Dirac-Matrizen

Die Dirac-Matrizen (nach dem britischen Physiker Paul Dirac), auch Gamma-Matrizen genannt, sind vier Matrizen, die der Dirac-Algebra genügen. Sie treten in der Dirac-Gleichung auf.

Definition

Die Dirac-Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^0,\,\gamma^1\,,\gamma^2\, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,\gamma^3\, erfüllen definitionsgemäß die Dirac-Algebra, das heißt, die algebraischen Bedingungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \gamma^0\gamma^0 &= I\,,&\gamma^1\gamma^1 &= -I\,,&\gamma^2\gamma^2 &= -I\,,&\gamma^3\gamma^3 &= -I\,,\\ \gamma^0\gamma^1 &= -\gamma^1\gamma^0\,, & \gamma^0\gamma^2 &= -\gamma^2\gamma^0\,, & \gamma^0\gamma^3 &= -\gamma^3\gamma^0\,, &&\\ \gamma^1\gamma^2 &= -\gamma^2\gamma^1\,, & \gamma^1\gamma^3 &= -\gamma^3\gamma^1\,, & \gamma^2\gamma^3 &= -\gamma^3\gamma^2\,. && \end{align}

Diese Bedingungen betreffen Antikommutatoren, also die Summe der Produkte zweier Matrizen in beiden Reihenfolgen,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \{ A , B \} = A\,B + B\,A\,.

In Indexnotation, in der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nu für Zahlen aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \{0,1,2,3\} stehen, schreiben sich die Bedingungen an die Dirac-Matrizen zusammenfassend als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \{ \gamma^\mu , \gamma^\nu \} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2\,\eta^{\mu\nu}I\,.

Dabei sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \eta^{\mu\nu} die Komponenten der Minkowski-Metrik mit Signatur (1,−1,−1,−1) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): I ist die Einheitsmatrix in den Spinor-Indices der Dirac-Matrizen.

Die γ⁵-Matrix

Zusätzlich zu den vier Gamma-Matrizen definiert man noch die Matrix

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^5=\mathrm i\, \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3\ .

Sie ist ihr eigenes Inverses, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^5 \gamma^5 = I\,, ist hermitesch, antivertauscht mit den Gamma-Matrizen, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^5 \gamma^\mu = - \gamma^\mu \gamma^5\,, und demnach mit jedem Produkt von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren.

Eigenschaften

Die Gamma-Matrizen erzeugen eine Clifford-Algebra. Jede irreduzible Darstellung dieser Algebra durch Matrizen besteht aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 4\times 4 -Matrizen. Die Elemente des Vektorraumes, auf den sie wirken, heißen Spinoren. Verschiedene Darstellungen der Dirac-Algebra sind einander äquivalent, das heißt, sie unterscheiden sich nur durch die gewählte Basis. Insbesondere sind die negativen transponierten Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -\gamma^{\mu\,\text{T}} und die hermitesch adjungierten Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^{\mu\,\dagger} den Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,\gamma^\mu\, äquivalent, denn sie erfüllen ebenfalls die Dirac-Algebra. Es gibt daher eine Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A und eine Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C , so dass

C\gamma ^{\mu }C^{-1}=-\gamma ^{\mu \,{\text{T}}}\ ,\quad A\gamma ^{\mu }A^{-1}=\gamma ^{\mu \,\dagger }\,.

Die Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A ist zur Konstruktion von Skalaren, Vektoren und Tensoren aus Spinoren wichtig, die Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C tritt bei der Ladungskonjugation auf.

Jedes Produkt mehrerer Dirac-Matrizen lässt sich bis auf ein Vorzeichen als Produkt verschiedener Dirac-Matrizen in lexographischer Ordnung schreiben, denn das Produkt zweier verschiedener Gamma-Matrizen kann auf Kosten eines Vorzeichens umgeordnet werden. Zudem ist das Quadrat jeder Gamma-Matrix 1 oder −1. Die Produkte verschiedener Gamma-Matrizen bilden zusammen mit der Eins-Matrix und den negativen Matrizen eine Gruppe mit den 32 Elementen,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \pm 1\,,\, \pm \gamma^\mu\,,\, \pm \gamma^\mu \gamma^\nu\,,\,\mu<\nu\,,\, \pm \gamma^\lambda \gamma^\mu \gamma^\nu \,,\,\lambda<\mu<\nu\,,\, \pm \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3\,,\, \text{wobei}\,\lambda,\mu,\nu\in\{0,1,2,3\}\,.

