Formelsammlung Tensoranalysis

Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Analysis mit Vektor- und Tensorfeldern zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen.

Allgemeines

Siehe auch

Formelsammlung Tensoralgebra

Nomenklatur

• Operatoren wie „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{grad} “ werden nicht kursiv geschrieben.
• Buchstaben in der Mitte des Alphabets werden als Indizes benutzt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i,j,k,l\in\{1,2,3\}
• Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
  • Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c=a_i b^i wird über diesen Index von eins bis drei summiert:
    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c=a_i b^i=\sum_{i=1}^3 a_i b^i .
  • Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c=A_{ij} B^i_j wird über diese summiert:
    $ c=A_{ij}B_{j}^{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}B_{j}^{i} $.
  • Ein Index, der nur einfach vorkommt wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_i= A_{ij} b_j , ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_i= A_{ij} b_j\quad\leftrightarrow\quad v_i=\sum_{j=1}^3 A_{ij} b_j\quad\forall\; i\in\{1,2,3\} .
• Vektoren:
  • Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum 𝕍={ℝ³,+,·}.
  • Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
  • Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in ê mit einem Hut versehen.
  • Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a} mit einem Pfeil versehen.
  • Standardbasis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{e}_{1},\hat{e}_{2},\hat{e}_{3}
  • Beliebige Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3} mit dualer Basis $ {\vec {b}}^{1},{\vec {b}}^{2},{\vec {b}}^{3} $
  • Der Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}=x_i\hat{e}_i wird durchgängig Ortsvektor genannt.
• Tensoren zweiter Stufe werden wie in T mit fetten Großbuchstaben notiert. Insbesondere Einheitstensor 1.
• Koordinaten:
  • #Kartesische Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{1},x_{2},x_{3}\in\mathbb{R}
  • #Zylinderkoordinaten: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho,\varphi,z
  • #Kugelkoordinaten: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r,\vartheta,\varphi
  • Krummlinige Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y_{1},y_{2},y_{3}\in\mathbb{R}
• Konstanten: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c,\vec{c},\mathbf{C}
• Zeit t ∈ ℝ
• Variablen: skalar r,s ∈ ℝ oder vektorwertig $ {\vec {r}},{\vec {s}}\in \mathbb {V} ^{3} $
• Feldfunktionen abhängig von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x},t oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{y},t :
  • Skalar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f,g\in\mathbb{R} oder vektorwertig Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{f},\vec{g}\in\mathbb{V}^{3}
  • Tensorwertig: S, T
• Operatoren:
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Spur: Sp
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Transposition: T^⊤
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Inverse: T ^-1
  • Transponierte Inverse: T ^⊤-1
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Skalarprodukt von Tensoren :, von Vektoren ·
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor × oder von Vektoren untereinander
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Dyadisches Produkt ⊗
  • Äußeres Tensorprodukt $ ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\#({\vec {b}}\otimes {\vec {h}}):=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\otimes ({\vec {g}}\times {\vec {h}}) $
  • Vektorinvariante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mathrm i}(\vec a\otimes\vec b)=\vec a\times\vec b
• Differentialoperatoren:
  • #Nabla-Operator: 𝜵
  • #Gradient: grad
  • #Divergenz: div
  • #Rotation: rot
  • #Laplace-Operator: Δ
  • Ein Index hinter einem Komma bezeichnet die Ableitung nach einer Koordinate:
    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f_{,i}:=\frac{\partial f}{\partial x_i}\,,\quad f_{i,jk}=\frac{\partial^2 f_{i}}{\partial x_j\partial x_k}\,,\quad f_{r,\vartheta}=\frac{\partial f_r}{\partial\vartheta}
  • Zeitableitung mit Überpunkt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot f=\frac{\mathrm d f}{\mathrm d t}, \dot{\vec f}=\frac{\mathrm d\vec f}{\mathrm d t}, \dot{\mathbf T}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\mathbf T
• Landau-Symbole: f = 𝓞(x): f wächst langsamer als x.
• Kontinuumsmechanik:
  • Verschiebung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}=u_i\hat{e}_i
  • Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}=v_i\hat{e}_i
  • Deformationsgradient $ \mathbf {F} $
  • Räumlicher Geschwindigkeitsgradient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{l}
  • der Differentialoperator D/Dt und der Überpunkt steht für die substantielle Zeitableitung

Kronecker-Delta

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta_{ij} =\delta^{ij} =\delta_i^{j} =\delta_j^{i} =\left\{\begin{array}{ll} 1&\mathrm{falls}\ i=j \\ 0&\mathrm{sonst}\end{array}\right.

Permutationssymbol

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon_{ijk} =\hat{e}_i\cdot(\hat{e}_j\times\hat{e}_k) =\begin{cases} 1 &\text{falls}\;(i,j,k)\in\{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\} \\ -1 &\text{falls}\;(i,j,k)\in\{(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)\} \\ 0 &\text{sonst, d.h. bei doppeltem Index} \end{cases}

Kreuzprodukt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_i\hat{e}_i\times b_j\hat{e}_j=\epsilon_{ijk}a_i b_j\hat{e}_k

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon_{ijk}\hat{e}_k=\hat{e}_i\times\hat{e}_j

Formelsammlung Tensoralgebra#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{a}\times\mathbf{A})\cdot\vec{g} :=\vec{a}\times(\mathbf{A}\cdot\vec{g})

$ {\vec {b}}\cdot ({\vec {a}}\times \mathbf {A} )=({\vec {b}}\times {\vec {a}})\cdot \mathbf {A} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{g}\cdot(\mathbf{A}\times\vec{a}) :=(\vec{g}\cdot\mathbf{A})\times\vec{a}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\mathbf{A}\times\vec{a})\cdot\vec{b} =\mathbf{A}\cdot(\vec{a}\times\vec b)

Basisvektoren

Kartesische Koordinaten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_1, x_2, x_3\in\R

mit Basisvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{e}_{1}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \quad \hat{e}_{2}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}, \quad \hat{e}_{3}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}

die Standardbasis oder allgemeiner eine beliebige Orthonormalbasis ist.

Zylinderkoordinaten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{e}_\rho=\begin{pmatrix}\cos(\varphi)\\ \sin(\varphi)\\ 0\end{pmatrix}, \quad \hat{e}_\varphi=\begin{pmatrix}-\sin(\varphi)\\ \cos(\varphi)\\0\end{pmatrix}, \quad \hat{e}_z=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{e}_{\rho,\varphi}=\hat{e}_\varphi, \quad \hat{e}_{\varphi,\varphi}=-\hat{e}_\rho \quad \hat{e}_{z,\varphi}=\vec0

Winkelgeschwindigkeit#Zylinderkoordinaten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\omega=\dot\varphi\hat e_z \;\rightarrow\; \dot{\hat e}_{\rho/\varphi/z}=\vec\omega\times\hat{e}_{\rho/\varphi/z}

Kugelkoordinaten

$ {\hat {e}}_{r}={\begin{pmatrix}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )\\\sin(\vartheta )\sin(\varphi )\\\cos(\vartheta )\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\vartheta }={\begin{pmatrix}\cos(\vartheta )\cos(\varphi )\\\cos(\vartheta )\sin(\varphi )\\-\sin(\vartheta )\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin(\varphi )\\\cos(\varphi )\\0\end{pmatrix}} $

Winkelgeschwindigkeit#Kugelkoordinaten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} &\vec\omega = \begin{pmatrix} -\dot\vartheta\sin(\varphi)\\ \dot\vartheta\cos(\varphi)\\ \dot\varphi \end{pmatrix} = \dot\varphi\cos(\vartheta)\hat{e}_r -\dot\varphi\sin(\vartheta)\hat{e}_\vartheta +\dot\vartheta\hat{e}_\varphi \\ &\rightarrow\; \dot{\hat e}_{r/\vartheta/\varphi} =\vec\omega\times\hat{e}_{r/\vartheta/\varphi} \end{align}

Krummlinige Koordinaten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y_{1},y_{2},y_{3}\in\mathbb{R}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{b}_i =\frac{\partial\vec{x}}{\partial y_i},\quad \vec{b}^{i}=\mathrm{grad}(y_i ) =\frac{\partial y_i}{\partial\vec{x}} \quad\rightarrow\quad\vec{b}_i\cdot\vec{b}^{j} =\delta_i^{j}

Ableitung von Skalar-, Vektor- oder Tensorfunktionen

Gâteaux-Differential

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,\mathrm{D}f(x)[h]: =\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}f(x+sh)\right|_{s=0} =\lim_{s\rightarrow 0}\frac{f(x+sh)-f(x)}{s}

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s\in\mathbb{R} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f,x,h skalar-, vektor- oder tensorwertig aber Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x und $ h $ gleichartig.

Produktregel:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{D}(f(x)\cdot g(x))[h] =\mathrm{D}f(x)[h]\cdot g(x) + f(x)\cdot\mathrm{D}g(x)[h]

Kettenregel:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{D}f\big(g(x)\big)[h] =\mathrm{D}f(g)[Dg(x)[h]]

Fréchet-Ableitung

Existiert ein beschränkter linearer Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{A} , sodass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{A} [h] ={Df}(x)[h]{\quad\forall\;}h

gilt, so wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{A} Fréchet-Ableitung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x genannt. Man schreibt dann auch

$ {\frac {\partial f}{\partial x}}={\mathcal {A}} $.

