Dirac-Matrizen

Die Dirac-Matrizen (nach dem britischen Physiker Paul Dirac), auch Gamma-Matrizen genannt, sind vier Matrizen, die der Dirac-Algebra genügen. Sie treten in der Dirac-Gleichung auf.

Definition

Die Dirac-Matrizen ${\gamma }^0,{\gamma }^1,{\gamma }^2$ und ${\gamma }^3$ erfüllen definitionsgemäß die Dirac-Algebra, das heißt, die algebraischen Bedingungen

$\begin{array}{rlrlrlrl}{\gamma }^0{\gamma }^0& =I,& {\gamma }^1{\gamma }^1& =-I,& {\gamma }^2{\gamma }^2& =-I,& {\gamma }^3{\gamma }^3& =-I,\\ {\gamma }^0{\gamma }^1& =-{\gamma }^1{\gamma }^0,& {\gamma }^0{\gamma }^2& =-{\gamma }^2{\gamma }^0,& {\gamma }^0{\gamma }^3& =-{\gamma }^3{\gamma }^0,& & \\ {\gamma }^1{\gamma }^2& =-{\gamma }^2{\gamma }^1,& {\gamma }^1{\gamma }^3& =-{\gamma }^3{\gamma }^1,& {\gamma }^2{\gamma }^3& =-{\gamma }^3{\gamma }^2.& & \end{array}$

Diese Bedingungen betreffen Antikommutatoren, also die Summe der Produkte zweier Matrizen in beiden Reihenfolgen,

$\{A,B\}=AB+BA.$

In Indexnotation, in der $\mu$ und $\nu$ für Zahlen aus $\{0,1,2,3\}$ stehen, schreiben sich die Bedingungen an die Dirac-Matrizen zusammenfassend als

$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}={\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=2{\eta }^{\mu \nu }I.$

Dabei sind ${\eta }^{\mu \nu }$ die Komponenten der Minkowski-Metrik mit Signatur (1,−1,−1,−1) und $I$ ist die Einheitsmatrix in den Spinor-Indices der Dirac-Matrizen.

Die γ⁵-Matrix

Zusätzlich zu den vier Gamma-Matrizen definiert man noch die Matrix

${\gamma }^5=\mathrm{i}{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3.$

Sie ist ihr eigenes Inverses, ${\gamma }^5{\gamma }^5=I,$ ist hermitesch, antivertauscht mit den Gamma-Matrizen, ${\gamma }^5{\gamma }^{\mu }=-{\gamma }^{\mu }{\gamma }^5,$ und demnach mit jedem Produkt von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren.

Eigenschaften

Die Gamma-Matrizen erzeugen eine Clifford-Algebra. Jede irreduzible Darstellung dieser Algebra durch Matrizen besteht aus $4\times 4$-Matrizen. Die Elemente des Vektorraumes, auf den sie wirken, heißen Spinoren. Verschiedene Darstellungen der Dirac-Algebra sind einander äquivalent, das heißt, sie unterscheiden sich nur durch die gewählte Basis. Insbesondere sind die negativen transponierten Matrizen $-{\gamma }^{\mu \text{T}}$ und die hermitesch adjungierten Matrizen ${\gamma }^{\mu †}$ den Matrizen ${\gamma }^{\mu }$ äquivalent, denn sie erfüllen ebenfalls die Dirac-Algebra. Es gibt daher eine Matrix $A$ und eine Matrix $C$, so dass

$C{\gamma }^{\mu }{C}^{-1}=-{\gamma }^{\mu \text{T}},A{\gamma }^{\mu }{A}^{-1}={\gamma }^{\mu †}.$

Die Matrix $A$ ist zur Konstruktion von Skalaren, Vektoren und Tensoren aus Spinoren wichtig, die Matrix $C$ tritt bei der Ladungskonjugation auf.

