Geschwindigkeitsgradient

Der (räumliche) Geschwindigkeitsgradient (Formelzeichen l oder L, Dimension T ^-1) ist in der Kontinuumsmechanik ein Mittel zur Beschreibung der lokalen Verformungsgeschwindigkeit eines Körpers. Der Körper mag fest, flüssig oder gasförmig sein und der Begriff der Verformung wird hier so weit gefasst, dass auch das Fließen einer Flüssigkeit und das Strömen eines Gases darunter fallen. Als Gradient bemisst der Geschwindigkeitsgradient die örtlichen Änderungen des Geschwindigkeitsfeldes. In kartesischen Koordinaten hat er die Form:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{l}:=\operatorname{grad}\vec v:= \begin{pmatrix} \frac{\partial v_x}{\partial x}&\frac{\partial v_x}{\partial y}&\frac{\partial v_x}{\partial z}\\ \frac{\partial v_y}{\partial x}&\frac{\partial v_y}{\partial y}&\frac{\partial v_y}{\partial z}\\ \frac{\partial v_z}{\partial x}&\frac{\partial v_z}{\partial y}&\frac{\partial v_z}{\partial z} \end{pmatrix} \,.

Die Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_{x,y,z} sind die Geschwindigkeitsanteile in x-, y- bzw. z-Richtung. Der räumliche Geschwindigkeitsgradient enthält alle Informationen über die bezugssysteminvarianten Schergeschwindigkeiten, die Divergenz und die Winkelgeschwindigkeit oder Wirbelstärke des Geschwindigkeitsfeldes.

Der Geschwindigkeitsgradient wird bei der mathematischen Formulierung von physikalischen Gesetzen und Materialmodellen benutzt und ist – vergleichbar zum Deformationsgradienten bezüglich der Deformation von Festkörpern – in der Strömungsmechanik von zentraler Bedeutung.

Beschreibung

Das Geschwindigkeitsfeld eines Körpers gibt an, wie schnell sich die einzelnen Partikel (Fluidelemente) des Körpers bewegen, siehe Abb. 1. Wenn sich der Körper gleichförmig bewegt, dann sind die Geschwindigkeiten benachbarter Partikel gleich und der Geschwindigkeitsgradient verschwindet, denn als Gradient bemisst er die örtlichen Änderungen, siehe den oberen Bildteil. Wenn sich aber die Geschwindigkeiten zweier benachbarter Partikel unterscheiden, dann liegt lokal entweder eine Drehung oder eine Deformation vor und der Geschwindigkeitsgradient ist von null verschieden wie im unteren Bildteil.

Das Geschwindigkeitsfeld kann für die sich bewegenden Partikel eines Körpers oder an den Raumpunkten innerhalb des Körpers aufgestellt werden. Ersteres ist die materielle letzteres die räumliche Formulierung. Weil das Geschwindigkeitsfeld üblicherweise räumlich begriffen wird, bezieht sich der Begriff „Geschwindigkeitsgradient“ zumeist auf den räumlichen Geschwindigkeitsgradient und dieser wird hier vorrangig behandelt.

Der räumliche Geschwindigkeitsgradient taucht in den lokalen, räumlichen Formulierungen der Massen-, Impuls- und Energiebilanzen auf und ist für die kinematische Nichtlinearität der Impulsbilanz in dieser Formulierung verantwortlich.

Der Bewegungszustand eines Beobachters beeinflusst seine Einschätzung der Geschwindigkeit der Partikel des Körpers und damit auch den von ihm beobachteten Geschwindigkeitsgradient. Weil also unterschiedlich bewegte Beobachter verschiedene Geschwindigkeitsgradienten wahrnehmen, ist dieser keine objektive Größe. Mit dem räumlichen Geschwindigkeitsgradient werden objektive Zeitableitungen von Vektoren und Tensoren definiert, die für die Formulierung bezugssysteminvarianter Materialgleichungen benötigt werden. Mehr zu dem Thema ist unter Euklidische Transformation zu finden.

Mathematisch ist der Geschwindigkeitsgradient ein Tensor zweiter Stufe, mit dem Vektoren linear auf andere Vektoren abgebildet werden, siehe Abb. 2. Ein solcher Tensor kann wie eine 3×3 Matrix betrachtet werden, deren Komponenten auf Dyaden referenzieren so wie die Komponenten eines Vektors auf Basisvektoren referenzieren.

Die Summe der Diagonalelemente, die Spur, ist die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes und ein Maß für die Ausdehnungsgeschwindigkeit eines (infinitesimal) kleinen Volumenelementes des Körpers.

Der symmetrische Anteil des räumlichen Geschwindigkeitsgradienten, der räumliche Verzerrungs-, Streck- oder Deformationsgeschwindigkeitstensor (Formelzeichen d oder D) verschwindet bei Starrkörperbewegungen inklusive Drehungen, tritt also nur bei „echten“ Verformungen auf und ist objektiv. Der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor wird in Materialmodellen geschwindigkeitsabhängiger Materialien eingesetzt, z. B. beim linear viskosen Fluid, dessen Geschwindigkeitsfeld den Navier-Stokes-Gleichungen gehorcht, die Fluidströmungen wirklichkeitsnah abbilden.

Der schiefsymmetrische Anteil des räumlichen Geschwindigkeitsgradienten, der Wirbel-, Spin- oder Drehgeschwindigkeitstensor (Formelzeichen w oder W) besitzt einen dualen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec\omega\,, die Winkelgeschwindigkeit, die proportional zum Wirbelvektor oder der Wirbelstärke ist, die in Flüssigkeits- und Gasströmungen eine wichtige Rolle spielt.

Definition und Darstellungsweisen

Materielle und räumliche Koordinaten und das Geschwindigkeitsfeld

Die Bewegung eines materiellen Punktes (Fluidelementes) wird mathematisch mit der Bewegungsfunktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}=\vec{\chi}(\vec{X},t)

beschrieben. Der Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x} ist die aktuelle Position des materiellen Punktes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t in der Momentankonfiguration (Kleinbuchstaben). Genauer ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} die Position des betrachteten materiellen Punktes in der Ausgangs- oder Referenzkonfiguration des Körpers zu einer vergangenen Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t_0\le t (Großbuchstaben). Bei festgehaltenem materiellen Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} gibt die Bewegungsfunktion dessen Bahnlinie durch den Raum wieder und bei festgehaltenem räumlichen Punkt $ {\vec {x}} $ gibt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X}=\vec{\chi}^{-1}(\vec{x},t) die Streichlinie durch den betrachteten Punkt wieder. Im kartesischen Koordinatensystem mit der Standardbasis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{e}_{1,2,3} hat der Raumpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x} die komponentenweise Darstellung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x} =\sum_{i=1}^3 x_i\hat{e}_i =\sum_{i=1}^3 \chi_i(\vec{X},t)\hat{e}_i

und entsprechend gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X}=\sum_{i=1}^3{X}_i\hat{e}_i . Die Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{1,2,3} werden räumliche Koordinaten genannt, weil diese einen Raumpunkt kennzeichnen, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): X_{1,2,3} werden materielle Koordinaten genannt, denn diese haften einem materiellen Punkt an. Die Bewegungsfunktion ist zu jeder Zeit an jedem Ort invertierbar

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}=\vec{\chi}(\vec{X},t) \quad\leftrightarrow\quad \vec{X}=\vec{\chi}^{-1}(\vec{x},t) \,,

weil sich an einem Punkt im Raum immer nur ein materieller Punkt aufhalten kann und ein materieller Punkt zu einer Zeit nur an einem Ort sein kann. Die Ableitung der Bewegungsfunktion nach der Zeit liefert das Geschwindigkeitsfeld:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}=\vec{\chi}(\vec{X},t) \quad\rightarrow\quad\vec{v}(\vec{x},t) =\sum_{i=1}^3 v_i(\vec{x},t)\hat{e}_i =\sum_{i=1}^3 \frac{\mathrm{D}\chi_i(\vec{X},t)}{\mathrm{D}t}\hat{e}_i =\sum_{i=1}^3 \dot{\chi}_i(\vec{X},t)\hat{e}_i =\dot{\vec{\chi}}(\vec{X},t) \,.