Ableitung von Potenzen eines Tensors

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \big(\mathbf T^{-1}\dot{\big)\;} =& -\mathbf{T}^{-1}\cdot\dot{\mathbf T}\cdot{\mathbf T}^{-1} = -\left(\mathbf{T}^{-1}\otimes\mathbf{T}^{\top-1} \right)^{\stackrel{23}\top}:\dot{\mathbf T} \\ \frac{\mathrm d\mathbf T^{-1}}{\mathrm d\mathbf T} =& -\left(\mathbf{T}^{-1}\otimes\mathbf{T}^{\top-1} \right)^{\stackrel{23}\top} \\ \big(\mathbf T^{\top-1}\dot{\big)\;} =& -\mathbf{T}^{\top-1}\cdot\dot{\mathbf T}^\top\cdot{\mathbf T}^{\top-1} = -\left(\mathbf{T}^{\top-1}\otimes\mathbf{T}^{\top-1} \right)^{\stackrel{24}\top}:\dot{\mathbf T} \\ \frac{\mathrm d\mathbf T^{\top-1}}{\mathrm d\mathbf T} =& -\left(\mathbf{T}^{\top-1}\otimes\mathbf{T}^{\top-1} \right)^{\stackrel{24}\top} \end{align}

siehe Formelsammlung Tensoralgebra#Spezielle Tensoren vierter Stufe.

Allgemein mit n ∈ ℕ, >0, T⁰ := 1:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm D\mathbf{T}^n(\mathbf T)[\mathbf H] =&\sum_{m=0}^{n-1}\mathbf{T}^m\cdot\mathbf{H\cdot T}^{n-m-1} \\ \frac{\mathrm d\mathbf T^n}{\mathrm d\mathbf T} =& \left(\sum_{m=0}^{n-1}\mathbf{T}^m\otimes\left(\mathbf{T}^{n-m-1}\right)^\top \right)^{\stackrel{23}\top} \end{align}

#Gâteaux-Differential der Inversen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf{T\cdot T}^{-1}=&\mathbf1 \;\rightarrow\quad \overbrace{\mathrm D\mathbf{T}(\mathbf T)[\mathbf H]}^{\mathbf H}\cdot\mathbf T^{-1} +\mathbf T\cdot\mathrm D\mathbf T^{-1}(\mathbf T)[\mathbf H]=\mathbf0 \\ \rightarrow\quad \mathrm D\mathbf T^{-1}(\mathbf T)[\mathbf H] =& -\mathbf T^{-1}\cdot\mathbf H\cdot\mathbf T^{-1} = -\left(\mathbf T^{-1}\otimes\mathbf T^{\top-1}\right)^{\stackrel{23}\top} :\mathbf H \\ \mathrm D\mathbf T^{\top-1}(\mathbf T)[\mathbf H] =& -\mathbf T^{\top-1}\cdot\mathbf H^\top\cdot\mathbf T^{\top-1} = -\left(\mathbf T^{\top-1}\otimes\mathbf T^{\top-1}\right)^{\stackrel{24}\top} :\mathbf H \end{align}

n ∈ ℕ, >0:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm D\mathbf{T}^{-n}(\mathbf T)[\mathbf H] =&\sum_{m=1-n}^0\mathbf{T}^m\cdot\mathrm D\mathbf T^{-1}(\mathbf T)[\mathbf H] \cdot\mathbf{T}^{1-n-m} \\=& -\sum_{m=1-n}^0\mathbf{T}^{m-1}\cdot\mathbf{H\cdot T}^{-n-m} \\ \frac{\mathrm d\mathbf T^{-n}}{\mathrm d\mathbf T} =& -\left(\sum_{m=1-n}^0\mathbf{T}^{m-1}\otimes\left(\mathbf{T}^{-n-m}\right)^\top \right)^{\stackrel{23}\top} \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm D\mathbf{T}^{\top-n}(\mathbf T)[\mathbf H] =& -\sum_{m=1-n}^0\left(\mathbf{T}^{m-1}\right)^\top \cdot\mathbf{H^\top\cdot\big(T}^{-n-m}\big)^\top \\ \frac{\mathrm d\mathbf T^{\top-n}}{\mathrm d\mathbf T} =& -\left(\sum_{m=1-n}^0\left(\mathbf{T}^{m-1}\right)^\top\otimes \left(\mathbf{T}^{-n-m}\right)^\top \right)^{\stackrel{24}\top} \end{align}

Orthogonaler Tensor (Q·Q^⊤=1):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\dot{\mathbf{Q}}}^\top =-\mathbf{Q}^\top\cdot\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top

Ableitungen nach dem Ort

Nabla-Operator

#Kartesische Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}  :$ \nabla ={\hat {e}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}} $

#Zylinderkoordinaten: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla = \vec{e}_\rho\frac{\partial}{\partial\rho} +\frac1\rho\vec{e}_\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi} +\vec{e}_z\frac{\partial}{\partial z}

#Kugelkoordinaten: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla = \vec{e}_r\frac{\partial}{\partial r} +\frac{1}{r}\vec{e}_\vartheta\frac{\partial}{\partial\vartheta} +\frac{1}{r\sin(\vartheta)}\vec{e}_\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi}

#Krummlinige Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{y}  :Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla =\vec{b}^{j}\frac{\partial}{\partial y_j}     mit    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{b}^{j} =\frac{\partial y_j}{\partial x_i}\hat{e}_i .

Gradient

Definition des Gradienten/Allgemeines

Definierende Eigenschaft bei skalar- oder vektorwertiger Funktion f:^[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(\vec y)-f(\vec x)=\mathrm{grad}(f)\cdot(\vec y-\vec x) +\mathcal{O}(|\vec y-\vec x|) wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec y\to\vec x

Wenn der Gradient existiert, ist er eindeutig. Berechnung bei skalar- oder vektorwertiger Funktion f:

$ \mathrm {grad} (f)\cdot {\vec {h}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}f({\vec {x}}+s{\vec {h}})\right|_{s=0}=\lim _{s\to 0}{\frac {f({\vec {x}}+s{\vec {h}})-f({\vec {x}})}{s}}\quad \forall \;{\vec {h}}\in \mathbb {V} $

Integrabilitätsbedingung: Jedes rotationsfreie Vektorfeld ist das Gradientenfeld eines Skalarpotentials:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{rot}(\vec{f})=\vec{0} \quad\rightarrow\quad \exists g\colon\vec{f}=\mathrm{grad}(g) .

Koordinatenfreie Darstellung als Volumenableitung:

• Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v mit
• Oberfläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{a}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{grad}(f) =\lim_{v\to 0}\left(\frac{1}{v}\int_{a} f\,\mathrm{d}\vec{a}\right)

Skalarfeld f:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{grad}(f)=\nabla f=:\frac{\partial f}{\partial\vec x}

Vektorfeld $ {\vec {f}}=f_{i}{\hat {e}}_{i} $:^[2]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{grad}(\vec{f})=(\nabla\otimes\vec{f})^\top =:\frac{\partial\vec f}{\partial\vec x}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{grad}(\vec{x})=\mathbf1

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{grad}(f)=\mathrm{div}(f\mathbf1)=\nabla\cdot(f\mathbf1)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{grad}(f)\times\vec c=\mathrm{rot}(f\vec c)

Gradient in verschiedenen Koordinatensystemen

#Kartesische Koordinaten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{grad}(f)=f_{,i}\hat{e}_i

$ \mathrm {grad} ({\vec {f}})={\vec {f}}_{,i}\otimes {\hat {e}}_{i}={\hat {e}}_{i}\otimes \mathrm {grad} (f_{i})=f_{i,j}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j} $

#Zylinderkoordinaten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{grad}(f) =f_{,\rho}\hat{e}_\rho+\frac{f_{,\varphi}}{\rho}\hat{e}_\varphi +f_{,z}\hat{e}_{z}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{grad}(\vec f) =& \hat{e}_\rho\otimes\mathrm{grad}(f_\rho) +\hat{e}_\varphi\otimes\mathrm{grad}(f_\varphi) +\hat{e}_z\otimes\mathrm{grad}(f_z) \\& +\frac{1}{\rho}(f_\rho\hat{e}_\varphi-f_\varphi\hat{e}_\rho) \otimes\hat{e}_\varphi \end{align}

#Kugelkoordinaten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{grad}(f) =f_{,r}\hat{e}_{r} +\frac{f_{,\vartheta}}{r}\hat{e}_\vartheta +\frac{f_{,\varphi}}{r\sin(\vartheta)} \hat{e}_\varphi

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{grad}(\vec f) =& \hat{e}_r\otimes\mathrm{grad}(f_r) +\hat{e}_\vartheta\otimes\mathrm{grad}(f_\vartheta) +\hat{e}_\varphi\otimes\mathrm{grad}(f_\varphi) \\& +\frac{f_r}{r}(\mathbf1-\hat{e}_r\otimes\hat{e}_r) -\hat{e}_r\otimes \frac{f_\vartheta\hat{e}_\vartheta+f_\varphi\hat{e}_\varphi}{r} +\frac{f_\vartheta\hat{e}_\varphi-f_\varphi\hat{e}_\vartheta}{r\tan(\vartheta)} \otimes\hat{e}_\varphi \end{align}

#Krummlinige Koordinaten:

Christoffelsymbole: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma^k_{ij}=\vec g_{i,j}\cdot\vec g^k

Vektorfelder:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{grad}(\vec g_i)=\Gamma^k_{ij}\vec g_k\otimes\vec g^j

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{grad}(\vec g^k)=-\Gamma^k_{ij}\vec g^i\otimes\vec g^j

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{grad}(f^i\vec g_i) =\left.f^i\right|_j\vec g_i\otimes\vec g^j

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{grad}(f_i\vec g^i) =\left.f_i\right|_j\vec g^i\otimes\vec g^j