Jedes Produkt mehrerer Dirac-Matrizen lässt sich bis auf ein Vorzeichen als Produkt verschiedener Dirac-Matrizen in lexographischer Ordnung schreiben, denn das Produkt zweier verschiedener Gamma-Matrizen kann auf Kosten eines Vorzeichens umgeordnet werden. Zudem ist das Quadrat jeder Gamma-Matrix 1 oder −1. Die Produkte verschiedener Gamma-Matrizen bilden zusammen mit der Eins-Matrix und den negativen Matrizen eine Gruppe mit den 32 Elementen,

$\pm 1,\pm {\gamma }^{\mu },\pm {\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu },\mu <\nu ,\pm {\gamma }^{\lambda }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu },\lambda <\mu <\nu ,\pm {\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3,\text{wobei}\lambda ,\mu ,\nu \in \{0,1,2,3\}.$

Da jede Darstellung einer endlichen Gruppe bei geeigneter Basiswahl unitär ist, ist auch jede Darstellung der Gamma-Matrizen bei geeigneter Wahl der Basis unitär. Zusammen mit der Dirac-Algebra heißt dies, dass ${\gamma }^0$ hermitesch und die drei anderen $\gamma$-Matrizen antihermitesch sind,

${\gamma }^{0†}={\gamma }^0,{\gamma }^{1†}=-{\gamma }^1,{\gamma }^{2†}=-{\gamma }^2,{\gamma }^{3†}=-{\gamma }^3.$

In unitären Darstellungen bewirkt $A={\gamma }^0$ die Äquivalenztransformation zu den adjungierten Matrizen

${\gamma }^0{\gamma }^{\mu }{\gamma }^0={\gamma }^{\mu †}.$

Mithilfe der Eigenschaften von ${\gamma }^5$ kann gezeigt werden, dass die Spur jedes Produktes von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren verschwindet.

$\begin{array}{rl}\text{Spur}({\gamma }^{{\mu }_1}\dots {\gamma }^{{\mu }_{2n+1}})& =\text{Spur}({\gamma }^{{\mu }_1}\dots {\gamma }^{{\mu }_{2n+1}}{\gamma }^5{\gamma }^5)=-\text{Spur}({\gamma }^5{\gamma }^{{\mu }_1}\dots {\gamma }^{{\mu }_{2n+1}}{\gamma }^5)\\ & =-\text{Spur}({\gamma }^{{\mu }_1}\dots {\gamma }^{{\mu }_{2n+1}}{\gamma }^5{\gamma }^5)=-\text{Spur}({\gamma }^{{\mu }_1}\dots {\gamma }^{{\mu }_{2n+1}}).\end{array}$

Im vorletzten Schritt wurde dabei verwendet, dass die Spur eines Produktes sich bei zyklischer Vertauschung der Faktoren nicht ändert und demnach $\text{Spur}({\gamma }^{5}B)=\text{Spur}(B{\gamma }^5)$ gilt.

Für die Spur eines Produktes von zwei Gamma-Matrizen gilt (weil die Spur zyklisch ist)

$\text{Spur}{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }=\frac{1}{2}\text{Spur}({\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu })=\frac{2{\eta }^{\mu \nu }}{2}\text{Spur 1}=4{\eta }^{\mu \nu }.$

Die Spur von vier Gamma-Matrizen reduziert man mit der Dirac-Algebra auf die Spur von zwei:

$\begin{array}{rcl}2\text{Spur}{\gamma }^{\kappa }{\gamma }^{\lambda }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }& =& \text{Spur}({\gamma }^{\kappa }{\gamma }^{\lambda }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\lambda }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\kappa })\\ & =& \text{Spur}({\gamma }^{\kappa }{\gamma }^{\lambda }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\lambda }{\gamma }^{\kappa }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }\\ & & -{\gamma }^{\lambda }{\gamma }^{\kappa }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }-{\gamma }^{\lambda }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\kappa }{\gamma }^{\nu }\\ & & +{\gamma }^{\lambda }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\kappa }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\lambda }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\kappa })\\ & =& 2{\eta }^{\kappa \lambda }\text{Spur}({\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu })-2{\eta }^{\kappa \mu }\text{Spur}({\gamma }^{\lambda }{\gamma }^{\nu })+2{\eta }^{\kappa \nu }\text{Spur}({\gamma }^{\lambda }{\gamma }^{\mu }).\end{array}$