Die materiellen Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X}=\vec{\chi}^{-1}(\vec{x},t) gehören zu dem Partikel, das sich zur Zeit t am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x} befindet und dessen Geschwindigkeit zu dem Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}(\vec{x},t)=\dot{\vec{\chi}}(\vec{X},t) ist. Das Geschwindigkeitsfeld wird üblicherweise räumlich begriffen, weshalb es hier nur in der räumlichen Darstellung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v} (für englisch velocity „Geschwindigkeit“) bezeichnet wird. Ganz rechts steht das materielle Geschwindigkeitsfeld, das mit der substantiellen Zeitableitung der Bewegungsfunktion berechnet wird. Die Punktnotation wird hier ausschließlich für die substantielle Zeitableitung verwendet.

Geschwindigkeitsgradient und Deformationsgradient

Der Deformationsgradient ist die Ableitung der Bewegung nach den materiellen Koordinaten^{[F 1]}:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F} := \operatorname{GRAD}\left(\vec{\chi}(\vec{X},t)\right) := \sum_{i,j=1}^3 \frac{\mathrm{d}\chi_i(\vec{X},t)}{\mathrm{d}X_j} \hat{e}_i\otimes\hat{e}_j =:\frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}\vec{X}}

Das Rechenzeichen „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \otimes “ bildet das dyadische Produkt und „GRAD“ den materiellen Gradienten mit Ableitungen nach den materiellen Koordinaten. Durch die substantielle Zeitableitung des Deformationsgradienten entstehen die Geschwindigkeitsgradienten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \dot{\mathbf{F}} =& \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} \sum_{i,j=1}^3 \frac{\mathrm{d}\chi_i(\vec{X},t)}{\mathrm{d}X_j} \hat{e}_i\otimes\hat{e}_j = \sum_{i,j=1}^3 \frac{\mathrm{d}\dot{\chi}_i(\vec{X},t)}{\mathrm{d}X_j} \hat{e}_i\otimes\hat{e}_j \\ =& \sum_{i,j=1}^3 \frac{\mathrm{d}v_i(\vec{x},t)}{\mathrm{d}X_j} \hat{e}_i\otimes\hat{e}_j = \sum_{i,j,k=1}^3 \frac{\mathrm{d}v_i(\vec{x},t)}{\mathrm{d}x_k} \frac{\mathrm{d}\chi_k(\vec{X},t)}{\mathrm{d}X_j} \hat{e}_i\otimes\hat{e}_j = \underbrace{\sum_{i,k=1}^3 \frac{\mathrm{d}v_i(\vec{x},t)}{\mathrm{d}x_k} \hat{e}_i\otimes\hat{e}_k}_{\operatorname{grad}\vec{v}} \cdot \underbrace{\sum_{j,l=1}^3 \frac{\mathrm{d}\chi_l(\vec{X},t)}{\mathrm{d}X_j} \hat{e}_l\otimes\hat{e}_j}_{=\operatorname{GRAD}\vec{\chi}} \\ =& \operatorname{grad}\bigl(\vec{v}(\vec{x},t)\bigl)\cdot\operatorname{GRAD}\bigl(\vec{\chi}(\vec{X},t)\bigl) =: \mathbf{l\cdot F} \,.\end{align}

Das Rechenzeichen „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \otimes “ bildet das dyadische Produkt, „grad“ den räumlichen und „GRAD“ den materiellen Gradient mit Ableitungen nach den räumlichen bzw. den materiellen Koordinaten. Der materielle Geschwindigkeitsgradient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\mathbf{F}} ist die Zeitableitung des Deformationsgradienten oder – weil die Reihenfolge der Ableitungen vertauscht werden darf – die materielle Ableitung der Geschwindigkeit nach den materiellen Koordinaten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\mathbf{F}}(\vec{X},t) := \operatorname{GRAD}\left(\dot{\vec{\chi}}(\vec{X},t)\right) = \sum_{i,j=1}^3 \frac{\mathrm{d}\dot{\chi}_i}{\mathrm{d}X_j} \hat{e}_i\otimes\hat{e}_j =: \frac{\mathrm{d}\dot{\vec{\chi}}}{\mathrm{d}\vec{X}} = \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}\vec{x}}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}\vec{X}} =\mathbf{l\cdot F} \,.

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient

Der räumliche Geschwindigkeitsgradient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{l} ist die räumliche Ableitung der Geschwindigkeit nach den räumlichen Koordinaten^{[F 1]}:

$ \mathbf {l} ({\vec {x}},t):=\operatorname {grad} {\bigl (}{\vec {v}}({\vec {x}},t){\bigr )}:=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\mathrm {d} v_{i}}{\mathrm {d} x_{j}}}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}=:{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} {\vec {x}}}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {\vec {\chi }}}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {X}}}{\mathrm {d} {\vec {x}}}}={\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,. $

Das Geschwindigkeitsfeld wird meistens räumlich dargestellt, weshalb mit dem Begriff „Geschwindigkeitsgradient“ in der Regel der räumliche Geschwindigkeitsgradient gemeint ist. Materielle Größen werden in der Kontinuumsmechanik gemeinhin groß geschrieben und räumliche klein, weswegen hier auch die Kleinschreibung des räumlichen Geschwindigkeitsgradienten benutzt wird. Sein symmetrischer Anteil

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{d}:=\frac{1}{2}(\mathbf{l + l}^\top) =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2\frac{\partial v_x}{\partial x} &\frac{\partial v_x}{\partial y}+\frac{\partial v_y}{\partial x} &\frac{\partial v_x}{\partial z}+\frac{\partial v_z}{\partial x} \\ \frac{\partial v_y}{\partial x}+\frac{\partial v_x}{\partial y} &2\frac{\partial v_y}{\partial y} &\frac{\partial v_y}{\partial z}+\frac{\partial v_z}{\partial y} \\ \frac{\partial v_z}{\partial x}+\frac{\partial v_x}{\partial z} &\frac{\partial v_z}{\partial y}+\frac{\partial v_y}{\partial z} &2\frac{\partial v_z}{\partial z} \end{pmatrix}

ist der (räumliche) Verzerrungsgeschwindigkeitstensor und sein schiefsymmetrischer Anteil

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{w}:=\frac{1}{2}(\mathbf{l-l}^\top) =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 &\frac{\partial v_x}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial x} &\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x} \\ \frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y} &0 &\frac{\partial v_y}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial y} \\ \frac{\partial v_z}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial z} &\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z} &0 \end{pmatrix}

ist der (räumliche) Spin-, Wirbel- oder Drehgeschwindigkeitstensor. Das Superskript Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \top kennzeichnet die Transposition. In den Matrixdarstellungen beziehen sich die Geschwindigkeitsanteile Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_{x,y,z} auf ein kartesisches Koordinatensystem mit x-, y- und z-Richtungen.

