Geometrische Linearisierung

Bei der geometrischen Linearisierung werden die kinematischen Gleichungen der Kontinuumsmechanik bezüglich der Verschiebungen linearisiert. Verschiebungen sind die bei einer Bewegung eines Körpers von seinen Partikeln zurückgelegten Wege. Dehnungen treten auf, wenn benachbarte Partikel stark unterschiedliche Verschiebungen aufweisen, weswegen die geometrische Linearisierung eine Linearisierung bezüglich der Dehnungen einschließt. Durch die geometrische Linearisierung erfahren die Gleichungen der Kontinuumsmechanik für Festkörper eine erhebliche Vereinfachung, die zulässig ist, wenn die Verschiebungen klein gegenüber einer charakteristischen Abmessung des Körpers und die Dehnungen klein gegen eins sind. Dann wird von kleinen Verschiebungen oder Deformationen im Gegensatz zu großen oder finiten Verschiebungen bzw. Deformationen gesprochen. In vielen Anwendungen im technischen Bereich werden kleine Verschiebungen angenommen oder müssen aus sicherheitstechnischen Gründen klein gehalten werden.

Von der geometrischen Linearisierung zu unterscheiden ist die physikalische Linearisierung, die Materialmodelle oder andere physikalische Nichtlinearitäten wie Körperkontakt betrifft. In physikalisch linearen Systemen sind die Gleichungen der Kontinuumsmechanik nach der geometrischen Linearisierung lineare Funktionen der Verschiebungen. In diesem Fall kann eine Rückwirkung der Verschiebungen auf die Steifigkeit eines Körpers, wie es beim Knicken und Beulen der Fall ist, nicht stattfinden. Drehungen von mehr als einem Grad oder Dehnungen von mehr als 3–8 % werden geometrisch linear nicht korrekt abgebildet. Deshalb darf die geometrische Linearisierung nur dann durchgeführt werden, wenn die vorgenannten Auswirkungen unerheblich sind.

Die geometrische Linearisierung wird angewandt, weil sich dadurch die Gleichungen der Kontinuumsmechanik in der lagrangeschen Beschreibung, z. B. in der Verschiebungsmethode, erheblich vereinfachen. Die Festigkeitslehre benutzt die geometrische Linearisierung in weiten Teilen. In physikalisch linearen Systemen ermöglicht die geometrische Linearisierung die Anwendung der airyschen Spannungsfunktion oder der Modalanalyse.

Definition

Verschiebung und ihr Gradient

Die Verschiebung ist der Differenzvektor zwischen der momentanen Lage eines Partikels und seiner Ausgangslage:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u} = \vec{\chi}(\vec{X},t) - \vec{X} .

Darin ist

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X}=\sum_{i=1}^3 X_i \vec{e}_i = X \vec{e}_1+Y \vec{e}_2+Z\vec{e}_3 die Position eines Partikels mit materiellen Koordinaten X_1,2,3 bzw. X, Y und Z bezüglich der Standardbasis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{e}_{1,2,3} zu einer bestimmten Zeit $ t_{0} $ in der undeformierten Ausgangslage des Körpers,
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\chi}(\vec{X},t) die Bewegungsfunktion, die die aktuelle Position des Partikels zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t \ge t_0 im Raum angibt, und
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}(\vec{X},t)=\sum_{i=1}^3 u_i \vec{e}_i = u \vec{e}_1+v \vec{e}_2+w\vec{e}_3 die Verschiebung mit Komponenten u_1,2,3 bzw. u, v und w.

Der Verschiebungsgradient wird mit dem dyadischen Produkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \otimes aus den Ableitungen der Verschiebungen nach den materiellen Koordinaten gebildet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{H} = \frac{\mathrm{d}u_i}{\mathrm{d}X_j} \vec{e}_i \otimes \vec{e}_j =\begin{pmatrix} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X}& \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}Y}& \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}Z} \\ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}X}& \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}Y}& \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}Z} \\ \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}X}& \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}Y}& \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}Z} \end{pmatrix} .

