Der generalisierte Impuls, auch verallgemeinerter, kanonischer, kanonisch konjugierter, oder konjugierter Impuls, tritt sowohl in der Hamiltonschen Mechanik als auch in der Lagrange-Mechanik auf. Zusammen mit dem konjugierten Ort kennzeichnet er den jeweiligen Zustand des Systems, der sich mit der Zeit gemäß den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ändert.
Als Funktion des Ortes $ q $ und der Geschwindigkeit $ {\dot {q}} $ ist der generalisierte Impuls die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion $ L $ nach der Geschwindigkeit:
- $ p_{j}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\,,\ j=1....n $
Beim Übergang von der klassischen Physik zur Quantenmechanik wird der kanonische Impuls (im Gegensatz zum kinetischen Impuls) durch den Impulsoperator $ {\hat {p}} $ ersetzt:
- $ p_{j}\rightarrow {\hat {p}}_{j}=-\hbar i{\frac {\partial }{\partial x_{j}}} $
Beispiele
Klassische Bewegung
- Bei Bewegung eines Teilchens der Masse $ m $ in einem Potential $ V(\mathbf {x} ,t) $ ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten
- $ L={\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-V(\mathbf {x} ,t) $
- ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:
- $ \mathbf {p} =m{\dot {\mathbf {x} }} $
- Bei Bewegung eines Teilchens der Masse $ m $ in einem Potential $ V(r,\varphi ,z,t) $ in Zylinderkoordinaten
- $ L={\frac {1}{2}}\,m{\bigl (}{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {z}}^{2}{\bigr )}-V(r,\varphi ,z,t) $
- ist der zum Winkel konjugierte generalisierte Impuls die Komponente des Drehimpulses in Richtung der Zylinderachse:
- $ p_{\dot {\varphi }}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=m\,r^{2}{\dot {\varphi }} $
- $ L={\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-q\,\phi (t,\mathbf {x} )+q\,{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} (t,\mathbf {x} ) $
- hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential $ \mathbf {A} $ des Feldes:
- $ \mathbf {p} =m\,{\dot {\mathbf {x} }}+q\,\mathbf {A} (t,\mathbf {x} ) $
Relativistische Bewegung
- Bei der relativistischen Bewegung eines Teilchens der Masse $ m_{0} $ in einem Potential $ V(\mathbf {x} ,t) $ ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten
- $ L=-m_{0}\,c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}-V(\mathbf {x} ,t) $
- ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:
- $ \mathbf {p} ={\frac {m_{0}\,{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}} $
- Bei relativistischer Bewegung einer Punktladung $ q $ mit der Masse $ m_{0} $ im elektromagnetischen Feld
- $ L=-m_{0}\,c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}-q\,\phi (t,\mathbf {x} )+q\,{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} (t,\mathbf {x} ) $
- hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential des Feldes:
- $ \mathbf {p} ={\frac {m_{0}\,{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\,\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t) $
Literatur
- Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.