Mit den kovarianten Ableitungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left.f^i\right|_j=f^i_{,j}+\Gamma^i_{kj}f^k

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left.f_i\right|_j=f_{i,j}-\Gamma^k_{ij}f_k

Tensorfelder:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{grad}(\mathbf T)[\vec h] =(\vec h\cdot\vec g^k)\mathbf T_{,k} =\vec h\cdot(\vec g^k\otimes\mathbf T_{,k}) =(\mathbf T_{,k}\otimes\vec g^k)\cdot\vec h

Soll das Argument wie beim Vektorgradient rechts vom Operator stehen, dann lautet der Tensorgradient

$ \mathrm {grad} (\mathbf {T} )=\mathbf {T} _{,k}\otimes {\vec {g}}^{k} $

Für ein Tensorfeld zweiter Stufe:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{grad}(T^{ij}\vec g_i\otimes\vec g_j) =&\left.T_{ij}\right|_k\vec g^i\otimes\vec g^j\otimes\vec g^k ,\quad \left.T_{ij}\right|_k \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=T_{ij,k}-\Gamma^l_{ik}T_{lj}-\Gamma^l_{jk}T_{il} \\ \mathrm{grad}(T^{ij}\vec g_i\otimes\vec g_j) =&\left.T^{ij}\right|_k\vec g_i\otimes\vec g_j\otimes\vec g^k ,\quad \left.T^{ij}\right|_k \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&= T^{ij}_{,k}+\Gamma^i_{lk}T^{lj}+\Gamma^j_{lk}T^{il} \\ \mathrm{grad}(T_i^{.j}\vec g^i\otimes\vec g_j) =&\left.T_i^{.j}\right|_k\vec g^i\otimes\vec g_j\otimes\vec g^k ,\quad \left.T_i^{.j}\right|_k \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&= T_{i,k}^{.j}-\Gamma^l_{ik}T_l^{.j}+\Gamma^j_{lk}T_i^{.l} \\ \mathrm{grad}(T^i_{.j})\vec g_i\otimes\vec g^j =&\left.T^i_{.j}\right|_k\vec g_i\otimes\vec g^j\otimes\vec g^k ,\quad \left.T^i_{.j}\right|_k \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&= T^i_{.j,k}+\Gamma^i_{lk}T^l_{.j}-\Gamma^l_{jk}T^i_{.l} \end{align}

Produktregel für Gradienten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rclcl} \mathrm{grad}(f g) &=& (f_{,i} g + f g_{,i})\hat{e}_i &=&\mathrm{grad}(f) g + f\mathrm{grad}(g) \\ \mathrm{grad}(f\vec{g}) &=& (f_{,i}\vec{g}+f\vec{g}_{,i})\otimes\hat{e}_i &=&\vec{g}\otimes\mathrm{grad}(f) + f\mathrm{grad}(\vec{g}) \\ \mathrm{grad}(\vec{f}\cdot\vec{g}) &=& \left(\vec{f}_{,i}\cdot\vec{g} +\vec{f}\cdot\vec{g}_{,i}\right)\hat{e}_i &=& \vec{g}\cdot\mathrm{grad}(\vec{f})+\vec{f}\cdot\mathrm{grad}(\vec{g}) \\ \mathrm{grad}(\vec{f}\times\vec{g}) &=& \left(\vec{f}_{,i}\times\vec{g} +\vec{f}\times\vec{g}_{,i}\right)\otimes\hat{e}_i &=& \vec{f}\times\mathrm{grad}(\vec{g})-\vec{g}\times\mathrm{grad}(\vec{f}) \end{array}

In drei Dimensionen ist speziell^[3]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{grad}(\vec{f}\cdot\vec{g}) =\mathrm{grad}(\vec{f})\cdot\vec{g}+\mathrm{grad}(\vec{g})\cdot\vec{f} +\vec{f}\times\mathrm{rot}(\vec{g})+\vec{g}\times\mathrm{rot}(\vec{f})

Beliebige Basis:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{grad}(f_i\vec{b}_i ) =\vec{b}_i\otimes\mathrm{grad}(f_i )+f_i\,\mathrm{grad}(\vec{b}_i )

Divergenz

Definition der Divergenz/Allgemeines

Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{f}  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{div}(\vec{f}) =\nabla\cdot\vec{f} =\mathrm{Sp}\big(\mathrm{grad}(\vec{f})\big)

$ \mathrm {div} ({\vec {x}})=\mathrm {Sp} {\big (}\mathrm {grad} ({\vec {x}}){\big )}=\mathrm {Sp} (\mathbf {1} )=3 $

Klassische Definition für ein Tensorfeld T:^[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{div}(\mathbf{T})\cdot\vec c =\mathrm{div}\left(\mathbf{T}^\top\cdot\vec c\right) \quad\forall\vec c\in\mathbb V

→ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{div}(\mathbf{T})=\nabla\cdot\left(\mathbf{T}^\top\right)

Koordinatenfreie Darstellung:

• Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v mit
• Oberfläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{a}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{div}(\vec{f}) =\lim_{v\to 0}\left(\frac{1}{v} \int_{a}\vec{f}\;\cdot\mathrm{d}\vec{a}\right)

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{lcccl} \mathrm{div}(\vec{f})&=&\nabla\cdot\vec{f}&=&\mathrm{Sp(grad}(\vec{f})) \\ \mathrm{div}(f\mathbf1)&=&\nabla\cdot(f\mathbf1)&=&\mathrm{grad}(f) \end{array}

Divergenz in verschiedenen Koordinatensystemen

#Kartesische Koordinaten:

$ \mathrm {div} ({\vec {f}})={\vec {f}}_{,i}\cdot {\hat {e}}_{i}=f_{i,i} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{div}(\mathbf{T})=\mathbf{T}_{,i}\cdot\hat{e}_i=T_{ij,j}\hat{e}_i

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\cdot\mathbf{T}=\hat{e}_i\cdot\mathbf{T}_{,i}=T_{ij,i}\hat{e}_j =T_{ji,j}\hat{e}_i

#Zylinderkoordinaten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{div}(\vec{f}) =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} (\rho f_\rho) +\frac 1\rho f_{\varphi,\varphi} +f_{z, z}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{div}(\mathbf{T}) =& \left(T_{\rho\rho,\rho} +\frac{1}{\rho}(T_{\rho\varphi,\varphi}+T_{\rho\rho}-T_{\varphi\varphi}) +T_{\rho z,z}\right)\hat{e}_\rho \\& +\left(T_{\varphi\rho,\rho} +\frac{1}{\rho}(T_{\varphi\varphi,\varphi}+T_{\rho\varphi}+T_{\varphi\rho}) +T_{\varphi z,z}\right)\hat{e}_\varphi \\& +\left(T_{z\rho,\rho} +\frac{1}{\rho}(T_{z\varphi,\varphi}+T_{z\rho}) +T_{zz,z}\right)\hat{e}_z \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\cdot\mathbf{T}=\mathrm{div}\left(\mathbf{T}^\top\right) ergibt sich hieraus durch Vertauschen von T_ab durch T_ba.

#Kugelkoordinaten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{div}(\vec{f}) =& f_{r,r}+\frac{2f_r+f_{\vartheta,\vartheta}}{r} +\frac{f_\vartheta\cos(\vartheta)+f_{\varphi,\varphi}}{r\sin(\vartheta)} \\ \mathrm{div}(\mathbf{T}) =& \left( T_{rr,r}+\frac{2T_{rr}-T_{\vartheta\vartheta}-T_{\varphi\varphi} +T_{r\vartheta,\vartheta}}{r} +\frac{T_{r\varphi,\varphi}+T_{r\vartheta}\cos(\vartheta)}{r\sin(\vartheta)} \right)\hat{e}_r \\& \left( T_{\vartheta r,r}+\frac{2T_{\vartheta r}+T_{r\vartheta}+T_{\vartheta\vartheta,\vartheta}}{r}+\frac{(T_{\vartheta\vartheta}-T_{\varphi\varphi})\cos(\vartheta)+T_{\vartheta\varphi,\varphi}}{r\sin(\vartheta)} \right)\hat{e}_\vartheta \\& \left( T_{\varphi r,r}+\frac{2T_{\varphi r}+T_{r\varphi}+T_{\varphi\vartheta,\vartheta}}{r}+\frac{(T_{\vartheta\varphi}+T_{\varphi\vartheta})\cos(\vartheta)+T_{\varphi\varphi,\varphi}}{r\sin(\vartheta)} \right)\hat{e}_\varphi \end{align}

$ \nabla \cdot \mathbf {T} =\mathrm {div} \left(\mathbf {T} ^{\top }\right) $ ergibt sich hieraus durch Vertauschen von T_ab durch T_ba.