Daher gilt:

$\begin{array}{rcl}\text{Spur}{\gamma }^{\kappa }{\gamma }^{\lambda }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }& =& 4({\eta }^{\kappa \lambda }{\eta }^{\mu \nu }-{\eta }^{\kappa \mu }{\eta }^{\lambda \nu }+{\eta }^{\kappa \nu }{\eta }^{\lambda \mu }).\end{array}$

Falls also verschiedene Dirac-Matrizen in einem Produkt nicht paarweise auftauchen, verschwindet die Spur des Produktes. Daraus folgt unter anderem, dass die sechzehn Matrizen, die man als Produkt von Null bis vier verschiedenen Gamma-Matrizen erhält, linear unabhängig sind.

Dirac-Gleichung

Dirac führte die Gamma-Matrizen ein, um die Klein-Gordon-Gleichung, die eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, in eine Gleichung erster Ordnung umzuwandeln.

In natürlichen Einheiten kann die Dirac-Gleichung wie folgt geschrieben werden

$(\mathrm{i}{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi =0$

wobei $\psi$ ein Dirac-Spinor ist.

Multipliziert man beide Seiten mit $-(\mathrm{i}{\gamma }^{\nu }{\partial }_{\nu }+m)$ erhält man

$({\eta }^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }+m^2)\psi =({\partial }^2+m^2)\psi =0,$

also gerade die Klein-Gordon-Gleichung für ein Teilchen der Masse $m$.

Zusammenhang zu Lorentz-Transformationen

Die sechs Matrizen

${\mathrm{\Sigma }}^{\mu \nu }=\frac{1}{4}({\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }-{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu })$

bilden die Basis einer Lie-Algebra, die der Lie-Algebra der Lorentztransformationen isomorph ist. Sie erzeugen die zu Lorentztransformationen (die stetig mit der 1 zusammenhängen) gehörigen Transformationen der Spinoren $\psi$.

Chiralität

Aus $({\gamma }^5{)}^2=1$ und $\text{Spur}{\gamma }^5=0$ folgt, dass die Matrizen

$P_L=\frac{1-{\gamma }^5}{2},P_R=\frac{1+{\gamma }^5}{2}$

Projektoren sind,

$(P_L{)}^2=P_L,(P_R{)}^2=P_R,$

die auf zueinander komplementäre, zweidimensionale Unterräume projizieren,

$P_L{P}_R=0,\text{Spur}{P}_L=\text{Spur}{P}_R=2,P_L+P_R=1.$

Diese Unterräume unterscheiden Teilchen verschiedener Chiralität.

Weil ${\gamma }^5$ mit den Erzeugenden von Spinortransformationen vertauscht,

${\gamma }^5{\mathrm{\Sigma }}^{\mu \nu }={\mathrm{\Sigma }}^{\mu \nu }{\gamma }^5,$

sind die Unterräume, auf die $P_L$ und $P_R$ projizieren, invariant unter den von ${\mathrm{\Sigma }}^{\mu \nu }$ erzeugten Lorentztransformationen, mit anderen Worten: Die links- und rechtshändigen Anteile, ${\psi }_L=P_L\psi$ und ${\psi }_R=P_R\psi$, eines Spinors $\psi$ transformieren getrennt voneinander.