Da jede Darstellung einer endlichen Gruppe bei geeigneter Basiswahl unitär ist, ist auch jede Darstellung der Gamma-Matrizen bei geeigneter Wahl der Basis unitär. Zusammen mit der Dirac-Algebra heißt dies, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^0 hermitesch und die drei anderen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma -Matrizen antihermitesch sind,

\gamma ^{0\,\dagger }=\gamma ^{0}\,,\,\gamma ^{1\,\dagger }=-\gamma ^{1}\,,\,\gamma ^{2\,\dagger }=-\gamma ^{2}\,,\,\gamma ^{3\,\dagger }=-\gamma ^{3}\,.

In unitären Darstellungen bewirkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A=\gamma^0 die Äquivalenztransformation zu den adjungierten Matrizen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0=\gamma^{\mu\,\dagger}\,.

Mithilfe der Eigenschaften von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^5 kann gezeigt werden, dass die Spur jedes Produktes von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren verschwindet.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots \gamma^{\mu_{2n+1}}\bigr) &= \text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots \gamma^{\mu_{2n+1}}\gamma^5\gamma^5\bigr)= -\text{Spur}\, \bigl(\gamma^5\gamma^{\mu_1}\dots \gamma^{\mu_{2n+1}}\gamma^5\bigr)\\ &= -\text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots \gamma^{\mu_{2n+1}}\gamma^5\gamma^5\bigr)= -\text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots \gamma^{\mu_{2n+1}}\bigr)\,. \end{align}

Im vorletzten Schritt wurde dabei verwendet, dass die Spur eines Produktes sich bei zyklischer Vertauschung der Faktoren nicht ändert und demnach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \text{Spur}\,(\gamma^5\,B)= \text{Spur}\,(B\,\gamma^5) gilt.

Für die Spur eines Produktes von zwei Gamma-Matrizen gilt (weil die Spur zyklisch ist)

{\text{Spur}}\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }={\frac {1}{2}}{\text{Spur}}(\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\,\gamma ^{\mu })={\frac {2\,\eta ^{\mu \nu }}{2}}{\text{Spur 1}}=4\,\eta ^{\mu \nu }\,.

Die Spur von vier Gamma-Matrizen reduziert man mit der Dirac-Algebra auf die Spur von zwei:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} 2\,\text{Spur}\,\gamma^\kappa \,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu &=& \text{Spur} (\,\gamma^\kappa \,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu + \gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu\,\gamma^\kappa )\\ &=& \text{Spur} (\,\gamma^\kappa\,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu + \gamma^\lambda \,\gamma^\kappa\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu\\ &&\ \ \ \ -\gamma^\lambda \,\gamma^\kappa\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu - \gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\kappa\,\gamma^\nu\\ &&\ \ \ \ +\gamma^\lambda \,\gamma^\mu\,\gamma^\kappa\,\gamma^\nu + \gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu\,\gamma^\kappa)\\ &=& 2\,\eta^{\kappa\lambda} \text{Spur} (\gamma^\mu\,\gamma^\nu) - 2\,\eta^{\kappa\mu} \text{Spur} (\gamma^\lambda\,\gamma^\nu) + 2\,\eta^{\kappa\nu} \text{Spur} (\gamma^\lambda\,\gamma^\mu)\,. \end{array}

Daher gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \text{Spur} \,\gamma^\kappa\,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu &=& 4\,(\eta^{\kappa\lambda}\,\eta^{\mu\nu} -\eta^{\kappa\mu}\,\eta^{\lambda\nu} +\eta^{\kappa\nu}\,\eta^{\lambda\mu})\,. \end{array}

Falls also verschiedene Dirac-Matrizen in einem Produkt nicht paarweise auftauchen, verschwindet die Spur des Produktes. Daraus folgt unter anderem, dass die sechzehn Matrizen, die man als Produkt von Null bis vier verschiedenen Gamma-Matrizen erhält, linear unabhängig sind.

Dirac-Gleichung

Dirac führte die Gamma-Matrizen ein, um die Klein-Gordon-Gleichung, die eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, in eine Gleichung erster Ordnung umzuwandeln.

In natürlichen Einheiten kann die Dirac-Gleichung wie folgt geschrieben werden

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathrm i \gamma^\mu \partial_\mu -m) \psi = 0

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi ein Dirac-Spinor ist.

Multipliziert man beide Seiten mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -(\mathrm i \gamma^\nu \partial_\nu + m) erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\eta^{\mu\nu}\partial_\mu \partial_\nu + m^2) \psi = (\partial^2 + m^2) \psi = 0,

also gerade die Klein-Gordon-Gleichung für ein Teilchen der Masse $$ m $$ .