Geometrische Linearisierung

Die geometrische Linearisierung bezieht sich auf die kinematischen Gleichungen, die in der Kontinuumsmechanik in erster Linie den Deformationsgradient und die Verzerrungstensoren als Funktionen des Verschiebungsgradienten definieren. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(\mathbf{H}) eine skalar- oder tensorwertige Funktion des Verschiebungsgradienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{H} , z. B. der Deformationsgradient oder eine seiner Hauptinvarianten. Die geometrisch linearisierte Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f_t(\mathbf{H}) ergibt sich dann durch Vernachlässigung aller Terme, die die Frobeniusnorm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel \mathbf{H} \parallel des Verschiebungsgradienten in höherer Ordnung als eins enthalten. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta := \parallel \mathbf{H} \parallel und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{O}(\delta^2) das Landau Symbol für Terme, die mindestens quadratisch in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta sind und vernachlässigt werden können. Dann ist mathematisch ausgedrückt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(\mathbf{H})=f_t(\mathbf{H})+\mathcal{O}(\delta^2) .

Mit dem Formalismus der Linearisierung kann die geometrisch linearisierte Funktion mit dem Gâteaux-Differential

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{D}f(\mathbf{H})[\mathbf{X}] := \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} f(\mathbf{H}+s\mathbf{X})\right|_{s=0} = \lim_{s\rightarrow 0} \frac{f(\mathbf{H}+s\mathbf{X})-f(\mathbf{H})}{s}

wie folgt definiert werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f_t(\mathbf{H}) := f(\mathbf{0}) + \mathrm{D}f(\mathbf{0})[\mathbf{H}] = f(\mathbf{0}) + \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} f(s\mathbf{H})\right|_{s=0} = f(\mathbf{0}) + \lim_{s\rightarrow 0} \frac{f(s\mathbf{H})-f(\mathbf{0})}{s}

Die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f_t approximiert die Funktion f also linear und zwar an der Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{H}=\mathbf{0} . Prinzipiell kann aber auch an jeder anderen Stelle linearisiert werden.

Eine direkte Abhängigkeit von den Verschiebungen kann in den Randbedingungen eines kontinuumsmechanischen Randwertproblems auftreten. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g(\vec{u}) eine verschiebungsabhängige Randbedingung, z. B. eine in der Lagerung des Körpers vorgegebene Verschiebung oder Verdrehung. Dann wird diese analog zur Funktion f mittels

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g_t(\vec{u})  := g(\vec{0}) + \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} g(s\vec{u})\right|_{s=0} = g(\vec{0}) + \lim_{s\rightarrow 0} \frac{g(s\vec{u})-g(\vec{0})}{s}.

an der Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}=\vec{0} geometrisch linearisiert.

Geometrische Linearisierung nach Vordeformation

Eine geometrische Linearisierung abseits des Ursprungs kommt in der Praxis vor, wenn an einem bereits finiten (nicht kleinen) Deformationen und/oder Rotationen unterworfenem Körper, z. B. nach einem Umformprozess, eine Modalanalyse vorgenommen werden soll. Diese ist eine lineare Prozedur, die eine Linearisierung der Modellgleichungen zwingend erforderlich macht und deshalb eine geometrische Linearisierung impliziert. Die linearisierten Terme berechnen sich dann gemäß

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f_t(\mathbf{H}) = f(\mathbf{H}_0) + \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} f(\mathbf{H}_0 + s\Delta\mathbf{H})\right|_{s=0} = f(\mathbf{H}_0) + \lim_{s\rightarrow 0} \frac{f(\mathbf{H}_0 + s\Delta\mathbf{H})-f(\mathbf{H}_0)}{s}.

Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{H}_0 der Arbeitspunkt, in dem linearisiert wird, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta\mathbf{H} = \mathbf{H-H}_0 eine kleine (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel\Delta\mathbf{H}\parallel \ll 1 ) Abweichung vom Arbeitspunkt. Die Linearisierung der Randbedingungen erfolgt in analoger Weise am Arbeitspunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}_0 :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g_t(\vec{u}) = g(\vec{u}_0) + \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} g(\vec{u}_0 + s\Delta\vec{u})\right|_{s=0} = g(\vec{u}_0) + \lim_{s\rightarrow 0} \frac{g(\vec{u}_0 + s\Delta\vec{u})-g(\vec{u}_0)}{s}.

Nichtlinear geometrische Effekte

Datei:Rohrnlin1.png Abb. 1: Deformation eines Rohres (von grau nach gelb): a) Verformung des Querschnitts ändert die Steifigkeit (rot) b) Auslenkung ändert die Steifigkeit c) Deformation ändert Kraftrichtung (blau), grün angedeutet: lineare Rechnung

Datei:ForceBucklingMode4.svg Abb. 2: Beim Knicken verringert sich die Steifigkeit durch ein seitliches Ausweichen der Biegelinie (schwarz, dünn) von der Stab- oder Balkenachse (schwarz, fett). Das Ausweichen wird durch die Belastung (rot) weiter verstärkt.

Abb. 3: Behälter unter hydrostatischem Druck (weiß), a) geometrisch linear, b) geometrisch nichtlinear gerechnet

Die obigen Abbildungen zeigen Beispiele, in denen beachtliche geometrische Nichtlinearität auftritt. Die Effekte der geometrischen Nichtlinearität können in zwei Kategorien eingeteilt werden:

1. Große Dehnungen: Die durch die Dehnungen hervorgerufene Formänderung wirkt auf die Steifigkeit des Körpers oder die äußeren Kräfte zurück. Die in Abb. 1 auftretende Änderung des Rohrquerschnitts (a, rot) ist hierfür ein Beispiel und reduziert dort die Biegesteifigkeit des Rohres. Abb. 3 zeigt im rechten Bildteil wie große Dehnungen auch beachtliche Drehungen bewirken können.
2. Große Auslenkungen: Diese können auf die Steifigkeit des Körpers oder die äußeren Kräfte zurückwirken. Abb. 1 zeigt dazu, wie durch die Deformation des Rohres der Kraftangriffspunkt auswandert und sich so das Biegemoment erhöht (b) und sich die Belastungsrichtung ändert (c, blau). Große Drehungen ohne Dehnungen gehören auch in diese Kategorie.

Die genannten Effekte der geometrischen Nichtlinearität können nach der Linearisierung nicht mehr abgebildet werden: Eine Rückwirkung der Verformung auf die Steifigkeit des Körpers oder der äußeren Kräfte wird vernachlässigt. Deshalb reagiert das Rohr in Abb. 1 bei linearer Rechnung (grün) deutlich steifer als bei geometrisch nichtlinearer (gelb).

Im Folgenden werden die Beispiele in Abbildungen 2 und 3 oben näher beleuchtet.

Knicken des geraden Stabes

Das Knicken des geraden Stabes ist ein Effekt der geometrischen Nichtlinearität durch große Auslenkungen, siehe Abb. 2 oben. Solange die Belastung unterhalb einer kritischen Last bleibt, vermag die Struktur dieser standzuhalten. Oberhalb der kritischen Last kommt es zur positiven Rückkopplung zwischen der Belastungszunahme und Steifigkeitsabnahme durch die Auslenkung, was zum dramatischen Ausfall der Struktur führen kann.

Behälter unter Drucklast

Auf eine Behälterwand wirkende hydrostatische Drucklast, wie in Abb. 3 weiß angedeutet, ist der typische Fall für eine der Verformung folgenden Last, denn Druck wirkt immer senkrecht auf Flächen. Die Abbildung zeigt einen unten und am oberen Rand (c) drehbar aber unverschieblich gelagerten Behälter der einem hydrostatischen Druck p₀ ausgesetzt ist, so wie er sich ausbildet, wenn der Behälter mit einer Flüssigkeit gefüllt ist.