Produktregel für Divergenzen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{div}(f\vec{g}) =\nabla\cdot(f\vec{g}) =\left(f_{,i}\vec{g}+f\vec{g}_{,i}\right)\cdot\hat e_i =\mathrm{grad}(f)\cdot\vec{g}+f\mathrm{div}(\vec{g})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{div}(\vec{f}\times\vec{g})=\nabla\cdot(\vec{f}\times\vec{g}) =\left(\vec{f}_{,i}\times\vec{g} +\vec{f}\times\vec{g}_{,i}\right)\cdot\hat e_i =\vec{g}\cdot\mathrm{rot}(\vec{f})-\vec{f}\cdot\mathrm{rot}(\vec{g})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{div}(\vec{f}\otimes\vec{g})=& \left(\vec{f}_{,i}\otimes\vec{g} +\vec{f}\otimes\vec{g}_{,i}\right)\cdot\hat e_i \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=& \mathrm{grad}(\vec{f})\cdot\vec{g}+\mathrm{div}(\vec{g})\vec{f} \\ \mathrm{div}(f\mathbf{T})=& (f_{,i}\mathbf{T}+f\mathbf{T}_{,i})\cdot\hat e_i \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&\mathbf{T}\cdot\mathrm{grad}(f)+f\mathrm{div}(\mathbf{T}) \\ \mathrm{div}(\mathbf{T}\cdot\vec{f})=& \left(\mathbf{T}_{,i}\cdot\vec{f} +\mathbf{T}\cdot\vec{f}_{,i}\right)\cdot\hat e_i \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=& \mathrm{div}(\mathbf{T}^\top)\cdot\vec{f} +\mathbf{T}^\top:\mathrm{grad}(\vec{f}) \\ \mathrm{div}(\vec{f}\times\mathbf{T})=& (\vec{f}_{,i}\times\mathbf{T}+\vec{f}\times\mathbf{T}_{,i})\cdot\hat e_i \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=& \vec{\mathrm i}\left(\mathrm{grad}(\vec{f})\cdot\mathbf{T}^\top\right) +\vec{f}\times\mathrm{div}(\mathbf{T}) \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \nabla\cdot(\vec{f}\otimes\vec{g}) =& \hat{e}_i\cdot\left(\vec{f}_{,i}\otimes\vec{g} +\vec{f}\otimes\vec{g}_{,i}\right) \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=& (\nabla\cdot\vec{f})\vec{g}+(\nabla\otimes\vec{g})^\top\cdot\vec{f} \\ \nabla\cdot(f\mathbf{T})=& \hat{e}_i\cdot(f_{,i}\mathbf{T}+f\mathbf{T}_{,i}) \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla f)\cdot\mathbf{T} + f\nabla\cdot\mathbf{T} \\ \nabla\cdot(\mathbf{T}\cdot\vec{f}) =& \hat{e}_i\cdot\left(\mathbf{T}_{,i}\cdot\vec{f} +\mathbf{T}\cdot\vec{f}_{,i}\right) \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla\cdot\mathbf{T})\cdot\vec{f} +\mathbf{T}:(\nabla\otimes\vec{f}) \\ \nabla\cdot(\mathbf{T}\times\vec{f}) =& \hat{e}_i\cdot(\mathbf{T}_{,i}\times\vec{f} +\mathbf{T}\times\vec{f}_{,i}) \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=& (\nabla\cdot\mathbf{T})\times\vec{f} -\vec{\mathrm i}\left((\nabla\otimes\vec{f})^\top\cdot\mathbf{T}\right) \end{align}

Beliebige Basis:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{div}(f_i\vec{b}_i )=\nabla\cdot(f_i\vec{b}_i ) =\mathrm{grad}(f_i )\cdot\vec{b}_i +f_i\,\mathrm{div}(\vec{b}_i )

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{div}(T^{ij}\vec{b}_i\otimes\vec{b}_j ) =(\mathrm{grad}(T^{ij})\cdot\vec{b}_j)\vec{b}_i +T^{ij}\,\big(\mathrm{grad}(\vec{b}_i)\cdot\vec{b}_j +\mathrm{div}(\vec{b}_j)\vec{b}_i\big)

$ \nabla \cdot (T^{ij}{\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j})={\big (}(\nabla T^{ij})\cdot {\vec {b}}_{i}{\big )}{\vec {b}}_{j}+T^{ij}\,{\big (}(\nabla \cdot {\vec {b}}_{i}){\vec {b}}_{j}+(\nabla {\vec {b}}_{j})\cdot {\vec {b}}_{i}{\big )} $

Produkt mit Konstanten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{div}(f\mathbf{C}) =\mathbf{C}\cdot\mathrm{grad}(f) \quad\rightarrow\quad \mathrm{div}(f\mathbf1)=\mathrm{grad}(f)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\cdot(f\mathbf{C}) =\mathrm{grad}(f)\cdot\mathbf{C} \quad\rightarrow\quad \nabla\cdot(f\mathbf1)=\nabla f

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{div}(\mathbf{C}\cdot\vec{f}) =\mathbf{C}^\top:\mathrm{grad}(\vec{f}) \quad\rightarrow\quad \mathrm{div}(\vec{f}) =&\mathrm{div}(\mathbf1\cdot\vec{f}) =\mathbf1:\mathrm{grad}(\vec{f}) \\=&\mathrm{Sp}(\mathrm{grad}(\vec{f})) \end{align}

Rotation

Definition der Rotation/Allgemeines

Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{f}  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{rot}(\vec{f})=\nabla\times\vec{f}

Klassische Definition für ein Tensorfeld T:^[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{rot}(\mathbf{T})\cdot\vec c =\mathrm{rot}\left(\mathbf{T}^\top\cdot\vec c\right) \quad\forall\vec c\in\mathbb V

→ $ \mathrm {rot} (\mathbf {T} )=\nabla \times \left(\mathbf {T} ^{\top }\right) $

Allgemeine Identitäten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{T=T}^\top \quad\rightarrow\quad \mathrm{Sp\big(rot}(\mathbf{T})\big) =\mathrm{Sp}(\nabla\times\mathbf{T}) =0

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{rot}(\vec x)=\vec0

Integrabilitätsbedingung^[4]: Jedes divergenzfreie Vektorfeld ist die Rotation eines Vektorfeldes:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{div}(\vec{f})=0 \quad\rightarrow\quad \exists\vec{g}\colon\vec{f}=\mathrm{rot}(\vec{g}) .

Siehe auch #Satz über rotationsfreie Felder.

Koordinatenfreie Darstellung:

• Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v mit
• Oberfläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement $ \mathrm {d} {\vec {a}} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{rot}(\vec{f}) =-\lim_{v\rightarrow 0}\left( \frac{1}{v}\int_{a}\vec{f}\times\mathrm{d}\vec{a}\right)

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{rot}(f\vec{c})=&\mathrm{grad}(f)\times\vec{c} \\ \mathrm{rot}(\vec{f}) =&-\vec{\mathrm i}\big(\mathrm{grad}(\vec{f})\big) =\vec{\mathrm i}(\nabla\otimes\vec{f})=\nabla\times\vec f \end{align}

Rotation in verschiedenen Koordinatensystemen

#Kartesische Koordinaten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{rot}(\vec{f}) =& f_{j,i}\hat{e}_i\times\hat{e}_j =\epsilon_{ijk}f_{j,i}\hat{e}_k \\=& (f_{3,2}-f_{2,3})\hat{e}_{1}+(f_{1,3}-f_{3,1})\hat{e}_{2} +(f_{2,1}-f_{1,2})\hat{e}_{3} \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{rot}(\mathbf{T}) =\hat{e}_i\times\mathbf{T}^\top_{,i} =\hat{e}_i\times T_{lj,i}\hat{e}_j\otimes\hat{e}_l =\epsilon_{ijk} T_{lj,i}\hat{e}_k\otimes\hat{e}_l

#Zylinderkoordinaten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{rot}(\vec{f}) = \frac{f_{z,\varphi}-\rho f_{\varphi, z}}{\rho}\hat{e}_\rho +(f_{\rho, z} -f_{z,\rho})\hat{e}_\varphi + \frac{f_\varphi+\rho f_{\varphi,\rho}-f_{\rho,\varphi}}{\rho}\hat{e}_z

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{rot}(\mathbf T) = \hat e_\rho\times(\mathbf T^\top_{,\rho}) +\frac1\rho\hat e_\varphi\times(\mathbf T^\top_{,\varphi}) +\hat e_z\times(\mathbf T^\top_{,z})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\times\mathbf T = \hat e_\rho\times\mathbf T_{,\rho} +\frac1\rho\hat e_\varphi\times\mathbf T_{,\varphi} +\hat e_z\times\mathbf T_{,z}

#Kugelkoordinaten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{rot}(\vec{f}) =& \frac{f_{\varphi,\vartheta}\sin(\vartheta)+f_{\varphi}\cos(\vartheta) -f_{\vartheta,\varphi}}{r\sin(\vartheta)}\hat{e}_r +\left(\frac{f_{r,\varphi}}{r\sin(\vartheta)} -\frac{f_{\varphi}+rf_{\varphi,r}}{r}\right)\hat{e}_{\vartheta} \\& +\frac{f_{\vartheta}+rf_{\vartheta,r}-f_{r,\vartheta}}{r}\hat{e}_{\varphi} \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{rot}(\mathbf T) = \hat e_r\times(\mathbf T^\top_{,r}) +\frac1r\hat e_\vartheta\times(\mathbf T^\top_{,\vartheta}) +\frac1{r\sin(\vartheta)}\hat e_\varphi\times(\mathbf T^\top_{,\varphi})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla\times\mathbf T = \hat e_r\times\mathbf T_{,r} +\frac1r\hat e_\vartheta\times\mathbf T_{,\vartheta} +\frac1{r\sin(\vartheta)}\hat e_\varphi\times\mathbf T_{,\varphi}