Zusammenhang zu Lorentz-Transformationen

Die sechs Matrizen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Sigma ^{\mu\nu} = \frac{1}{4}\bigl( \gamma^\mu \gamma^\nu - \gamma^\nu \gamma^\mu\bigr)

bilden die Basis einer Lie-Algebra, die der Lie-Algebra der Lorentztransformationen isomorph ist. Sie erzeugen die zu Lorentztransformationen (die stetig mit der 1 zusammenhängen) gehörigen Transformationen der Spinoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi .

Chiralität

Aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\gamma^5)^2=1 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \text{Spur}\,\gamma^5=0 folgt, dass die Matrizen

P_{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\,,\quad P_{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}

Projektoren sind,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (P_L)^2=P_L\,,\,(P_R)^2=P_R\,,

die auf zueinander komplementäre, zweidimensionale Unterräume projizieren,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_L\,P_R=0\,,\ \text{Spur}\,P_L=\text{Spur}\,P_R=2\,,\quad P_L+P_R=1\,.

Diese Unterräume unterscheiden Teilchen verschiedener Chiralität.

Weil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^5 mit den Erzeugenden von Spinortransformationen vertauscht,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^5 \Sigma^{\mu\nu}= \Sigma^{\mu\nu}\gamma^5\,,

sind die Unterräume, auf die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_L und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_R projizieren, invariant unter den von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Sigma^{\mu\nu} erzeugten Lorentztransformationen, mit anderen Worten: Die links- und rechtshändigen Anteile, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_L = P_L \psi und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_R = P_R \psi , eines Spinors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi transformieren getrennt voneinander.

Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_L und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_R hermitesch sind, weil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^5 hermitesch ist, gilt für

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \bar{\psi}_L= (P_L\, \psi)^\dagger\gamma^0=\psi^\dagger P_L^\dagger\gamma^0=\psi^\dagger P_L \gamma^0 = \psi^\dagger \gamma^0 P_R = \bar{\psi}\, P_R ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \bar{\psi} allgemein definiert wird als ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ . Die Änderung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_L \rightarrow P_R ergibt sich aus der Vertauschung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^5 mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^0 . Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^5 mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^0 antikommutiert, ändert sich das Vorzeichen vor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^5 im Projektionsoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_L = \frac{1-\gamma^5}{2} \rightarrow P_R = \frac{1+\gamma^5}{2} . Ganz analog erhält man für ${\bar {\psi }}_{R}={\bar {\psi }}\,P_{L}$ .

Parität

Wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^0\gamma^5\gamma^0 = - \gamma^5 ändert ein Term, der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^5 enthält, unter der Paritätstransformation sein Vorzeichen, es macht also aus Skalaren Pseudoskalare und aus Vektoren Pseudovektoren.

Allgemein folgen Größen, die man aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{\psi}=\psi^\dagger A=\psi^\dagger \gamma^0 , Gamma-Matrizen und einem eventuell von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi verschiedenen Spinor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi zusammensetzt, einem Transformationsgesetz, das am Indexbild ablesbar ist. Es transformieren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline \psi \chi wie ein Skalar,
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline \psi\gamma^\mu \chi wie die Komponenten eines Vierervektors,
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline \psi\Sigma^{\mu\nu} \chi wie die Komponenten eines antisymmetrischen Tensors,
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline \psi\gamma^\mu\gamma^5 \chi wie die Komponenten eines axialen Vierervektors,
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline \psi\gamma^5 \chi wie ein Pseudoskalar.

Feynman-Slash-Notation

Richard Feynman erfand die nach ihm benannte Slash-Notation (auch Feynman-Dolch oder Feynman-Dagger). In dieser Notation wird das Skalarprodukt eines Lorentzvektors mit dem Vektor der Gamma-Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle \sum_{\mu=0}^3\,\gamma^\mu A_\mu abgekürzt geschrieben als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A\!\!\!/\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{\mu=0}^3 \gamma^\mu A_\mu .

Dadurch kann z. B. die Dirac-Gleichung sehr übersichtlich geschrieben werden als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Bigl( \mathrm i \partial \!\!\!/\ - \frac{mc}{\hbar} \Bigr)\, \psi(x) = 0\ ,

oder in natürlichen Einheiten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Bigl( \mathrm i \partial \!\!\!/\ - m \Bigr)\, \psi(x) = 0\ .