Bei geometrisch linearer Rechnung (a, links im Bild) nimmt die horizontale Druckkomponente linear über die Höhe der Behälterwand ab. Ohne Berücksichtigung der Verdrehung der Behälterwand, siehe Abschnitt #Folgelast unten, wirkt auf diese der Druck in horizontaler Richtung (weiß) und die Wand verformt sich zur blauen Kurve. Bei linearer Berücksichtigung der Verdrehung, entsteht die lila gezeichnete Belastung p_gl und die mit der blauen Kurve fast deckungsgleiche rote Kurve der Wandlinie. Obwohl die vertikale Druckkomponente hier deutlich größer ist als bei geometrisch nichtlinear Rechnung (rosa), ist die Verformung der Wand kleiner, weil die vertikale Komponente von der im unverformten Zustand berechneten Steifigkeit der senkrechten Wand leichter ertragen wird.

Der rechte Bildteil (b) zeigt das Ergebnis einer geometrisch nichtlinearen Rechnung, wo der Druck p_gnl (rosa) immer senkrecht auf die Behälterwand wirkt. Durch die Ausbeulung nimmt einerseits die Stützwirkung der Wand in vertikaler Richtung ab. Andererseits ist die Dehnung der Behälterwand in senkrechter Richtung bedeutsam, weil die durch sie hervorgerufenen Membrankräfte in der Wand dem Druck entgegenwirken, ein Effekt, den die geometrisch lineare Rechnung nicht abbildet, wie im folgenden Abschnitt dargelegt wird.

Analytische Betrachtungen

In diesem Abschnitt werden Beispiele von Bewegungen untersucht, anhand derer die Auswirkungen der geometrischen Linearisierung makroskopisch sichtbar und analytisch nachweisbar sind. Um die Effekte hervortreten zu lassen, werden große, mit einem Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha skalierte Bewegungen betrachtet, in denen die Anwendung der geometrischen Linearisierung nicht angebracht ist. Mit einem kleinen Wert von $ \alpha $ nahe 0,01 würde die Deformation in einem Bereich liegen, wo die geometrische Linearisierung zulässig wäre.

Drehung

Bei einer reinen Drehung eines Körpers in der x-y-Ebene um einen festen Raumpunkt p liegt die Bewegungsfunktion und Verschiebung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\chi}(\vec{X}) = \vec{p} + \begin{pmatrix}\cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix} (\vec{X}-\vec{p}) \rightarrow \vec{u} = \begin{pmatrix}\cos(\alpha)-1 & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha)-1 \end{pmatrix} (\vec{X}-\vec{p})

vor. Die Matrix ist der Verschiebungsgradient

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{H} := \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial X} & \frac{\partial u}{\partial Y} \\ \frac{\partial v}{\partial X} & \frac{\partial v}{\partial Y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(\alpha)-1 & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha)-1 \end{pmatrix} .

Hieraus lässt sich die auch bei großen Rotationen gültige Beziehung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial u}{\partial Y} = -\frac{\partial v}{\partial X}

ablesen. Der symmetrische Anteil des Gradienten sind die Ingenieursdehnungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}(\mathbf{H} + \mathbf{H}^\mathrm{T}) = \begin{pmatrix}\cos(\alpha)-1 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha)-1 \end{pmatrix} ,

die bei kleinen Drehwinkeln – und nur dann – näherungsweise verschwinden. Die Animation zeigt die v. Mises Vergleichsspannung in einem linear elastischen Stahlklotz (E=200.000 MPa, G=77.000 MPa) auf Grund von Ingenieursdehnungen bei einer Starrkörperdrehung um maximal 5°. Die mit der irrigen Annahme kleiner Dehnungen berechneten Spannungen liegen über der Streckgrenze vieler Stähle.

Verzerrungsfreie Drehstreckung

Die Rückstellkraft F einer senkrecht zu ihrer Ausrichtung um v ausgelenkten, linearen, biegeschlaffen Struktur (Seil, Stabwerk oder Membran) in Abb. 4b ist ein geometrisch nichtlinearer Effekt und kann bei geometrisch linearer Rechnung nicht nachgebildet werden. Die folgende analytische Betrachtung zeigt wieso.