Die Winkelgeschwindigkeit oder Wirbelstärke

Dem Wirbeltensor kann, weil er schiefsymmetrisch ist, ein dualer Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\omega}\,, mit der Eigenschaft

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\omega}\times\vec{u}=\mathbf{w}\cdot\vec{u}\quad\text{für alle}\quad\vec{u} \quad\Leftrightarrow\quad \mathbf{w}=\vec{\omega}\times\mathbf{1} =\sum_{i=1}^3 \vec{\omega}\times\hat{e}_i\otimes\hat{e}_i \,,

zugeordnet werden. Der Tensor 1 ist der Einheitstensor, „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \otimes “ das dyadische und „ד das Kreuzprodukt. Im Fall des Wirbeltensors ist der duale Vektor die Winkelgeschwindigkeit, die der Drehgeschwindigkeitsvektor bei Starrkörperbewegungen ist, wie der gleichnamige Abschnitt unten ausführt. Die Winkelgeschwindigkeit berechnet sich mit dem Nabla-Operator

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla:=\sum_{k=1}^3 \hat{e}_k \frac{\partial}{\partial x_k}

nach der Vorschrift^{[L 1]}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\omega} =-\frac{1}{2}\mathbf{1\cdot\!\!\times w} = -\frac{1}{2}\mathbf{1}\cdot\!\times \frac{1}{2}\bigl[\overbrace{(\nabla\otimes\vec{v})^\top}^{=\operatorname{grad}\vec{v}=\mathbf{l}} -\overbrace{\nabla\otimes\vec{v}}^{\mathbf{l}^\top}\bigr] := -\frac{1}{4}(-\nabla\times\vec{v}-\nabla\times\vec{v}) =\frac{1}{2}\nabla\times\vec{v}= \frac{1}{2}\operatorname{rot}(\vec{v})\,,

denn das Skalarkreuzprodukt „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cdot\!\times “ des Einheitstensors mit einer Dyade vertauscht das dyadische Produkt mit dem Kreuzprodukt. Der Differentialoperator „rot“ steht für die Rotation des Geschwindigkeitsfeldes.

Die Winkelgeschwindigkeit ist proportional zur Wirbelstärke, die eine besondere Bedeutung in Flüssigkeits- und Gasströmungen hat.

Darstellung in Zylinder- und Kugelkoordinaten

In achsensymmetrischen Strömungen bietet es sich an, ein Zylinder- oder Kugelkoordinatensystem zu benutzen. In Zylinderkoordinaten {ρ,φ,z} mit Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{e}_{\rho,\varphi,z} bekommt er die Form:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \operatorname{grad}\vec v =& \hat{e}_\rho\otimes(\operatorname{grad}v_\rho) +\frac{v_\rho}{\rho}\hat{e}_\varphi\otimes\hat{e}_\varphi +\hat{e}_\varphi\otimes(\operatorname{grad}v_\varphi) -\frac{v_\varphi}{\rho}\hat{e}_\rho\otimes\hat{e}_\varphi +\hat{e}_z\otimes(\operatorname{grad}v_z) \\=& \begin{pmatrix} \frac{\partial v_\rho}{\partial \rho} &\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \varphi}-\frac{v_\varphi}{\rho} & \frac{\partial v_\rho}{\partial z} \\ \frac{\partial v_\varphi}{\partial \rho} &\frac{v_\rho}{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\varphi}{\partial \varphi} & \frac{\partial v_\varphi}{\partial z} \\ \frac{\partial v_z}{\partial \rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \varphi} & \frac{\partial v_z}{\partial z} \end{pmatrix}_{\hat{e}_{\rho,\varphi,z}\otimes\hat{e}_{\rho,\varphi,z}} \\ \text{mit}\quad \operatorname{grad}f =& \frac{\partial f}{\partial\rho}\hat{e}_{\rho} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial\varphi}\hat{e}_{\varphi} +\frac{\partial f}{\partial z}\hat{e}_{z} \,.\end{align}

In Kugelkoordinaten {r,θ,φ} mit Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{e}_{r,\theta,\varphi} schreibt er sich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \operatorname{grad}\vec v =& \hat{e}_r\otimes(\operatorname{grad}v_r) +\frac{v_r}{r}\mathbf{1}-\frac{v_r}{r}\hat{e}_r\otimes\hat{e}_r +\hat{e}_\theta\otimes(\operatorname{grad}v_\theta) +\frac{v_\theta}{r\tan\theta}\hat{e}_\varphi\otimes\hat{e}_\varphi -\frac{v_\theta}{r}\hat{e}_r\otimes\hat{e}_\theta \\& +\hat{e}_\varphi\otimes(\operatorname{grad}v_\varphi) -\frac{v_\varphi}{r\tan\theta}\hat{e}_\theta\otimes\hat{e}_\varphi -\frac{v_\varphi}{r}\hat{e}_r\otimes\hat{e}_\varphi \\=& \begin{pmatrix} \frac{\partial v_r}{\partial r} &\frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial \theta}-\frac{v_\theta}{r} &\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial v_r}{\partial \varphi}-\frac{v_\varphi}{r} \\ \frac{\partial v_\theta}{\partial r} &\frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{v_r}{r} &\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial v_\theta}{\partial \varphi} -\frac{v_\varphi}{r\tan\theta} \\ \frac{\partial v_\varphi}{\partial r} &\frac{1}{r}\frac{\partial v_\varphi}{\partial \theta} &\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial v_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{v_r}{r} +\frac{v_\theta}{r\tan\theta} \end{pmatrix}_{\hat{e}_{r,\theta,\varphi}\otimes\hat{e}_{r,\theta,\varphi}} \\ \text{mit}\quad \operatorname{grad}f =& \frac{{\partial f}}{{\partial r}}\hat{e}_{r} +\frac{1}{r}\frac{{\partial f}}{{\partial\theta}}\hat{e}_{\theta} +\frac{1}{{r\sin\theta}}\frac{{\partial f}}{{\partial\varphi}} \hat{e}_{\varphi} \,.\end{align}

Darstellung in konvektiven Koordinaten

Konvektive Koordinaten sind krummlinige Koordinatensysteme, die an einen Körper gebunden sind und von allen Deformationen, die der Körper erfährt, mitgeführt werden, siehe Bild. Konvektive Koordinatensysteme werden in der Kinematik schlanker oder dünnwandiger Strukturen (z. B. Stäbe oder Schalen) eingesetzt. Auch materielle Vorzugsrichtungen nicht isotroper Materialien, wie z. B. von Holz, können in konvektiven Koordinaten beschrieben werden. Die Geschwindigkeitsgradienten bekommen, in konvektiven Koordinaten ausgedrückt, besonders einfache Darstellungen.