Produktregel für Rotationen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{rot}(f\vec{g}) =& \hat{e}_i\times(f_{,i}\vec{g}+f\vec{g}_{,i}) = \mathrm{grad}(f)\times\vec{g} + f\mathrm{rot}(\vec{g}) \\ \mathrm{rot}(\vec{f}\times\vec{g}) =& \hat{e}_i\times\left(\vec{f}_{,i}\times\vec{g}+\vec{f}\times\vec{g}_{,i}\right) \\=& (\hat{e}_i\cdot\vec{g})\vec{f}_{,i} -\left(\hat{e}_i\cdot\vec{f}_{,i}\right)\vec{g} + \left(\hat{e}_i\cdot\vec{g}_{,i}\right)\vec{f} - (\hat{e}_i\cdot\vec{f})\vec{g}_{,i} \\ =& \mathrm{grad}(\vec{f})\cdot\vec{g}-\mathrm{div}(\vec{f})\vec{g} +\mathrm{div}(\vec{g})\vec{f}-\mathrm{grad}(\vec{g})\cdot\vec{f} \\ =& \mathrm{div}(\vec{f}\otimes\vec{g})-\mathrm{div}(\vec{g}\otimes\vec{f}) =\nabla\cdot(\vec{g}\otimes\vec{f})-\nabla\cdot(\vec{f}\otimes\vec{g}) \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{rot}(\vec{f}\otimes\vec{g}) =& \hat{e}_i\times\left(\vec{g}_{,i}\otimes\vec{f} +\vec{g}\otimes\vec{f}_{,i}\right) \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=& \mathrm{rot}(\vec{g})\otimes\vec{f}-\vec{g}\times\mathrm{grad}(\vec{f})^\top \\ \mathrm{rot}(f\mathbf{T}) =& \hat{e}_k\times(f_{,k}\mathbf{T}^\top + f\mathbf{T}^\top_{,k}) \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=& \mathrm{grad}(f)\times(\mathbf{T}^\top) + f\mathrm{rot}(\mathbf{T}) \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{rot}(\mathbf{T}\cdot\vec{f}) =& \hat{e}_k\times\big(\mathbf{T}_{,k}\cdot\vec{f} +\mathbf{T}\cdot\vec{f}_{,k}\big) \\=& \mathrm{rot}(\mathbf{T}^\top)\cdot\vec{f} + \vec{\mathrm i}\left(\hat{e}_k\otimes\mathbf{T}\cdot\vec{f}_{,k}\right) \\=& \mathrm{rot}(\mathbf{T}^\top)\cdot\vec{f} -\vec{\mathrm i}\left(\mathbf{T}\cdot\mathrm{grad}(\vec{f})\right) \\ \mathrm{rot}(\vec{f}\times\mathbf{T}) =& -\mathrm{rot}\left((\mathbf{T}^\top\times\vec{f})^\top\right) \\=& -\nabla\times\left(\mathbf{T}^\top\times\vec{f}\right) \\=& -(\nabla\times\mathbf{T}^\top)\times\vec{f} +\mathbf{T}^\top\#(\nabla\otimes\vec{f}) \\=& -\mathrm{rot}(\mathbf{T})\times\vec{f} +\left(\mathbf{T}\#\mathrm{grad}(\vec{f})\right)^\top \end{align}

$ {\begin{aligned}\nabla \times ({\vec {f}}\otimes {\vec {g}})=&{\hat {e}}_{i}\times \left({\vec {f}}_{,i}\otimes {\vec {g}}+{\vec {f}}\otimes {\vec {g}}_{,i}\right)\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla \times {\vec {f}})\otimes {\vec {g}}-{\vec {f}}\times (\nabla \otimes ({\vec {g}})\\\nabla \times (f\mathbf {T} )=&{\hat {e}}_{k}\times (f_{,k}\mathbf {T} +f\mathbf {T} _{,k})\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla f)\times \mathbf {T} +f\nabla \times \mathbf {T} \end{aligned}} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \nabla\times(\mathbf{T}\cdot\vec{f}) =& \hat{e}_k\times(\mathbf{T}_{,k}\cdot\vec{f} +\mathbf{T}\cdot\vec{f}_{,k}) \\=& (\nabla\times\mathbf{T})\cdot\vec{f} +\vec{\mathrm i}\left(\hat{e}_k\otimes\mathbf{T}\cdot\vec{f}_{,k}\right) \\=& (\nabla\times\mathbf{T})\cdot\vec{f} -\vec{\mathrm i}\big(\mathbf{T}\cdot(\nabla\otimes\vec{f})^\top\big) \\ \nabla\times(\mathbf{T}\times\vec{f}) =& \hat{e}_k\times(\mathbf{T}_{,k}\times\vec{f} + (\mathbf{T}\cdot\hat{e}_i)\otimes\hat{e}_i\times\vec{f}_{,k}) \\=& (\nabla\times\mathbf{T})\times\vec{f} -(\mathbf{T}\cdot\hat{e}_i)\times\hat{e}_k\otimes\hat{e}_i\times\vec{f}_{,k} \\ =& (\nabla\times\mathbf{T})\times\vec{f} -\mathbf{T}\#(\nabla\otimes\vec{f}) \end{align}

Beliebige Basis:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{rot}(f^{i}\vec{b}_i ) =\mathrm{grad}(f^{i})\times\vec{b}_i +f^{i}\,\mathrm{rot}(\vec{b}_i )

Produkt mit Konstanten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \mathrm{rot}(\mathbf{C}\cdot\vec{f}) &=& -\vec{\mathrm i}\left(\mathbf{C}\cdot\mathrm{grad}(\vec{f})\right) \\&& \rightarrow\quad \mathrm{rot}(\vec{f}) =\mathrm{rot}(\mathbf1\cdot\vec{f}) =-\vec{\mathrm i}\left(\mathrm{grad}(\vec{f})\right) \\ \mathrm{rot}(\vec{f}\times\mathbf1) &=&\mathbf1\#\mathrm{grad}(\vec{f})^\top =\mathrm{grad}(\vec{f}) -\mathrm{div}(\vec{f})\mathbf1 \end{array}

In divergenzfreien Feldern ist also: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{rot}(\vec{f}\times\mathbf1)=\mathrm{grad}(\vec{f})

Laplace-Operator

Definition/Allgemeines

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta:=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2

Zusammenhang mit anderen Differentialoperatoren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rclcl} \Delta f &=&\mathrm{div\big(grad}(f)\big)&=&\nabla\cdot(\nabla f) \\ \Delta\vec{f} &=&\mathrm{div\big(grad}(\vec{f})\big)&=&\nabla\cdot(\nabla\otimes\vec{f}) \end{array}

„Vektorieller Laplace-Operator“:

$ \Delta {\vec {f}}=\mathrm {grad{\big (}div} ({\vec {f}}){\big )}-\mathrm {rot{\big (}rot} ({\vec {f}}){\big )} $

Laplace-Operator in verschiedenen Koordinatensystemen

#Kartesische Koordinaten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \Delta f=&f_{,kk} \\ \Delta\vec{f}=&\Delta f_i\hat{e}_i=f_{i,kk}\hat{e}_i \\ \Delta\mathbf{T}=&\Delta T_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j =T_{ij,kk}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j \end{align}

#Zylinderkoordinaten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \Delta f =& \frac{f_{,\rho}}{\rho}+f_{,\rho\rho}+\frac{f_{,\varphi\varphi}}{\rho^2}+f_{,zz} \\ \Delta\vec f =& \left(\Delta f_\rho-\frac{2f_{\varphi,\varphi}+f_\rho}{\rho^2} \right)\hat{e}_\rho +\left(\Delta f_\varphi+\frac{2f_{\rho,\varphi}-f_\varphi}{\rho^2} \right)\hat{e}_\varphi +\Delta f_z\hat{e}_z \end{align}

#Kugelkoordinaten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \Delta f=&\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin(\vartheta)}\frac{\partial}{\partial\vartheta} \left(\sin(\vartheta)\,\frac{\partial f}{\partial\vartheta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2(\vartheta)}\frac{\partial^2 f}{\partial\varphi^2} \\=& \frac{2f_{,r}}{r}+f_{,rr} +\frac{f_{,\vartheta}\cos(\vartheta)+f_{,\vartheta\vartheta}\sin(\vartheta)}{ r^2\sin(\vartheta)} +\frac{f_{,\varphi\varphi}}{r^2\sin^2(\vartheta)} \\ \Delta\vec f =& \left(\Delta f_{r}-\frac{2}{r^2}(f_{r}+f_{\vartheta,\vartheta}) -2\frac{f_{\varphi,\varphi}+f_{\vartheta}\cos(\vartheta)} {r^2\sin(\vartheta)} \right)\hat{e}_r \\& +\left( \Delta f_{\vartheta}+\frac{2f_{r,\vartheta}}{r^2} -\frac{f_{\vartheta}+2f_{\varphi,\varphi}\cos(\vartheta)}{r^2\sin^2(\vartheta)} \right)\hat{e}_\vartheta \\& +\left( \Delta f_{\varphi}-\frac{f_{\varphi}-2f_{\vartheta,\varphi}\cos(\vartheta) -2f_{r,\varphi}\sin(\vartheta)}{r^2\sin^2(\vartheta)} \right)\hat{e}_\varphi \end{align}