Da $P_L$ und $P_R$ hermitesch sind, weil ${\gamma }^5$ hermitesch ist, gilt für

${\overline{\psi }}_L=(P_L\psi {)}^{†}{\gamma }^0={\psi }^{†}{P}_L^{†}{\gamma }^0={\psi }^{†}{P}_L{\gamma }^0={\psi }^{†}{\gamma }^0{P}_R=\overline{\psi }{P}_R$,

wobei $\overline{\psi }$ allgemein definiert wird als $\overline{\psi }={\psi }^{†}{\gamma }^0$. Die Änderung $P_L\to P_R$ ergibt sich aus der Vertauschung von ${\gamma }^5$ mit ${\gamma }^0$. Da ${\gamma }^5$ mit ${\gamma }^0$ antikommutiert, ändert sich das Vorzeichen vor ${\gamma }^5$ im Projektionsoperator $P_L=\frac{1-{\gamma }^5}{2}\to P_R=\frac{1+{\gamma }^5}{2}$. Ganz analog erhält man für ${\overline{\psi }}_R=\overline{\psi }{P}_L$.

Parität

Wegen ${\gamma }^0{\gamma }^5{\gamma }^0=-{\gamma }^5$ ändert ein Term, der ${\gamma }^5$ enthält, unter der Paritätstransformation sein Vorzeichen, es macht also aus Skalaren Pseudoskalare und aus Vektoren Pseudovektoren.

Allgemein folgen Größen, die man aus $\bar{\psi }={\psi }^{†}A={\psi }^{†}{\gamma }^0$, Gamma-Matrizen und einem eventuell von $\psi$ verschiedenen Spinor $\chi$ zusammensetzt, einem Transformationsgesetz, das am Indexbild ablesbar ist. Es transformieren

• $\bar{\psi }\chi$ wie ein Skalar,
• $\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\chi$ wie die Komponenten eines Vierervektors,
• $\bar{\psi }{\mathrm{\Sigma }}^{\mu \nu }\chi$ wie die Komponenten eines antisymmetrischen Tensors,
• $\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^5\chi$ wie die Komponenten eines axialen Vierervektors,
• $\bar{\psi }{\gamma }^5\chi$ wie ein Pseudoskalar.

Feynman-Slash-Notation

Richard Feynman erfand die nach ihm benannte Slash-Notation (auch Feynman-Dolch oder Feynman-Dagger). In dieser Notation wird das Skalarprodukt eines Lorentzvektors mit dem Vektor der Gamma-Matrizen $\sum _{\mu =0}^3{\gamma }^{\mu }{A}_{\mu }$ abgekürzt geschrieben als

$A/\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sum _{\mu =0}^3{\gamma }^{\mu }{A}_{\mu }$.

Dadurch kann z. B. die Dirac-Gleichung sehr übersichtlich geschrieben werden als

$(\mathrm{i}\partial /-\frac{mc}{\hslash })\psi (x)=0,$

oder in natürlichen Einheiten

$(\mathrm{i}\partial /-m)\psi (x)=0.$

Dirac-Darstellung

In einer geeigneten Basis haben die Gamma-Matrizen die auf Dirac zurückgehende Form (verschwindende Matrixelemente nicht ausgeschrieben)

$\begin{array}{cc}{\gamma }^0=\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & \\ & & -1& \\ & & & -1\end{array}\right),& {\gamma }^1=\left(\begin{array}{cccc}& & & 1\\ & & 1& \\ & -1& & \\ -1& & & \end{array}\right),\\ & \\ {\gamma }^2=\left(\begin{array}{cccc}& & & -\mathrm{i}\\ & & \mathrm{i}& \\ & \mathrm{i}& & \\ -\mathrm{i}& & & \end{array}\right),& {\gamma }^3=\left(\begin{array}{cccc}& & 1& \\ & & & -1\\ -1& & & \\ & 1& & \end{array}\right).\end{array}$

Diese Matrizen lassen sich kompakter mit Hilfe der Pauli-Matrizen schreiben (jeder Eintrag steht hier für eine $2\times 2$-Matrix):