Jedem materiellen Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} werden über eine Referenzkonfiguration eineindeutig konvektive Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\Theta}=(\Theta_1, \Theta_2, \Theta_3) zugeordnet. Die Tangentenvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{G}_i := \dfrac{\mathrm{d} \vec{X}(\vec{\Theta})}{\mathrm{d}\Theta_i} \quad\textsf{bzw.}\quad \vec{g}_i := \dfrac{\mathrm{d} \vec{\chi}\left(\vec{X}(\vec{\Theta}),t\right)}{\mathrm{d}\Theta_i} = \dfrac{\mathrm{d} \vec{\chi}}{\mathrm{d}\vec{X}}\cdot\dfrac{\mathrm{d} \vec{X}}{\mathrm{d}\Theta_i} =\mathbf{F}\cdot\vec{G}_i

bilden dann kovariante Basen im Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}=\vec{\chi}(\vec{X},t) . Die Gradienten der konvektiven Koordinaten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{G}^i := \operatorname{GRAD}\Theta_i := \sum_{j=1}^3 \dfrac{\mathrm{d}\Theta_i}{\mathrm{d} X_j}\hat{e}_j =:\frac{\mathrm{d}\Theta_i}{\mathrm{d}\vec{X}}

bzw.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{g}^i := \operatorname{grad}\Theta_i :=\sum_{j=1}^3 \frac{\mathrm{d}\Theta_i}{\mathrm{d} x_j}\hat{e}_j =:\frac{\mathrm{d}\Theta_i}{\mathrm{d}\vec{x}} = \frac{\mathrm{d}\Theta_i}{\mathrm{d}\vec{X}}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}\vec{x}} = \vec{G}^i\cdot\mathbf{F}^{-1} = \mathbf{F}^{\top-1}\cdot\vec{G}^i

formen die kontravarianten Basen, die zu den kovarianten dual sind. In diesen Basissystemen ausgedrückt, bekommt der Deformationsgradient die besonders einfache Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F} = \sum_{i=1}^3 \vec{g}_i \otimes \vec{G}^i \quad\rightarrow\quad \mathbf{F}^{-1}=\sum_{i=1}^3\vec{G}_i\otimes \vec{g}^i \,.

Aus der Zeitableitung des Deformationsgradienten und der Zeitableitung der Inversen ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\mathbf{F}} = \sum_{i=1}^3 \dot{\vec{g}}_i \otimes \vec{G}^i \,,\quad (\mathbf{F}^{-1})\dot{} = \sum_{i=1}^3\vec{G}_i\otimes \dot{\vec{g}}^i\,,

denn die Ausgangskonfiguration und die in ihr definierten Basisvektoren hängen nicht von der Zeit ab. Mit diesen Ergebnissen schreibt sich der räumliche Geschwindigkeitsgradient:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf{l} =& \dot{\mathbf{F}}\cdot\mathbf{F}^{-1} = \sum_{i=1}^3 \dot{\vec{g}}_i \otimes \vec{g}^i \\ =& \sum_{i=1}^3 \dot{\vec{g}}_i \otimes \vec{g}^i -\underbrace{\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} \left(\sum_{i=1}^3 \vec{g}_i \otimes \vec{g}^i \right)}_{ =\dot{\mathbf{1}}=\mathbf{0}} =\sum_{i=1}^3(\dot{\vec{g}}_i \otimes \vec{g}^i-\dot{\vec{g}}_i \otimes \vec{g}^i -\vec{g}_i \otimes \dot{\vec{g}}^i) = -\sum_{i=1}^3 \vec{g}_i \otimes \dot{\vec{g}}^i\,, \end{align}

worin das Verschwinden der Zeitableitung des Einheitstensors 1 ausgenutzt wurde. Die Geschwindigkeitsgradienten bilden die Basisvektoren auf ihre Raten ab:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \dot{\vec{g}}_i =& \dot{\mathbf{F}}\cdot\vec{G}_i \,,\quad \dot{\vec{g}}^i = (\mathbf{F}^{\top-1})\dot{}\cdot\vec{G}^i \\ \dot{\vec{g}}_i =& \mathbf{l}\cdot\vec{g}_i \,,\quad \dot{\vec{g}}^i = -\mathbf{l}^\top\cdot\vec{g}^i . \end{align}

Der symmetrische Anteil des räumlichen Geschwindigkeitsgradienten ist der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf{d} = \dfrac{1}{2}(\mathbf{l + l}^\top) =& \frac{1}{2}\sum_{j=1}^3\dot{\vec{g}}_j \otimes \vec{g}^j + \frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 \vec{g}^i \otimes \dot{\vec{g}}_i = \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3 \left(\vec{g}_i\cdot\dot{\vec{g}}_j+\dot{\vec{g}}_i\cdot\vec{g}_j\right)\vec{g}^i \otimes \vec{g}^j \\ =& -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 \vec{g}_i\otimes\dot{\vec{g}}^i -\frac{1}{2}\sum_{j=1}^3 \dot{\vec{g}}^j\otimes\vec{g}_j = -\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3 \left(\dot{\vec{g}}^i\cdot\vec{g}^j+\vec{g}^i\cdot\dot{\vec{g}}^j\right)\vec{g}_i \otimes \vec{g}_j\,. \end{align}

Mit den Metrikkoeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g_{ij}:=\vec{g}_i\cdot\vec{g}_j und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g^{ij}:=\vec{g}^i\cdot\vec{g}^j sowie der Produktregel schreibt sich das:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{d} = \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3 \dot{g}_{ij} \vec{g}^i \otimes \vec{g}^j = -\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3 \dot{g}^{ij} \vec{g}_i \otimes \vec{g}_j\,.

Die Frobenius-Skalarprodukte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{g}_i\cdot\vec{g}_j bleiben bei einer Rotation oder Translation unverändert, weswegen der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor genau dann verschwindet, nämlich bei Starrkörperbewegungen.

Geometrische Linearisierung

In der Festkörpermechanik treten in vielen Anwendungsbereichen nur kleine Deformationen auf. In diesem Fall erfahren die Gleichungen der Kontinuumsmechanik eine erhebliche Vereinfachung durch geometrische Linearisierung. Dazu werden die Verschiebungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}(\vec{X},t) betrachtet, die ein materieller Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} im Laufe seiner Bewegung erfährt. Weil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}=\vec{\chi}(\vec{X},t) die aktuelle Position des Punktes ist, der in der Ausgangskonfiguration die Position Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} hatte, ist die Verschiebung die Differenz

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}=\vec{\chi}(\vec{X},t)-\vec{X}\,.

Der materielle Gradient der Verschiebungen ist der Tensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{H}=\mathrm{GRAD}\,\vec{u} =\mathrm{GRAD}\,\vec{\chi}-\mathrm{GRAD}\,\vec{X} =\mathbf{F}-\mathbf{1}\,.

und wird Verschiebungsgradient genannt. Er unterscheidet sich vom Deformationsgradient nur durch den Einheitstensor 1. Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L_0 eine charakteristische Abmessung des Körpers ist, dann wird bei kleinen Verschiebungen sowohl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\vec{u}| \ll L_0 als auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel\mathbf{H}\parallel \ll 1 und hier Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \parallel\dot{\mathbf{H}}\parallel \ll 1/s gefordert, so dass alle Terme, die höhere Potenzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u},\, \mathbf{H} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\mathbf{H}} beinhalten, vernachlässigt werden können. Dann gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf{l} =& \dot{\mathbf{F}}\cdot\mathbf{F}^{-1} \approx \dot{\mathbf{H}}\cdot(\mathbf{1-H})\approx \dot{\mathbf{H}}=\dot{\mathbf{F}} \\ \mathbf{d} \approx& \frac{1}{2}(\dot{\mathbf{H}} + \dot{\mathbf{H}}^\top) = \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} \\ \mathbf{w} \approx& \frac{1}{2}(\dot{\mathbf{H}} - \dot{\mathbf{H}}^\top) = \dot{\mathbf{R}}_L \,.\end{align}

Der Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\varepsilon} ist der linearisierte Verzerrungstensor und R_L ist der linearisierte Rotationstensor. Eine Unterscheidung des materiellen und räumlichen Geschwindigkeitsgradienten ist bei kleinen Deformationen demnach nicht nötig.