Bei der in Abb. 4a abgebildeten Drehstreckung eines Rechtecks hängt die Verschiebung $ u $ in x-Richtung nur von der y-Koordinate und die Verschiebung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v in y-Richtung nur von der x-Koordinate des verschobenen Punktes ab:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \tan(\alpha) \begin{pmatrix} -Y \\ X \end{pmatrix}.

Bildung des Gradienten liefert den Verschiebungsgradienten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{H} := \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial X} & \frac{\partial u}{\partial Y} \\ \frac{\partial v}{\partial X} & \frac{\partial v}{\partial Y} \end{pmatrix} = \tan(\alpha) \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

und den linearisierten Verzerrungstensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}(\mathbf{H + H}^\mathrm{T}) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},

der der symmetrische Anteil des Verschiebungsgradienten ist und der hier verschwindet.

Im gedrehten Rechteck treten in geometrisch linearer Näherung wegen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial u}{\partial Y} = -\frac{\partial v}{\partial X}.

keine Schubverzerrungen auf, was nicht erstaunt denn diese Identität liegt auch bei einer reinen Drehung vor, siehe #Drehung oben.

Bemerkenswert ist aber, dass die Verschiebung des Punktes B nach C senkrecht zur Strecke (AB) in geometrisch linearer Näherung keine Streckung der Linie (AB) verursacht. Der Deformationsgradient, der die Summe aus dem Verschiebungsgradient und dem Einheitstensor I ist, und seine polare Zerlegung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \mathbf{F} &=& \mathbf{H+I} = \begin{pmatrix} 1 & -\tan(\alpha) \\ \tan(\alpha) & 1 \end{pmatrix} = \mathbf{R}\cdot \mathbf{U} \\ \mathbf{R} &=& \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix} \\ \mathbf{U} &=& \frac{1}{\cos(\alpha)} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{array}

in eine Drehung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{R} und eine rotationsfreie Streckung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{U} zeigen die Ursache für dieses Verhalten. Die Normalstreckungen in x- und y-Richtung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U_{xx} = U_{yy} = \frac{1}{\cos(\alpha)} = 1 + \mathcal{O}(\alpha^2)

sind in linearer Näherung gleich eins, denn der Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha ist von gleicher Ordnung wie die yx-Komponente des Verschiebungsgradienten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 0 < \alpha^2 \le \tan^2(\alpha) = \left(\frac{\partial v}{\partial X}\right)^2 = \mathcal{O}(\delta^2) .

In Abwesenheit einer Streckung verschwinden aber auch die Normaldehnungen, die im Körper Normalspannungen hervorrufen würden und die in Abb. 4b die Rückstellkraft bewirken würden.

Schubverzerrungsfreie Scherung

Abb. 5: Drehung und Scherung eines Rechtecks (ABCD, Breite b, Höhe h, blau) zu einem Parallelogramm (AB'CD', rot)

Gegeben sei ein Rechteck mit Breite b und Höhe h, das wie in der Abb. 5 im Ursprung liegt und parallel zu den Koordinatenachsen ausgerichtet ist (blau). Mit dem Verschiebungsfeld

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u} = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} X - \frac{b}{h} Y \\ \frac{b}{h} X - \frac{b^2}{h^2} Y \end{pmatrix} \quad\text{und}\quad \alpha = 50\,\%

wird das Rechteck zum rot dargestellten Parallelogramm verformt. Der Verschiebungsgradient und linearisierte Verzerrungstensor lauten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{H}:= \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial X} & \frac{\partial u}{\partial Y} \\ \frac{\partial v}{\partial X} & \frac{\partial v}{\partial Y} \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 1 & -\frac{b}{h} \\ \frac{b}{h} & -\frac{b^2}{h^2} \end{pmatrix} \quad\rightarrow\; \boldsymbol{\varepsilon}= \alpha \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -\frac{b^2}{h^2} \end{pmatrix}