Verknüpfungen

Wegen der in der Literatur teilweise abweichenden Definitionen der Differentialoperatoren kann es in der Literatur zu abweichenden Formeln kommen. Wenn die Definitionen der Literatur hier eingesetzt werden, gehen die hiesigen Formeln in die der Literatur über.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rclcl} \mathrm{div(rot}(\vec{f})) &=&\nabla\cdot(\nabla\times\vec{f}) &=& 0 \\ \mathrm{rot(grad}(f)) &=&\nabla\times\nabla f &=&\vec0 \\ \mathrm{div(grad}(f)\times\mathrm{grad}(g)) &=& \nabla\cdot(\nabla f\times\nabla g) =\nabla g\cdot(\nabla\times\nabla f) &=& 0 \\ \mathrm{rot\big(grad}(\vec{f})\big) &=&\nabla\times(\nabla\otimes\vec{f}) &=&\mathbf{0} \\ \mathrm{div\big(rot}(\mathbf{T})^\top\big) &=&\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{T}) &=&\vec{0} \end{array}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rclcl} \mathrm{div\big(grad}(f)\big) &=&\nabla\cdot(\nabla f)=(\nabla\cdot\nabla)f &=&\Delta f \\ \mathrm{div\big(grad}(\vec{f})\big) &=&\nabla\cdot(\nabla\otimes\vec{f})=(\nabla\cdot\nabla)\vec{f} &=&\Delta\vec{f} \end{array}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rclcl} \mathrm{div\big(grad}(\vec{f})^\top\big) &=&\nabla\cdot(\nabla\otimes\vec{f}^\top) =f_{i,ij}\hat e_j &=&\mathrm{grad\big(div}(\vec{f})\big) \\ \mathrm{rot\big(grad}(\vec{f})^\top\big) &=& \nabla\times\big((\nabla\otimes\vec{f})^\top\big) = \nabla\times\big(\vec{f}_{,i}\otimes\hat e_i\big) &=&\mathrm{grad\big(rot}(\vec f)\big) \end{array}

$ {\begin{array}{rclcl}\mathrm {rot{\big (}rot} ({\vec {f}}){\big )}&=&\nabla \times (\nabla \times {\vec {f}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {f}})-\Delta {\vec {f}}&=&\mathrm {grad(div} ({\vec {f}}))-\Delta {\vec {f}}\\\mathrm {rot{\big (}rot} (\mathbf {T} )^{\top }{\big )}^{\top }&=&{\big (}\nabla \times (\nabla \times (\mathbf {T} ^{\top })){\big )}^{\top }\\&=&{\big (}\nabla \otimes \nabla \cdot \mathbf {T} ^{\top }{\big )}^{\top }-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} &=&\mathrm {grad(div} (\mathbf {T} ))-\Delta \mathbf {T} \end{array}} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \mathrm{rot\big(rot}(\mathbf{T}^\top)\big) &=& -\Delta\mathbf{T}-\mathrm{grad\big(grad(Sp}(\mathbf{T}))\big) +\mathrm{grad\big(div}(\mathbf{T})\big) +\mathrm{grad\big(div}(\mathbf{T}^\top)\big)^\top \\ &&+\left[\Delta\mathrm{Sp}(\mathbf{T})-\mathrm{div\big(div}(\mathbf{T})\big) \right]\mathbf1 \end{array}

Bei symmetrischem T = T^⊤ gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \mathrm{rot\big(rot}(\mathbf{T})\big) &=& -\Delta\mathbf{T}-\mathrm{grad\big(grad(Sp}(\mathbf{T}))\big) +\mathrm{grad\big(div}(\mathbf{T})\big) +\mathrm{grad\big(div}(\mathbf{T})\big)^\top \\ &&+\left[\Delta\mathrm{Sp}(\mathbf{T})-\mathrm{div\big(div}(\mathbf{T})\big) \right]\mathbf1 \end{array}

Wenn zusätzlich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{T}=\mathbf{T}^\top=\mathbf{G}-\mathrm{Sp}(\mathbf{G})\mathbf1 dann ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{rot\big(rot}(\mathbf{T})\big)= -\Delta\mathbf{G} +\mathrm{grad\big(div}(\mathbf{G})\big) +\mathrm{grad\big(div}(\mathbf{G})\big)^\top -\mathrm{div\big(div}(\mathbf{G})\big)\mathbf1

Der Laplace-Operator kann zwischen den anderen Operatoren wie ein Skalar behandelt werden, also an beliebiger Stelle in die Formeln eingesetzt werden, z. B.:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{l} \Delta\mathrm{rot(rot}(\vec{f})) =\mathrm{rot(\Delta rot}(\vec{f})) =\mathrm{rot(rot}(\Delta\vec{f}))=\ldots \\ \ldots=\Delta\mathrm{grad(div}(\vec{f})) -\Delta\Delta\vec{f} =\mathrm{grad}(\Delta\mathrm{div}(\vec{f})) -\Delta\Delta\vec{f} =\mathrm{grad(div}(\Delta\vec{f})) -\Delta\Delta\vec{f} \end{array}

Grassmann-Entwicklung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \vec{f}\times\mathrm{rot}(\vec{f}) =& \frac{1}{2}\mathrm{grad}(\vec{f}\cdot\vec{f}) -\mathrm{grad}(\vec{f})\cdot\vec{f} \\=& \big(\mathrm{grad}(\vec{f})^\top-\mathrm{grad}(\vec{f})\big)\cdot\vec{f} =\vec{\mathrm i}\big(\mathrm{grad}(\vec{f})\big)\times\vec f \end{align}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{grad}(\vec{f})\cdot\vec{f} = \frac{1}{2}\mathrm{grad}(\vec{f}\cdot\vec{f}) -\vec{f}\times\mathrm{rot}(\vec{f})

Sätze über Gradient, Divergenz und Rotation

Ein Vektorfeld, dessen Divergenz und Rotation verschwindet, ist harmonisch:

$ \mathrm {div} ({\vec {f}})=0\;{\text{und}}\;\mathrm {rot} ({\vec {f}})={\vec {0}}\quad \rightarrow \quad \Delta {\vec {f}}={\vec {0}} $

Helmholtz-Theorem

Jedes Vektorfeld lässt sich eindeutig in einen divergenzfreien und einen rotationsfreien Anteil zerlegen. Den Integrabilitätsbedingungen für Rotationen und Gradienten zufolge ist der erste Anteil ein Rotationsfeld und der zweite ein Gradientenfeld.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rclccl} \vec{f}=\vec{f}_1 +\vec{f}_2:&&&\mathrm{div}(\vec{f}_1)= 0 &\text{und}&\mathrm{rot}(\vec{f}_2)=\vec{0} \\ \leftrightarrow\exists g,\vec{g}: && \vec{f}=&\mathrm{rot}(\vec{g}) &+&\mathrm{grad}(g) \end{array}

Satz über rotationsfreie Felder

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rrcll} \textsf{I}:&\mathrm{rot}(\vec{u}):=\hat{e}_k\times\vec{u}_{,k}=\vec{0}&\rightarrow&\exists f\colon&\vec{u}=\mathrm{grad}(f) \\ \textsf{II}: &\mathrm{rot}(\mathbf{T})=\mathbf{0} &\rightarrow&\exists\vec{u}\colon&\mathbf{T} =\mathrm{grad}(\vec{u}) \\ \textsf{III}: &\mathrm{rot}(\mathbf{T})=\mathbf{0} \;\text{und}\;\mathrm{Sp}(\mathbf{T}) = 0&\rightarrow&\exists\mathbf{W}\colon&\mathbf{T}=\mathrm{rot}(\mathbf{W}) \;\text{und}\; \mathbf{W}= -\mathbf{W}^\top \end{array}

oder

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rrcll} \textsf{II}: &\nabla\times(\mathbf{T}^\top)=\mathbf{0} &\rightarrow&\exists\vec{u}\colon&\mathbf{T}=\mathrm{grad}(\vec{u}) \\ \textsf{III}: &\nabla\times(\mathbf{T}^\top) =\mathbf{0}\;\text{und}\;\mathrm{Sp}(\mathbf{T}) = 0&\rightarrow&\exists\mathbf{W}\colon&\mathbf{T}=\mathrm{rot}(\mathbf{W}) \;\text{und}\; \mathbf{W}= -\mathbf{W}^\top \end{array}

Gaußscher Integralsatz

• Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v mit Volumenform Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}v und
• Oberfläche $ a $ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{a}
• Ortsvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}\in v
• Skalar-, vektor- oder tensorwertige Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f,\vec{f},\mathbf{T} des Ortes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \int_{v}\mathrm{grad}(f)\,\mathrm{d}v &=&\int_{a} f\,\mathrm{d}\vec{a} \\ \int_{v}\mathrm{grad}(\vec{f})\,\mathrm{d}v &=&\int_{a}\vec{f}\otimes\mathrm{d}\vec{a} \\ \int_{v}\mathrm{div}(\vec{f})\,\mathrm{d}v &=&\int_{a}\vec{f}\cdot\mathrm{d}\vec{a} \\ \int_{v}\mathrm{rot}(\vec{f})\,\mathrm{d}v &=& -\int_{a}\vec{f}\times\mathrm{d}\vec{a} \\ \int_{v}\mathrm{div}(\mathbf{T})\,\mathrm{d}v &=&\int_{a}\mathbf{T}\cdot\mathrm{d}\vec{a} \\ \int_{v}\nabla\cdot\mathbf{T}\,\mathrm{d}v &=&\int_{a}\mathbf{T}^\top\cdot\mathrm{d}\vec{a} \end{array}

Mit der #Produktregel für Gradienten, #Produktregel für Divergenzen und #Produktregel für Rotationen können Formeln für die partielle Integration im Mehrdimensionalen abgeleitet werden, beispielsweise:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{grad}(f g) =&\mathrm{grad}(f)g+f\mathrm{grad}(g) \\ \rightarrow\int_{v}\mathrm{grad}(f)g\,\mathrm{d}v =&\int_{a}fg\,\mathrm{d}\vec{a} -\int_{v}f\mathrm{grad}(g)\,\mathrm{d}v \end{align}

Klassischer Integralsatz von Stokes

Gegeben:

• Fläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement $ \mathrm {d} {\vec {a}} $
• Berandungskurve Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b der Fläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a mit Linienelement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{b}
• Ortsvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}\in a

Vektorwertige Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{f}(\vec{x},t)  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_{a}\mathrm{rot}(\vec{f})\cdot\mathrm{d}\vec{a} =\oint_{b}\vec{f}\cdot\mathrm{d}\vec{b}

Mit der #Produktregel für Rotationen können Formeln für die partielle Integration im Mehrdimensionalen abgeleitet werden, beispielsweise:

$ {\begin{aligned}\mathrm {rot} (f{\vec {g}})=&\mathrm {grad} (f)\times {\vec {g}}+f\mathrm {rot} ({\vec {g}})\\\rightarrow \int _{a}{\big (}\mathrm {grad} (f)\times {\vec {g}}{\big )}\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}=&\oint _{b}f{\vec {g}}\cdot \mathrm {d} {\vec {b}}-\int _{a}f\mathrm {rot} ({\vec {g}})\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}\end{aligned}} $

Reynoldscher Transportsatz

Gegeben:

• Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t
• Zeitabhängiges Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v mit Volumenform Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}v mit
• Oberfläche des Volumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a und äußerem vektoriellem Oberflächenelement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{a}
• Ortsvektoren $ {\vec {x}}\in v $
• Geschwindigkeitsfeld:Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}(\vec{x},t)
• Eine skalare oder vektorwertige Dichtefunktion pro Volumeneinheit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(\vec{x},t) , die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.
• Die Integrale Größe für das Volumen:Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_v\vec{f}(\vec{x},t)\,\mathrm{d}v

Skalare Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(\vec{x},t)  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{v}f\,\mathrm{d}v &=& \int_{v}\frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}v +\int_{a} f (\vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{a}) =\int_{v}\left( \frac{\partial f}{\partial t} +\mathrm{div}(f\vec{v})\right)\,\mathrm{d}v \\ &=& \int_{v}\left( \frac{\partial f}{\partial t} +\mathrm{grad}(f)\cdot\vec{v} +\mathrm{div}(\vec{v})\,f \right)\,\mathrm{d}v = \int_{v}\left(\dot{f} +\mathrm{div}(\vec{v})\,f\right)\,\mathrm{d}v \end{array}

Vektorwertige Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{f}(\vec{x},t)  :

$ {\begin{array}{rcl}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{v}{\vec {f}}\,\mathrm {d} v&=&\int _{v}{\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} v+\int _{a}{\vec {f}}({\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {a}})=\int _{v}\left({\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial t}}+\mathrm {div} ({\vec {v}}\otimes {\vec {f}})\right)\,\mathrm {d} v\\&=&\int _{v}\left({\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial t}}+\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {v}}+\mathrm {div} ({\vec {v}}){\vec {f}}\right)\,\mathrm {d} v=\int _{v}({\dot {\vec {f}}}+\mathrm {div} ({\vec {v}}){\vec {f}})\,\mathrm {d} v\end{array}} $

Transportsatz für Flächenintegrale

Gegeben:

• Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t
• Ortsvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}\in v
• Geschwindigkeitsfeld:Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}(\vec{x},t)
• Zeitabhängige Fläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a\colon [0,1]^2\mapsto v , die mit dem Geschwindigkeitsfeld transportiert wird und auf der mit räumlichem, vektoriellem Oberflächenelement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{a} im Volumen v integriert wird
• Eine skalare oder vektorwertige Feldgröße Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(\vec{x},t) , die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.
• Die Integrale Größe auf der Fläche:$ \int _{a}f({\vec {x}},t)\cdot \mathrm {d} {\vec {a}} $

Skalare Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(\vec{x},t)  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_a f\,\mathrm{d}\vec{a} = \int_a[ \dot{f}\mathbf1+f\operatorname{div}(\vec v)\mathbf1 -f \operatorname{grad}(\vec v)^\top ]\cdot\,\mathrm{d}\vec{a}

Vektorwertige Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{f}(\vec{x},t) :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_a\vec{f}\cdot\,\mathrm{d}\vec{a} = \int_a[ \dot{\vec{f}} +\vec{f}\operatorname{div}(\vec v) -\operatorname{grad}(\vec v)\cdot\vec{f} ]\cdot\,\mathrm{d}\vec{a}

Transportsatz für Kurvenintegrale

Gegeben:

• Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t
• Ortsvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}\in v
• Geschwindigkeitsfeld:$ {\vec {v}}({\vec {x}},t) $
• Zeitabhängige Kurve Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b\colon [0,1)\mapsto v , die mit dem Geschwindigkeitsfeld transportiert wird und entlang derer mit räumlichem, vektoriellem Linienelement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{b} im Volumen v integriert wird
• Eine skalare oder vektorwertige Feldgröße Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(\vec{x},t) , die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.
• Die Integrale Größe entlang des Weges:Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_b f(\vec{x},t)\cdot\mathrm{d}\vec{b}

Skalare Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(\vec{x},t)  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\oint_b f\,\mathrm{d}\vec{b} =\oint_b(\dot{f}\mathbf1+f\,\mathrm{grad}\vec{v})\cdot\mathrm{d}\vec{b}

Vektorwertige Funktion $ {\vec {f}}({\vec {x}},t) $:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\oint_b\vec{f}\cdot\mathrm{d}\vec{b} =\oint_b(\dot{\vec{f}}+\vec{f}\cdot\mathrm{grad}\vec{v})\cdot\mathrm{d}\vec{b}

Kontinuumsmechanik

Kleine Deformationen

Ingenieursdehnungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\varepsilon}=\varepsilon_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j =\frac{1}{2}( u_{i,j} + u_{j,i})\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j

Kompatibilitätsbedingungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \mathrm{rot\big(rot}(\boldsymbol{\varepsilon})\big) =\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{\varepsilon})^\top &=&\mathbf0 \\ &\downarrow& \\ 2\varepsilon_{12,12} -\varepsilon_{22,11} -\varepsilon_{11,22} &=& 0 \\ 2\varepsilon_{13,13} -\varepsilon_{33,11} -\varepsilon_{11,33} &=& 0 \\ 2\varepsilon_{23,23} -\varepsilon_{33,22} -\varepsilon_{22,33} &=& 0 \\ \varepsilon_{11,23} +\varepsilon_{23,11} -\varepsilon_{12,13} -\varepsilon_{13,12} &=& 0 \\ \varepsilon_{22,13} +\varepsilon_{13,22} -\varepsilon_{12,23} -\varepsilon_{23,12} &=& 0 \\ \varepsilon_{12,33} +\varepsilon_{33,12} -\varepsilon_{13,23} -\varepsilon_{23,13} &=& 0 \end{array}

Starrkörperbewegung

Orthogonaler Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q} beschreibt die Drehung.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{\Omega} : =\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top ={(\mathbf{Q}\cdot{\dot{\mathbf{Q}}}^\top)}^\top =-\mathbf{Q}\cdot{\dot{\mathbf{Q}}}^\top

Vektorinvariante oder dualer axialer Vektor $ {\vec {\omega }} $ des schiefsymmetrischen Tensors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{\Omega} ist die Winkelgeschwindigkeit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{\Omega}\cdot\vec{r} =\vec\omega\times\vec{r}{\quad\forall\;}\vec{r}

Starrkörperbewegung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r}=\mathrm{const.}  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x} =\vec{f}+\mathbf{Q}\cdot\vec{r} \quad\rightarrow\quad \vec{r}=\mathbf{Q}^\top\cdot(\vec{x}-\vec{f})

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v} =\dot{\vec{f}}+\dot{\mathbf{Q}}\cdot\vec{r} =\dot{\vec{f}}+\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top\cdot(\vec{x}-\vec{f}) =\dot{\vec{f}}+\mathbf{\Omega}\cdot (\vec{x}-\vec{f}) =\dot{\vec{f}}+\vec\omega\times (\vec{x}-\vec{f})

Ableitungen der Invarianten

$ {\frac {\partial \mathrm {I} _{1}(\mathbf {T} )}{\partial \mathbf {T} }}={\frac {\partial \mathrm {Sp} (\mathbf {T} )}{\partial \mathbf {T} }}=\mathbf {1} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial\mathrm{I}_{2}(\mathbf{T})}{\partial\mathbf{T}} =\mathrm{I}_{1}(\mathbf{T})\mathbf1-\mathbf{T}^\top

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial\mathrm{I}_{3}(\mathbf{T})}{\partial\mathbf{T}} =\frac{\partial\mathrm{det}(\mathbf{T})}{\partial\mathbf{T}} =\mathrm{det}(\mathbf{T})\mathbf{T}^{\top-1} =\mathrm{cof}(\mathbf{T}) =\mathbf{T^\top\cdot T^\top}-\mathrm{I}_1(\mathbf{T})\mathbf{T}^\top +\mathrm{I}_2(\mathbf{T})\mathbf1

mit der transponiert inversen T^⊤-1 und dem Kofaktor cof(T) des Tensors T.

Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f der Invarianten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align}\frac{\partial f}{\partial\mathbf{T}} (\mathrm{I}_{1}(\mathbf{T}),\,\mathrm{I}_{2}(\mathbf{T}), \,\mathrm{I}_{3}(\mathbf{T})) =& \left(\frac{\partial f}{\partial\mathrm{I}_{1}} +\mathrm{I}_{1}\frac{\partial f}{\partial\mathrm{I}_{2}} +\mathrm{I}_{2}\frac{\partial f}{\partial\mathrm{I}_{3}}\right)\mathbf1 - \left(\frac{\partial f}{\partial\mathrm{I}_{2}} +\mathrm{I}_{1}\frac{\partial f}{\partial\mathrm{I}_{3}}\right)\mathbf{T}^\top \\&+ \frac{\partial f}{\partial\mathrm{I}_{3}}\mathbf{T}^\top\cdot\mathbf{T}^\top \end{align}

Ableitung der Frobenius-Norm:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial\parallel\mathbf{T}\parallel}{\partial\mathbf{T}} =\frac{\mathbf{T}}{\parallel\mathbf{T}\parallel}

Eigenwerte (aus der impliziten Ableitung des charakteristischen Polynoms):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{T}\cdot\vec{v}=\lambda\vec{v} \quad\rightarrow\quad \mathrm{det}(\mathbf{T}-\lambda\mathbf1) =-\lambda^3+\mathrm{I}_1\lambda^2-\mathrm{I}_2\lambda+\mathrm{I}_3 =0

→ $ {\dfrac {\mathrm {d} \lambda }{\mathrm {d} \mathbf {T} }}={\dfrac {(\lambda ^{2}-\lambda \mathrm {I} _{1}+\mathrm {I} _{2})\mathbf {1} +(\lambda -\mathrm {I} _{1})\mathbf {T} ^{\top }+\mathbf {T^{\top }\cdot T^{\top }} }{3\lambda ^{2}-2\mathrm {I} _{1}\lambda +\mathrm {I} _{2}}} $

Eigenwerte symmetrischer Tensoren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{T}\cdot\vec{v}=\lambda\vec{v} \quad\rightarrow\quad \frac{\partial\lambda}{\partial\mathbf{T}} =\vec{v}\otimes\vec{v}

Eigenwerte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{T}=\sum_{i=1}^3\lambda_i\,\vec{v}_i\otimes\vec{v}^i , wo Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}^i dual zu den Eigenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}_i sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{v}_i\cdot\vec{v}^j=\delta_i^j) :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial\lambda_i}{\partial\mathbf{T}} =\vec{v}^i\otimes\vec{v}_i  (keine Summe)

Die Eigenwerte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{T} =c\,\vec{v}_1\otimes\vec{v}^1 +a(\vec{v}_2\otimes\vec{v}^2+\vec{v}_3\otimes\vec{v}^3) +b(\vec{v}_2\otimes\vec{v}^3-\vec{v}_3\otimes\vec{v}^2) sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_1=c,\,\lambda_2=a+\mathrm{i}b,\,\lambda_3=a-\mathrm{i}b mit den Eigenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec v_1,\,\vec w_2=\vec v_2+\mathrm{i}\vec v_3,\,\vec w_3=\vec v_2-\mathrm{i}\vec v_3 . Hier ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial\lambda_1}{\partial\mathbf{T}} =\vec{v}^1\otimes\vec{v}_1 ,\quad \frac{\partial\lambda_k}{\partial\mathbf{T}} =\frac12\overline{\vec{w}^k\otimes\vec{w}_k},\quad k=2,3  (keine Summe)

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec w^2=\vec v^2+\mathrm{i}\vec v^3,\,\vec w^3=\vec v^2-\mathrm{i}\vec v^3 und der Überstrich markiert den konjugiert komplexen Wert.

Konvektive Koordinaten

Konvektive Koordinaten $ y_{1},y_{2},y_{3}\in \mathbb {R} $

Kovariante Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{B}_i =\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}y_i} ,    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{b}_i =\frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}y_i}

Kontravariante Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{B}^{i} =\frac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}\vec{X}} :=\mathrm{GRAD}(y_i ) ,    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{b}^{i} =\frac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}\vec{x}} :=\mathrm{grad}(y_i )

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{B}_i\cdot\vec{B}^{j} =\vec{b}_i\cdot\vec{b}^{j} =\delta_i^{j}

Deformationsgradient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F} =\vec{b}_i\otimes\vec{B}^{i}

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{l} =\dot{\vec{b}}_i\otimes\vec{b}^{i} =-\vec{b}_i\otimes\dot{\vec{b}}^{i}

Kovarianter Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{T} =T_{ij}\vec{b}^{i}\otimes\vec{b}^{j}

Kontravarianter Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{T} =T^{ij}\vec{b}_i\otimes\vec{b}_j

Geschwindigkeitsgradient

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient:Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{l} =\mathrm{grad}(\vec{v})=\dot{\mathbf{F}}\cdot\mathbf{F}^{-1}

Divergenz der Geschwindigkeit:Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{div}(\vec{v}) =\mathrm{Sp}(\mathbf{l})

Winkelgeschwindigkeit oder Wirbelstärke ist der duale axiale Vektor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\omega =\stackrel{A}{\vec{\mathbf l}}=-\frac12\vec{\mathrm i}(\mathbf l) =\frac12\mathrm{rot}(\vec v)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\mathrm{det}(\mathbf{F}) =\mathrm{det}(\mathbf{F})\mathbf{F}^{\top-1}:\dot{\mathbf F} =\mathrm{det}(\mathbf{F})\mathrm{Sp}(\dot{\mathbf F}\cdot\mathbf{F}^{-1}) =\mathrm{det}(\mathbf{F})\,\mathrm{div}(\vec{v})

Objektive Zeitableitungen

Bezeichnungen wie in #Konvektive Koordinaten.

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{l} =\dot{\vec{b}}_i\otimes\vec{b}^i= -\vec{b}_i\otimes\dot{\vec{b}}\,^i =\mathbf{d}+\mathbf{w}

Räumliche Verzerrungsgeschwindigkeit $ \mathbf {d} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {l} +\mathbf {l} ^{\top }) $

Wirbel- oder Spintensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{w} =\frac{1}{2}(\mathbf{l}-\mathbf{l}^\top)

Objektive Zeitableitungen von Vektoren

Gegeben:Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}=v_i\vec{b}^i=v^i\vec{b}_i :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rclcl} \stackrel{\Delta}{\vec{v}} &=&\dot{\vec{v}}+\mathbf{l}^\top\cdot\vec{v} &=&\dot{v}_i\vec{b}^i \\ \stackrel{\nabla}{\vec{v}} &=&\dot{\vec{v}}-\mathbf{l}\cdot\vec{v} &=&\dot{v}^i\vec{b}_i \\ \stackrel{\circ}{\vec{v}} &=&\dot{\vec{v}}-\mathbf{w}\cdot\vec{v} \end{array}

Objektive Zeitableitungen von Tensoren

Gegeben:Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{T}=T_{ij}\vec{b}^{i}\otimes\vec{b}^{j} =T^{ij}\vec{b}_{i}\otimes\vec{b}_{j}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rclcl} \stackrel\Delta{\mathbf{T}} &=&\dot{\mathbf{T}}+\mathbf{T\cdot l}+\mathbf{l}^\top\cdot\mathbf{T} &=&{\dot{T}}_{ij}\vec{b}^{i}\otimes\vec{b}^{j} \\ \stackrel{\nabla}{\mathbf{T}} &=&\dot{\mathbf{T}}-\mathbf{l\cdot T}-\mathbf{T\cdot l}^\top &=&\dot{T}^{ij}\vec{b}_i\otimes\vec{b}_j \\ \stackrel{\circ}{\mathbf{T}} &=&\dot{\mathbf{T}}+\mathbf{T\cdot w}-\mathbf{w\cdot T} \\ \stackrel{\diamond}{\mathbf{T}} &=&\dot{\mathbf{T}}+\mathrm{Sp}(\mathbf{l})\mathbf{T} -\mathbf{l\cdot T}-\mathbf{T\cdot l}^\top \end{array}

Materielle Zeitableitung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{f}(\vec{x},t)=\frac{\mathrm{D}f}{\mathrm{D}t} =\frac{\partial f}{\partial t}+\mathrm{grad}(f)\cdot\vec{v} =\frac{\partial f}{\partial t}+(\vec v\cdot\nabla)f

$ {\dot {\vec {f}}}({\vec {x}},t)={\frac {\mathrm {D} {\vec {f}}}{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial t}}+\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {v}}={\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {f}} $

#Kartesische Koordinaten:Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{D}f}{\mathrm{D}t} := \frac{\partial f}{\partial t} +v_x\frac{\partial f}{\partial x} +v_y\frac{\partial f}{\partial y} +v_z\frac{\partial f}{\partial z}

#Zylinderkoordinaten:Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{D}f}{\mathrm{D}t} := \frac{\partial f}{\partial t} +v_\rho\frac{\partial f}{\partial\rho} +\frac{v_\varphi}{\rho}\frac{\partial f}{\partial\varphi} +v_z\frac{\partial f}{\partial z}

#Kugelkoordinaten:Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{D}f}{\mathrm{D}t} := \frac{\partial f}{\partial t} +v_r\frac{\partial f}{\partial r} +\frac{v_\varphi}{r\sin(\vartheta)}\frac{\partial f}{\partial\varphi} +\frac{v_\vartheta}{r}\frac{\partial f}{\partial\vartheta}

Materielle Zeitableitungen von Vektoren werden mittels Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tfrac{\mathrm{D}\vec f}{\mathrm{D}t} =\tfrac{\mathrm{D}f_i}{\mathrm{D}t}\hat{e}_i daraus zusammengesetzt.

Fußnoten

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5. 
• M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6. 
• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz. 6., unveränderte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5. 
• Konrad Königsberger: Analysis. überarbeitete Auflage. Band 2. 4. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-43580-8. 
• Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Springer, 2003, ISBN 3-540-00760-1. 
• C. Truesdell: Festkörpermechanik II. In: S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik. Band VIa/2. Springer, 1972, ISBN 3-540-05535-5.