Transformationseigenschaften

Linien-, Flächen- und Volumenelemente

Der räumliche Geschwindigkeitsgradient transformiert in der Momentankonfiguration die Linien-, Flächen- und Volumenelemente in ihre Raten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} (\mathrm{d}\vec{x})\dot{} &= \mathbf{l}\cdot \mathrm{d}\vec{x} \\ (\mathrm{d}\vec{a})\dot{} &= (\operatorname{Sp}(\mathbf{l})\mathbf{1} - \mathbf{l}^\top)\cdot \mathrm{d}\vec{a} \\ (\mathrm{d}v)\dot{} &= \operatorname{Sp}(\mathbf{l}) \mathrm{d}v =\operatorname{div}(\vec v)\,\mathrm{d}v \,.\end{align}

Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec{a} (für englisch area „Fläche“) das vektorielle Oberflächenelement und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}v (für englisch volume „Volumen“) das Volumenelement. Der Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{Sp} berechnet die Spur seines Argumentes, die im Fall des Geschwindigkeitsgradienten die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{Sp}(\mathbf{l}) =\operatorname{Sp}(\mathbf{d}) = \operatorname{div}(\vec{v})\,.

Wenn die Spur des räumlichen Geschwindigkeitsgradienten l oder – gleichbedeutend – des räumlichen Verzerrungsgeschwindigkeitstensors d oder die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes verschwindet, dann ist die Bewegung lokal volumenerhaltend. Bei einer Starrkörperbewegung ist, wie unten nachgewiesen, Sp(l)=Sp(w)=0, was die Konstanz des Volumens bei einer solchen Bewegung bestätigt. Eine positive Divergenz bedeutet Expansion, was namensgebend für die Divergenz ist (lateinisch divergere „auseinanderstreben“) und was in der Realität mit einer Abnahme der Dichte einher geht.

Dehn- und Schergeschwindigkeiten

Bei der Verformung eines Körpers ändern sich in den deformierten Stellen die Abstände seiner Partikel und/oder die Winkel zwischen Verbindungslinien seiner Partikel. Mathematisch werden die Tangentenvektoren an solche Verbindungslinien betrachtet, siehe Abbildung rechts. Ändern diese Tangentenvektoren ihre Längen oder die Winkel untereinander, was im gleichen Maß geschieht wie die Verbindungslinien gedehnt oder geschert werden, dann ändern sich ihre Skalarprodukte und es liegen Deformationen vor. Die Änderungsrate dieser Skalarprodukte bemisst der räumliche Verzerrungsgeschwindigkeitstensor d:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} (\mathrm{d}\vec{x}\cdot\mathrm{d}\vec{y}) = (\mathbf{l}\cdot\mathrm{d}\vec{x})\cdot\mathrm{d}\vec{y} +\mathrm{d}\vec{x}\cdot(\mathbf{l}\cdot\mathrm{d}\vec{y}) = 2\mathrm{d}\vec{x}\cdot\mathbf{d} \cdot \mathrm{d}\vec{y}.

Die Dehnungsgeschwindigkeit in einer bestimmten Richtung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{e}= \mathrm{d}\vec{x}/|\mathrm{d}\vec{x}| berechnet sich aus^{[F 2]}:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\varepsilon} = \frac{|\mathrm{d}\vec{x}|\dot{}}{|\mathrm{d}\vec{x}|} = \frac{\frac{\mathrm{d}\vec{x}}{|\mathrm{d}\vec{x}|}\cdot(\mathrm{d}\vec{x})\dot{}}{|\mathrm{d}\vec{x}|} = \frac{\mathrm{d}\vec{x}\cdot\mathbf{l}\cdot\mathrm{d}\vec{x}}{|\mathrm{d}\vec{x}|^2} = \hat{e}\cdot(\mathbf{d+w})\cdot\hat{e} = \hat{e}\cdot\mathbf{d}\cdot\hat{e} =\frac{\partial v}{\partial x} \,,

wo die Geschwindigkeit v und die Koordinate x in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat e -Richtung zählen. Die Schergeschwindigkeit ergibt sich im Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma=0 aus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} (\mathrm{d}\vec{x}\cdot\mathrm{d}\vec{y}) =& \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}(|\mathrm{d}\vec{x}|\,|\mathrm{d}\vec{y}|\sin(\gamma)) = \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}(|\mathrm{d}\vec{x}|\,|\mathrm{d}\vec{y}|) \sin(\gamma) + |\mathrm{d}\vec{x}|\,|\mathrm{d}\vec{y}|\cos(\gamma)\dot{\gamma} \\ \gamma=0 \rightarrow& \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} (\mathrm{d}\vec{x}\cdot\mathrm{d}\vec{y}) = 2\mathrm{d}\vec{x}\cdot\mathbf{d} \cdot \mathrm{d}\vec{y} = |\mathrm{d}\vec{x}|\,|\mathrm{d}\vec{y}|\,\dot{\gamma} \\ \rightarrow \dot{\gamma} =& 2 \frac{\mathrm{d}\vec{x}}{|\mathrm{d}\vec{x}|} \cdot\mathbf{d} \cdot \frac{\mathrm{d}\vec{y}}{|\mathrm{d}\vec{y}|} = \frac{\partial v_x}{\partial y}+\frac{\partial v_y}{\partial x} \,.\end{align}

Hier zählen die Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_x sowie die Koordinate x in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec x -Richtung und die Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_y sowie die Koordinate y in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec y -Richtung.

Der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor d legt also die Dehn- und Scherraten in der Momentankonfiguration fest.

Eigenvektoren

Sind die im vorigen Abschnitt betrachteten Tangentenvektoren Eigenvektoren des Geschwindigkeitsgradienten oder des Verzerrungsgeschwindigkeitstensors, dann hat das bemerkenswerte Konsequenzen. Für einen solchen Eigenvektor des Geschwindigkeitsgradienten gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{l}\cdot\hat{e}=\lambda\hat{e}\,.