Dirac-Darstellung

In einer geeigneten Basis haben die Gamma-Matrizen die auf Dirac zurückgehende Form (verschwindende Matrixelemente nicht ausgeschrieben)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{c c} \gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & -1 \end{pmatrix}\,,& \gamma^1 = \begin{pmatrix} & & & 1 \\ & & 1 & \\ & -1 & & \\ -1 & & & \end{pmatrix}\,,\\ \,& \,\\ \gamma^2 = \begin{pmatrix} & & & -\mathrm i \\ & & \mathrm i & \\ & \mathrm i & & \\ -\mathrm i & & & \end{pmatrix}\,, & \gamma^3 = \begin{pmatrix} & & 1 & \\ & & & -1 \\ -1 & & & \\ & 1 & & \end{pmatrix} \,. \end{array}

Diese Matrizen lassen sich kompakter mit Hilfe der Pauli-Matrizen schreiben (jeder Eintrag steht hier für eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 2 \times 2 -Matrix):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 & \\ & -1 \end{pmatrix}\,,\quad \gamma^i = \begin{pmatrix} & \sigma^i \\ -\sigma^i & \end{pmatrix}\, ,\;i\in\{1,2,3\}\,,\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} & 1 \\ 1 & \end{pmatrix}\,.

Die Diracmatrizen lassen sich mit Hilfe des Kronecker-Produktes auch folgendermaßen generieren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^0=\sigma^3\otimes 1,\quad \gamma^i=\mathrm i \sigma^2\otimes\sigma^i, \;i\in\{1,2,3\} , \quad \gamma^5=\sigma^1\otimes1\,.

Weyl-Darstellung

Die nach Hermann Weyl benannte Weyl-Darstellung heißt auch chirale Darstellung. In ihr ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^5 diagonal,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^5 = \begin{pmatrix} -1 & \\ & 1 \end{pmatrix}\,,\quad P_L = \frac{1-\gamma^5}{2} = \begin{pmatrix} 1 & \\ & 0 \end{pmatrix}\,,\quad P_R = \frac{1+\gamma^5}{2} = \begin{pmatrix} 0 & \\ & 1 \end{pmatrix}\,.

Im Vergleich zur Dirac-Darstellung werden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^0 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^5 verändert, die räumlichen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma -Matrizen bleiben unverändert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^0 = \begin{pmatrix} & 1 \\ 1 & \end{pmatrix}\,,\quad \gamma^i = \begin{pmatrix} & \sigma^i \\ -\sigma^i & \end{pmatrix}\,,\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} -1 & \\ & 1 \end{pmatrix}.

Die Weyldarstellung ergibt sich durch einen unitären Basiswechsel aus der Dirac-Darstellung,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma^\mu_{\text{Weyl}}=U\,\gamma^\mu_{\text{Dirac}}U^{-1}\text{ mit } U= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},\ U^{-1}=U^\dagger= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}\,.

Spinortransformationen transformieren in der Weyl-Basis die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten des Dirac-Spinors getrennt.

Die chirale Darstellung ist von besonderer Bedeutung in der Weyl-Gleichung, der masselosen Dirac-Gleichung.

Majorana-Darstellung

In der Majorana-Darstellung sind alle Gamma-Matrizen imaginär. Dann ist die Dirac-Gleichung ein reelles Differentialgleichungssystem,

{\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}&-\sigma ^{2}\\-\sigma ^{2}&\end{pmatrix}}\,,&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}&\mathrm {i} \sigma ^{3}\\\mathrm {i} \sigma ^{3}&\end{pmatrix}}\,,&\\&\,&&\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &\\&-\mathrm {i} \end{pmatrix}}\,,&\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}&-\mathrm {i} \sigma ^{1}\\-\mathrm {i} \sigma ^{1}&\end{pmatrix}}\,,&\gamma ^{5}&={\begin{pmatrix}&\mathrm {i} \\-\mathrm {i} &\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}

Literatur

James Bjorken und Sidney Drell: Relativistische Quantenmechanik, BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1990, (BI-Hochschultaschenbuch Band 98), ISBN 3-411-00098-8
Michael Peskin and Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1995, ISBN 0-201-50397-2
Josef-Maria Jauch and Fritz Rohrlich: The theory of photons and electrons, Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1955
Ferdinando Gliozzi, Joel Sherk and David Olive, Supersymmetry, Supergravity Theories and the Dual Spinor Model, Nucl. Phys. B122, 253–290, 1977. (Dirac-Algebra in höheren Dimensionen)
Franz Schwabl, Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II), Springer, Heidelberg, ISBN 978-3-540-85076-2