Bei der Scherung des Rechtecks verschwinden die Schubverzerrungen wegen der auch bei Drehungen vorliegenden Identität

$ {\frac {\partial u}{\partial Y}}=-{\frac {\partial v}{\partial X}} $,

siehe #Drehung oben. Eine geometrisch nichtlineare Rechnung ergibt die Green-Lagrange'schen Schubverzerrungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_{xy}=-\alpha^2\frac{b}{h}\left(1+\frac{b^2}{h^2}\right)

die wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha^2 = (\partial u/\partial X)^2 = \mathcal{O}(\delta^2) im linearisierten Verzerrungstensor wegfallen. Die Schubsteifigkeit eines Bauteils kann so bei geometrisch linearer Rechnung und großen Deformationen unterschätzt werden.

Folgelast

Abb. 6: Auf eine drehbar gelagerte Wand wirkt senkrecht eine Kraft F

Auf eine senkrecht stehende, drehbare Wand (Länge L, blau im Abb. 6) wirkt senkrecht im Punkt X eine Kraft F₀ so, dass sich die Wand um einen Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha dreht und sich der Kraftangriffspunkt um den Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}\; \textsf{nach}\; \vec{x} verschiebt (rot):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X}=L \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}\;,\quad \vec{x}=L \begin{pmatrix}\sin(\alpha) \\ \cos(\alpha) \end{pmatrix}\;\rightarrow \vec{u}=L \begin{pmatrix}\sin(\alpha) \\ \cos(\alpha)-1 \end{pmatrix}

Die Kraft folgt dabei der Drehung, wodurch sie eine Funktion des Winkels wird:

$ {\vec {F}}=F{\begin{pmatrix}\cos(\alpha )\\-\sin(\alpha )\end{pmatrix}} $

In geometrisch linearer Näherung ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \vec{u}_t &=& L \left.\begin{pmatrix} \sin(\alpha) \\ \cos(\alpha)-1\end{pmatrix}\right|_{\alpha=0} + \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} L \begin{pmatrix} \sin(s \alpha) \\ \cos(s \alpha)-1\end{pmatrix}\right|_{s=0} = L \begin{pmatrix} \alpha \\ 0\end{pmatrix} \\ \vec{F}_t &=& F\left.\begin{pmatrix} \cos(\alpha) \\ -\sin(\alpha)\end{pmatrix}\right|_{\alpha=0} + \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} F \begin{pmatrix} \cos(s \alpha) \\ -\sin(s \alpha)\end{pmatrix}\right|_{s=0} = F \begin{pmatrix} 1\\ -\alpha\end{pmatrix} \end{array} .

Der Kraftangriffspunkt verschiebt sich in geometrisch linearer Näherung ausschließlich in x-Richtung und die y-Komponente der Kraft ändert sich linear mit dem Drehwinkel. Dieser Effekt wurde bei der Berechnung des Behälters unter hydrostatischem Druck in Abb. 3 berücksichtigt, was zur Belastung gemäß der lila Pfeile und der Verformung gemäß der roten Kurve im linken Bildteil führt (a).

Fazit

Die geometrische Linearisierung vereinfacht die kontinuumsmechanischen Berechnungen erheblich, weil die primäre Unbekannte – die Verschiebung – in den Verzerrungen nur noch linear auftritt. Diese Vereinfachung ist bei kleinen Verschiebungen und Verzerrungen angebracht und zulässig. Bei großen Verschiebungen treten geometrisch nichtlineare Effekte auf, die für die berechneten Ergebnisse entscheidend sind und bei Nichtbeachtung dramatische Fehlbeurteilungen nach sich ziehen können.