Der Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda ist der zum Eigenvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{e} gehörende Eigenwert. Die Frobeniusnorm der Eigenvektoren ist unbestimmt, weswegen ihr Betrag hier auf eins festgelegt wird, was im Hut über dem e zum Ausdruck kommt. Die Zeitableitung eines Tangentenvektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{e}= \mathrm{d}\vec{x}/|\mathrm{d}\vec{x}| der Länge eins in der Momentankonfiguration liefert

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\hat{e}} = \frac{(\mathrm{d}\vec{x})\dot{}}{|\mathrm{d}\vec{x}|} - \frac{\mathrm{d}\vec{x}}{|\mathrm{d}\vec{x}|^2} \frac{\mathrm{d}\vec{x}\cdot (\mathrm{d}\vec{x})\dot{}}{|\mathrm{d}\vec{x}|} = \mathbf{l}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{x}}{|\mathrm{d}\vec{x}|} - \left(\frac{\mathrm{d}\vec{x}}{|\mathrm{d}\vec{x}|}\cdot\mathbf{l}\cdot \frac{\mathrm{d}\vec{x}}{|\mathrm{d}\vec{x}|}\right) \frac{\mathrm{d}\vec{x}}{|\mathrm{d}\vec{x}|} = \mathbf{l}\cdot\hat{e} - (\hat{e}\cdot\mathbf{l}\cdot\hat{e})\hat{e}

In Richtung der Eigenvektoren des räumlichen Geschwindigkeitsgradienten verschwindet diese Rate^{[F 3]}. Einsetzen des Verzerrungsgeschwindigkeitstensors und des Wirbeltensors ergibt weiterhin^{[F 2]}:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\hat{e}} = (\mathbf{d+w})\cdot\hat{e} - (\hat{e}\cdot(\mathbf{d+w})\cdot\hat{e})\hat{e} = \mathbf{w}\cdot\hat{e} + \mathbf{d}\cdot\hat{e} - (\hat{e}\cdot\mathbf{d}\cdot\hat{e})\hat{e} \,.

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{e} Eigenvektor von d. Dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{d}\cdot\hat{e} - (\hat{e}\cdot\mathbf{d}\cdot\hat{e})\hat{e}=0 und daher lautet die Zeitableitung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\hat{e}}=\mathbf{w}\cdot\hat{e}=\vec{\omega}\times\hat{e}\,.

In Kombination mit dem obigen Ergebnis

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\varepsilon} = \hat{e}\cdot\mathbf{d}\cdot\hat{e} \quad\rightarrow\quad \mathbf{d}\cdot\hat{e}=\dot{\varepsilon}\hat{e}

zeigt sich für Eigenvektoren von d:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{l}\cdot\hat{e}=(\mathbf{d+w})\cdot\hat{e}=\dot{\varepsilon}\hat{e}+\vec{\omega}\times\hat{e}\,.

Die polare Zerlegung des Deformationsgradienten in eine Drehung und eine rotationsfreie Streckung entspricht beim räumlichen Geschwindigkeitsgradient der additiven Zerlegung in die Dehnrate und Drehgeschwindigkeit.

Kinematik

Substantielle Beschleunigung

Das zweite Newton’sche Gesetz besagt, dass eine Kraft einen materiellen Körper in Richtung der Kraft beschleunigt. Auf lokaler Ebene werden dann die materiellen Punkte von einem von außen aufgeprägten Beschleunigungsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{b} angetrieben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\vec{v}}(\vec{x},t) = \vec{b}(\vec{x},t)\,.

Weil aber in der klassischen Mechanik ein Raumpunkt nicht beschleunigt werden kann, sondern nur ein materieller Punkt, muss auf der linken Seite der Gleichung die materielle Zeitableitung der Geschwindigkeit gebildet werden, die – wie üblich – mit einem aufgesetzten Punkt notiert wird^{[F 1]}:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\vec{v}}(\vec{x},t) := \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\vec{v}(\vec{\chi}(\vec{X},t),t) = \underbrace{\frac{\partial\vec{v}(\vec{x},t)}{\partial \vec{x}}}_{=\operatorname{grad}\vec{v}=\mathbf{l}} \cdot \underbrace{\frac{\mathrm{D}\vec{\chi}(\vec{X},t)}{\mathrm{D}t}}_{=\vec{v}} + \frac{\partial\vec{v}(\vec{x},t)}{\partial t} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\operatorname{grad}\vec{v})\cdot\vec{v} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + \mathbf{l}\cdot\vec{v} \,.

Darin gehört der festgehaltene Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} = \vec{\chi}^{-1}(\vec{x},t) zu dem beschleunigten Partikel, das sich zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x} aufhält und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}(\vec{x},t)=\dot{\vec{\chi}}(\vec{X},t) ist dessen Geschwindigkeit zur Zeit t. Der letzte Term in obiger Gleichung ist ein konvektiver Anteil, der die kinematische Nichtlinearität der Impulsbilanz in der Euler’schen Betrachtungsweise bewirkt.

Im geometrisch linearen Fall fällt der quadratische konvektive Anteil weg und es gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\vec{v}}(\vec{x},t)\approx \frac{\partial\vec{v}(\vec{x},t)}{\partial t}\,.

Starrkörperbewegung

Jede Starrkörperbewegung lässt sich in eine Translation und eine Rotation zerlegen. Als Drehzentrum eignet sich jeder ruhende oder bewegte Punkt und auch der Schwerpunkt des Körpers, siehe Abbildung rechts. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r}(\vec{X})=\vec{X}-\vec{S} der zeitlich fixierte Differenzvektor zwischen einem Partikel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X} des starren Körpers und seinem Schwerpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{S} zu einem Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {t}_{0} . Die Translation des Körpers kann dann mit seiner Schwerpunktsbewegung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{s}(t) (mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{s}(t_0)=\vec{S} ) und seine Drehung mit einem von der Zeit aber nicht vom Ort abhängigen orthogonalen Tensor $ \mathbf {Q} (t) $ (mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q}(t)\cdot \mathbf{Q}(t)^\top=\mathbf{1}\,,\;\operatorname{det}(\mathbf{Q}(t))=+1\,,\;\mathbf{Q}({t}_{0})=\mathbf{1} ) dargestellt werden. Translation und Rotation zusammengenommen definieren die Bewegungsfunktion und das materielle Geschwindigkeitsfeld:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \vec{\chi}(\vec{X},t) =& \vec{s}(t)+\mathbf{Q}(t)\cdot(\vec{X}-\vec{S})=\vec{x} \;\rightarrow\; \mathbf{F}(t)=\mathbf{Q}(t) \\ \rightarrow \dot{\vec{\chi}}(\vec{X},t) =& \dot{\vec{s}}(t)+\dot{\mathbf{Q}}(t)\cdot(\vec{X}-\vec{S}) \;\rightarrow\; \dot{\mathbf{F}}(t) = \dot{\mathbf{Q}}(t) \,.\end{align}

Im materiellen Geschwindigkeitsgradient taucht die gleichförmige Schwerpunktsgeschwindigkeit nicht mehr auf. Das räumliche Geschwindigkeitsfeld entsteht durch die Ersetzung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{X}-\vec{S}=\mathbf{Q}^\top(t)\cdot\bigl(\vec{x}-\vec{s}(t)\bigr) im materiellen Geschwindigkeitsfeld:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \dot{\vec{\chi}}(\vec{X},t) =& \dot{\vec{s}}(t)+\dot{\mathbf{Q}}(t)\cdot(\vec{X}-\vec{S}) =\dot{\vec{s}}(t)+\dot{\mathbf{Q}}(t)\cdot\mathbf{Q}^\top(t)\cdot\bigl(\vec{x}-\vec{s}(t)\bigr) \\ \rightarrow \vec{v}(\vec{x},t) =&\dot{\vec{s}}(t)+\dot{\mathbf{Q}}(t)\cdot\mathbf{Q}^\top(t) \cdot\bigl(\vec{x}-\vec{s}(t)\bigr) \,.\end{align}

woraus der ebenfalls vom Ort und der gleichförmigen Schwerpunktsgeschwindigkeit unabhängige räumliche Geschwindigkeitsgradient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{l}(t)=\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top folgt. Der räumliche Geschwindigkeitsgradient ist hier schiefsymmetrisch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{l} +\mathbf{l}^\top =\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top +\mathbf{Q}\cdot\dot{\mathbf{Q}}^\top =\frac{\text{d}}{\text{d}t}(\mathbf{Q\cdot Q}^\top) =\dot{\mathbf{1}} =\mathbf{0} \rightarrow \mathbf{l}^\top =-\mathbf{l}

und daher identisch zu seinem Wirbeltensor (l=w) was bestätigt, dass der symmetrische Verzerrungsgeschwindigkeitstensor d bei Starrkörperbewegungen verschwindet. Der axiale duale Wirbelvektor des Wirbeltensors wird in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}(\vec{x},t)=\dot{\vec{s}}(t)+\vec{\omega}(t)\times \bigl(\vec{x}-\vec{s}(t)\bigr)\,,

das nun keinen sichtbaren Tensor mehr enthält. Nur im Kreuzprodukt, das einer Tensortransformation entspricht, verbirgt sich noch ein Hinweis auf den Wirbeltensor.

