s =\mathbf{\Theta}_s\cdot\vec\omega_s.

Im Allgemeinen zeigen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\omega und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{L}_s nicht in die gleiche Richtung – ein rotierender Körper „eiert“, wenn er sich frei bewegen kann, oder zeigt Unwucht, wenn die Richtung der Achse festgehalten wird. Nur bei Rotation um eine der Hauptträgheitsachsen des Körpers sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\omega und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{L}_s parallel, sodass die Erhaltung des Drehimpulses auch gleichbleibende Richtung der Drehachse und damit die Konstanz des Trägheitsmoments bewirkt. Der Trägheitstensor ist symmetrisch und deshalb sind die Hauptträgheitsachsen paarweise orthogonal. Aus dem Trägheitstensor kann man zu jeder beliebigen Drehachse das Trägheitsmoment und die Hauptträgheitsachsen durch Lösung des Eigenwertproblems berechnen.

Drehimpuls in der Relativitätstheorie

In der Relativitätstheorie kann der Drehimpuls nicht in einen Vierervektor eingebettet werden. Dies wird bereits dadurch offensichtlich, dass $L_{i}=\varepsilon _{ijk}x_{j}p_{k}$ unter Lorentztransformationen wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L'_i = \varepsilon_{ijk} \Lambda^{\mu j} x_\mu \Lambda^{\nu k} p_\nu transformiert. Dieses Problem wird dadurch umgangen, dass der Drehimpulstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M^{\mu\nu} eingeführt wird. Dieser ist definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M_{\mu\nu} = x_\mu p_\nu - p_\mu x_\nu

und seine Einträge sind

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(M_{\mu\nu}\right) = \begin{pmatrix} 0 & -N_x & -N_y & -N_z \\ N_x & 0 & L_z & - L_y \\ N_y & -L_z & 0 & L_x \\ N_z & L_y & -L_x & 0 \end{pmatrix}

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N_i = \gamma mcx_i - cp_i t.

Siehe auch

Spezifischer Drehimpuls
Galilei-Transformation als Grundlage der klassischen Mechanik

Literatur

Dieter Meschede: Gerthsen Physik. 24., überarbeitete Auflage. Springer, Heidelberg Dordrecht London New York 2010, ISBN 978-3-642-12893-6, S. 32–33, 40, 81–98, doi:10.1007/978-3-642-12894-3.
Florian Scheck: Theoretische Physik 1. 8. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-71377-7, S. 13–18, 20, 184–185.

Weblinks

Commons: Drehimpuls – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Drehimpuls – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Video: Drehstuhlexperimente zur Erhaltung des Drehimpulses. Institut für den Wissenschaftlichen Film (IWF) 2003, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.3203/IWF/C-14826.
Video: Zur Vektornatur des Drehimpulses. Institut für den Wissenschaftlichen Film (IWF) 2003, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.3203/IWF/C-14827.

Anmerkungen

↑ Die formal identische Einheit Joulesekunde sollte nicht verwendet werden, weil das Joule für die Energie, eine skalare Größe, reserviert ist.

Einzelnachweise

↑ Clifford Truesdell: Die Entwicklung des Drallsatzes. In: Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik (Hrsg.): Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (= Heft 4/5). Band 44, April 1964, S. 149–158, doi:10.1002/zamm.19640440402 (wiley.com).

[1] Die formal identische Einheit Joulesekunde sollte nicht verwendet werden, weil das Joule für die Energie, eine skalare Größe, reserviert ist.

[2] Clifford Truesdell: Die Entwicklung des Drallsatzes. In: Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik (Hrsg.): Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (= Heft 4/5). Band 44, April 1964, S. 149–158, doi:10.1002/zamm.19640440402 (wiley.com).

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