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}1& \\ & -1\end{array}\right),{\gamma }^i=\left(\begin{array}{cc}& {\sigma }^i\\ -{\sigma }^i& \end{array}\right),i\in \{1,2,3\},{\gamma }^5=\left(\begin{array}{cc}& 1\\ 1& \end{array}\right).$

Die Diracmatrizen lassen sich mit Hilfe des Kronecker-Produktes auch folgendermaßen generieren:

${\gamma }^0={\sigma }^3\otimes 1,{\gamma }^i=\mathrm{i}{\sigma }^2\otimes {\sigma }^i,i\in \{1,2,3\},{\gamma }^5={\sigma }^1\otimes 1.$

Weyl-Darstellung

Die nach Hermann Weyl benannte Weyl-Darstellung heißt auch chirale Darstellung. In ihr ist ${\gamma }^5$ diagonal,

${\gamma }^5=\left(\begin{array}{cc}-1& \\ & 1\end{array}\right),P_L=\frac{1-{\gamma }^5}{2}=\left(\begin{array}{cc}1& \\ & 0\end{array}\right),P_R=\frac{1+{\gamma }^5}{2}=\left(\begin{array}{cc}0& \\ & 1\end{array}\right).$

Im Vergleich zur Dirac-Darstellung werden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^0 und ${\gamma }^5$ verändert, die räumlichen $\gamma$-Matrizen bleiben unverändert:

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}& 1\\ 1& \end{array}\right),{\gamma }^i=\left(\begin{array}{cc}& {\sigma }^i\\ -{\sigma }^i& \end{array}\right),{\gamma }^5=\left(\begin{array}{cc}-1& \\ & 1\end{array}\right).$

Die Weyldarstellung ergibt sich durch einen unitären Basiswechsel aus der Dirac-Darstellung,

${\gamma }_{\text{Weyl}}^{\mu }=U{\gamma }_{\text{Dirac}}^{\mu }{U}^{-1}\text{ mit }U=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right),U^{-1}=U^{†}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right).$

Spinortransformationen transformieren in der Weyl-Basis die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten des Dirac-Spinors getrennt.

Die chirale Darstellung ist von besonderer Bedeutung in der Weyl-Gleichung, der masselosen Dirac-Gleichung.

Majorana-Darstellung

In der Majorana-Darstellung sind alle Gamma-Matrizen imaginär. Dann ist die Dirac-Gleichung ein reelles Differentialgleichungssystem,

$\begin{array}{rlrlr}{\gamma }^0& =\left(\begin{array}{cc}& -{\sigma }^2\\ -{\sigma }^2& \end{array}\right),& {\gamma }^1& =\left(\begin{array}{cc}& \mathrm{i}{\sigma }^3\\ \mathrm{i}{\sigma }^3& \end{array}\right),& \\ & & & \\ {\gamma }^2& =\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}& \\ & -\mathrm{i}\end{array}\right),& {\gamma }^3& =\left(\begin{array}{cc}& -\mathrm{i}{\sigma }^1\\ -\mathrm{i}{\sigma }^1& \end{array}\right),& {\gamma }^5& =\left(\begin{array}{cc}& \mathrm{i}\\ -\mathrm{i}& \end{array}\right).\end{array}$

Literatur

• James Bjorken und Sidney Drell: Relativistische Quantenmechanik, BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1990, (BI-Hochschultaschenbuch Band 98), ISBN 3-411-00098-8
• Michael Peskin and Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1995, ISBN 0-201-50397-2
• Josef-Maria Jauch and Fritz Rohrlich: The theory of photons and electrons, Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1955
• Ferdinando Gliozzi, Joel Sherk and David Olive, Supersymmetry, Supergravity Theories and the Dual Spinor Model, Nucl. Phys. B122, 253–290, 1977. (Dirac-Algebra in höheren Dimensionen)
• Franz Schwabl, Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II), Springer, Heidelberg, ISBN 978-3-540-85076-2