Die Drehachse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{e}:=\vec{\omega}/|\vec{\omega}| ist ein Eigenvektor des Geschwindigkeitsgradienten (mit Eigenwert null), weswegen ihre Zeitableitung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\hat{e}} zu jeder Zeit verschwindet (siehe oben), was sich auch dadurch bemerkbar macht, dass alle Punkte, deren Distanz sich in Vielfachen des Drehgeschwindigkeitsvektors bemisst, dieselbe Geschwindigkeit aufweisen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v}(\vec{x}+\lambda\vec{\omega},t)=\vec{v}(\vec{x},t) für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x}\in\R^3,\,\lambda\in\R . Wäre die Drehachse mit diesen Partikeln verknüpft, dürfte sie sich höchstens parallel verschieben aber nicht neigen, so wie es Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\hat{e}}=\vec{0} glauben macht. Als geometrisches Objekt ist der Parameter der Bewegung „Drehachse“, der sich aus dem vorgegebenen orthogonalen Tensor Q ableitet, aber an keine Partikel gebunden und kann ja sogar außerhalb des Starrkörpers liegen. An die Winkelbeschleunigung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\vec{\omega}} resultiert an dieser Stelle mithin keinerlei Einschränkung.^{[F 4]}

Aus der lokalen Zeitableitung des Geschwindigkeitsfeldes (bei festgehaltenem Raumpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{x} ) geht

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\vec{v}(\vec{x},t) =&\ddot{\vec{s}}(t) +\dot{\vec{\omega}}(t)\times \bigl(\vec{x}-\vec{s}(t)\bigr) -\vec{\omega}(t)\times\dot{\vec{s}}(t) \\[1ex] =& \ddot{\vec{s}}(t) +\dot{\vec{\omega}}(t)\times \bigl(\vec{x}-\vec{s}(t)\bigr) -\vec{\omega}(t)\times\left[\vec{v}(\vec{x},t)-\vec{\omega}(t)\times \bigl(\vec{x}-\vec{s}(t)\bigr)\right]\,, \end{align}

hervor was zusammen mit der materiellen Zeitableitung des Geschwindigkeitsfeldes

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\vec{v}}(\vec{x},t) = \frac{\partial}{\partial t}\vec{v}(\vec{x},t)+ \mathbf{l}\cdot\vec{v}(\vec{x},t) = \frac{\partial}{\partial t}\vec{v}(\vec{x},t)+ \vec{\omega}(t)\times\vec{v}(\vec{x},t)

im Beschleunigungsfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a} (für englisch acceleration „Beschleunigung“) einer Starrkörperbewegung mündet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a}(\vec{x},t) := \dot{\vec{v}}(\vec{x},t) = \ddot{\vec{s}}(t) +\dot{\vec{\omega}}(t)\times \bigl(\vec{x}-\vec{s}(t)\bigr) +\vec{\omega}(t)\times\left[\vec{\omega}(t)\times \bigl(\vec{x}-\vec{s}(t)\bigr)\right]\,.

Diese Herleitung beleuchtet die lokale und materielle Zeitableitung und ihre Ausprägung bei einer Starrkörperbewegung.

Potentialwirbel

Der Potentialwirbel oder freie Wirbel ist ein klassisches Beispiel einer rotationsfreien Potentialströmung, siehe Bild rechts. Große Wirbel in Fluiden mit niedriger Viskosität werden mit diesem Modell gut beschrieben. Beispiele für einen Potentialwirbel sind der Badewannenablauf fern des Ausflusses, aber auch in guter Näherung ein Tornado. Das Geschwindigkeitsfeld des Potentialwirbels ist in Zylinderkoordinaten mit dem Abstand ρ vom Wirbelzentrum gegeben durch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec v = v_{\varphi}\hat{e}_\varphi \quad\text{mit}\quad v_\varphi :=\frac{\Gamma_0}{2\pi\rho}\,.

Der Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma_0 kontrolliert die Strömungsgeschwindigkeit und es ergibt sich der Geschwindigkeitsgradient

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \operatorname{grad}\vec v =& \hat{e}_\varphi\otimes\left(-\frac{\Gamma_0}{2\pi \rho^2}\right)\hat{e}_\rho -\frac{\Gamma_0}{2\pi \rho^2}\hat{e}_\rho\otimes\hat{e}_\varphi = -\frac{\Gamma_0}{2\pi \rho^2}(\hat{e}_\varphi\otimes\hat{e}_\rho+\hat{e}_\rho\otimes\hat{e}_\varphi) =\mathbf{d}+\mathbf{w} \\ \rightarrow \mathbf{d} =& -\frac{\Gamma_0}{2\pi \rho^2} (\hat{e}_\varphi\otimes\hat{e}_\rho+\hat{e}_\rho\otimes\hat{e}_\varphi) \quad\text{und}\quad \mathbf{w}= \mathbf{0} \,.\end{align}

Die Drehgeschwindigkeit der Fluidelemente um sich selbst verschwindet wegen w=0 und infolge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}\vec v=\operatorname{Sp}(\mathbf{l})=\operatorname{Sp}(\mathbf{d})=0 ist die Bewegung volumenerhaltend. Bei Annäherung an das Wirbelzentrum wächst die Schergeschwindigkeit aufgrund von

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\gamma}_{\rho\varphi} =2 \hat{e}_\rho\cdot\mathbf{d}\cdot\hat{e}_\varphi = -\frac{\Gamma_0}{\pi \rho^2}

über alle Grenzen, was in realen Strömungen nicht auftreten kann, weil die immer vorhandene aber hier vernachlässigte Viskosität das wie im Hamel-Oseen’schen Wirbel verhindert.

Wechsel des Bezugssystems

Zwei Beobachter, die die Deformation eines Körpers analysieren, können sich über das Bewegungs- und Geschwindigkeitsfeld des Körpers austauschen. Beide Beobachter werden über den Deformationsgradient Einigkeit erzielen, denn er ist eine objektive Größe. Genauso wie der Insasse eines fahrenden Zuges die Geschwindigkeit eines vorbei fliegenden Vogels anders beurteilt wie ein in der Nähe befindlicher Fußgänger, werden verschieden bewegte Beobachter – wie eingangs erwähnt – unterschiedliche Geschwindigkeitsfelder und Geschwindigkeitsgradienten messen. Das Geschwindigkeitsfeld und der Geschwindigkeitsgradient sind nicht objektiv. Für den Nachweis der Objektivität – oder des Gegenteils – ist die Drehbewegung des Bezugssystems des Beobachters ausschlaggebend. Die Drehung des bewegten Beobachters relativ zum materiellen Körper wird mit einem orthogonalen Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{Q} aus der speziellen orthogonalen Gruppe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{SO} = \{\mathbf{Q}\in\mathcal{L}| \mathbf{Q}^{-1} = \mathbf{Q}^\top \;\wedge\; \det(\mathbf{Q})=+1 \}

beschrieben. Die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{L} enthält alle Tensoren (zweiter Stufe), Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\cdot)^\top bezeichnet die Transposition, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\cdot)^{-1} die Inverse und „det“ die Determinante. Die Tensoren aus dieser Gruppe führen Drehungen ohne Spiegelung aus und werden als „eigentlich orthogonal“ bezeichnet.