Beispiele

Skalare Funktion

Es soll die Determinante des Deformationsgradienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{det}(\mathbf{F}) geometrisch linearisiert werden. Der Deformationsgradient ist die Summe aus dem Verschiebungsgradienten und dem Einheitstensor. Mit dem charakteristischen Polynom berechnet sich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \operatorname{det}_t(\mathbf{F}=\mathbf{I}+\mathbf{H}) &=& \operatorname{det}(\mathbf{I}) + \mathrm{D}\operatorname{det}(\mathbf{0})[\mathbf{H}] \\ &=& 1 + \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \operatorname{det}(\mathbf{I}+s\mathbf{H})\right|_{s=0} \\ &=& 1 + \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \left[s^3 \operatorname{det}(\mathbf{H}+\frac{1}{s}\mathbf{I})\right]\right|_{s=0} \\ &=& 1 + \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \left[s^3 \left(\frac{1}{s^3}+\frac{1}{s^2}\operatorname{Sp}(\mathbf{H}) +\frac{1}{s}\operatorname{I}_2(\mathbf{H}) +\operatorname{det}(\mathbf{H})\right)\right] \right|_{s=0} \\ &=& 1 + \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \left[1+s \operatorname{Sp}(\mathbf{H}) +s^2 \operatorname{I}_2(\mathbf{H}) +s^3 \operatorname{det}(\mathbf{H})\right] \right|_{s=0} \\ &=& 1 + \left.(\operatorname{Sp}(\mathbf{H}) +2 s \operatorname{I}_2(\mathbf{H}) +3 s^2 \operatorname{det}(\mathbf{H})) \right|_{s=0} \\ &=& 1 + \operatorname{Sp}(\mathbf{H}). \end{array}

Die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{I}_2 ist die zweite Hauptinvariante. Im geometrisch linearen Fall ist also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{det}(\mathbf{F})\approx 1 + \operatorname{Sp}(\mathbf{H}) .

Tensorielle Funktion

Es soll die Inverse des Deformationsgradienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}^{-1}(\mathbf{H}):=(\mathbf{I}+\mathbf{H})^{-1} geometrisch linearisiert werden. Aus

$ (\mathbf {I+H} )\cdot (\mathbf {I-H} )=\mathbf {I+H-H-H\cdot H} =\mathbf {I} +{\mathcal {O}}(\delta ^{2}) $

ergibt sich in linearer Näherung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}^{-1}\approx\mathbf{I-H} .

Dies kann mit der Differentialrechnung wie folgt bestätigt werden. Aus dem (verschwindenden) Gâteaux-Differenzial des Einheitstensors wird mit der Produktregel das Differenzial des inversen Deformationsgradienten ermittelt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \mathrm{D}\mathbf{I}(\mathbf{0})[\mathbf{H}] &=& \mathrm{D}(\mathbf{F\cdot F}^{-1})(\mathbf{0})[\mathbf{H}] \\ &=& \underbrace{\mathrm{D}\mathbf{F}(\mathbf{0})[\mathbf{H}]}_{\mathbf{H}}\cdot \underbrace{\mathbf{F}^{-1}(\mathbf{0})}_{\mathbf{I}} + \underbrace{\mathbf{F}(\mathbf{0})}_{\mathbf{I}}\cdot \mathrm{D}\mathbf{F}^{-1}(\mathbf{0})[\mathbf{H}] =\mathbf{0} \\ \rightarrow \mathrm{D}\mathbf{F}^{-1}(\mathbf{0})[\mathbf{H}] &=& -\mathbf{H}. \end{array}

Mit diesem Differenzial lautet die geometrisch lineare Inverse des Deformationsgradienten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}^{-1}_t(\mathbf{H}) = \underbrace{\mathbf{F}^{-1}(\mathbf{0})}_{\mathbf{I}} + \underbrace{\mathrm{D}\mathbf{F}^{-1}(\mathbf{0})[\mathbf{H}]}_{-\mathbf{H}} = \mathbf{I} - \mathbf{H}.

Siehe auch

• Baustatik#Theorie I., II. oder III. Ordnung
• P-Delta-Effekt
• Formelsammlung Tensoralgebra
• Formelsammlung Tensoranalysis

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5. 
• P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2000, ISBN 3-540-66114-X.