Es gibt drei Arten objektiver Tensoren, die sich auf unterschiedliche Weise bei einer Euklidischen Transformation verhalten:

Stellt der relativ zum Körper ruhende Beobachter in einem materiellen Punkt den Deformationsgradienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F} fest, so misst der bewegte Beobachter durch die euklidische Transformation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}' = \mathbf{Q\cdot F} \quad\rightarrow\quad \dot{\mathbf{F}}'= \dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{F}+ \mathbf{Q}\cdot\dot{\mathbf{F}} \ne\mathbf{Q}\cdot\dot{\mathbf{F}} \,.

Der materielle Geschwindigkeitsgradient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\mathbf{F}} ist also nicht objektiv. Es kann weiter der räumliche Geschwindigkeitsgradient des bewegten Beobachters berechnet werden

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf{l}' =& \dot{\mathbf{F}}'\cdot{\mathbf{F}'}^{-1} = (\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{F}+\mathbf{Q}\cdot\dot{\mathbf{F}})\cdot{\mathbf{F}}^{-1}\cdot\mathbf{Q}^{-1} = \dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{F}\cdot{\mathbf{F}}^{-1}\cdot\mathbf{Q}^\top + \mathbf{Q}\cdot\dot{\mathbf{F}}\cdot{\mathbf{F}}^{-1}\cdot\mathbf{Q}^\top \\ \rightarrow \mathbf{l}' =& \mathbf{Q\cdot l\cdot Q}^\top + \dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top\,, \end{align}

der somit ebenfalls nicht objektiv ist. Der letzte Term in der letzten Gleichung ist wegen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top+(\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top)^\top =\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top + \mathbf{Q}\cdot\dot{\mathbf{Q}}^\top =(\mathbf{Q\cdot Q}^\top)\dot{} = \dot{\mathbf{1}} = \mathbf{0}

schiefsymmetrisch und hebt sich beim symmetrischen Verzerrungsgeschwindigkeitstensor auf:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} 2 \mathbf{d}' =& \mathbf{l'+l'}^\top = \mathbf{Q\cdot l\cdot Q}^\top + \dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top + \mathbf{Q\cdot l^\top\cdot Q}^\top + \mathbf{Q}\cdot\dot{\mathbf{Q}}^\top = \mathbf{Q\cdot(l+l^\top)\cdot Q}^\top \\ \rightarrow \mathbf{d}' =&\mathbf{Q\cdot d\cdot Q}^\top\quad\text{für alle}\quad\mathbf{Q}\in\mathcal{SO}\,. \end{align}

Der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor ist also objektiv, denn er transformiert sich wie ein objektiver, räumlicher, ein-Feld Tensor. Aus der Differenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{w = l - d} ergibt sich, dass der Wirbeltensor wieder nicht objektiv ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf{w}' =& \mathbf{l'-d'} = \mathbf{Q\cdot l\cdot Q}^\top + \dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top - \frac{1}{2}\mathbf{Q\cdot(l+l^\top)\cdot Q}^\top = \frac{1}{2}\mathbf{Q\cdot(l-l^\top)\cdot Q}^\top + \dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top \\ \rightarrow \mathbf{w}' =& \mathbf{Q\cdot w\cdot Q}^\top + \dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top\,. \end{align}

Objektive Zeitableitungen

Für die Formulierung ratenabhängiger Materialmodelle werden in der räumlichen Betrachtungsweise objektive Zeitableitungen für konstitutive Variablen benötigt, denn es entspricht nicht der Erfahrung, dass ein bewegter Beobachter ein anderes Materialverhalten misst als ein ruhender. Somit müssen die Materialmodelle mit objektiven Zeitableitungen formuliert werden. So wie die Geschwindigkeit und ihr Gradient nicht objektiv sind – siehe die #Beschreibung oben – sind auch die Zeitableitungen anderer vom Fluid transponierter Größen nicht objektiv. Es existieren jedoch mehrere bezugssysteminvariante Raten, die für objektive Größen ebenfalls objektiv sind und mit Hilfe vom Geschwindigkeitsgradienten formuliert werden, unter anderem^{[F 5]}:

Zaremba-Jaumann Ableitung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{\circ}{\mathbf{T}} :=\dot{\mathbf{T}}+\mathbf{T\cdot w}-\mathbf{w\cdot T}

Kovariante Oldroyd^{[L 2]} Ableitung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{\triangle}{\mathbf{T}} :=\dot{\mathbf{T}}+\mathbf{T\cdot l}+\mathbf{l}^\top\cdot\mathbf{T} =\stackrel{\circ}{\mathbf{T}}+\mathbf{T\cdot d}+\mathbf{d\cdot T}

Kontravariante Oldroyd Ableitung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{\nabla}{\mathbf{T}} :=\dot{\mathbf{T}}-\mathbf{l\cdot T}-\mathbf{T}\cdot\mathbf{l}^\top =\stackrel{\circ}{\mathbf{T}}-\mathbf{T\cdot d}-\mathbf{d\cdot T}

Cauchy-Ableitung:^{[F 6]} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{\diamond}{\mathbf{T}} = \dot{\mathbf{T}}+\operatorname{Sp}(\mathbf{l}) \mathbf{T}-\mathbf{l\cdot T}-\mathbf{T\cdot l}^\top\,.

Für einen objektiven Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{v} sind die Zeitableitungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rclcl} \stackrel{\circ}{\vec{v}} &=& \dot{\vec{v}}-\mathbf{w}\cdot\vec{v} \\ \stackrel{\Delta}{\vec{v}} &=& \dot{\vec{v}}+\mathbf{l}^\top\cdot\vec{v} &=& \stackrel{\circ}{\vec{v}} + \mathbf{d}\cdot\vec{v} \\ \stackrel{\nabla}{\vec{v}} &=& \dot{\vec{v}}-\mathbf{l}\cdot\vec{v} &=& \stackrel{\circ}{\vec{v}} - \mathbf{d}\cdot\vec{v} \end{array}

objektiv. Mehr dazu ist im Hauptartikel nachzuschlagen.

Beispiel

Ein Einheitsquadrat aus einer viskoelastischen Flüssigkeit wird mit konstanter Schergeschwindigkeit zu einem Parallelogramm verformt, siehe Abbildung rechts. Die Referenzkonfiguration ist das Einheitsquadrat

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} \in [0,1]^2

In der Momentankonfiguration haben die Punkte des Quadrates die räumlichen Koordinaten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\chi}(\vec{X},t) = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X + \gamma Y \\ Y \end{pmatrix} \quad\rightarrow\quad \dot{\vec{\chi}}(\vec{X},t) = \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dot{\gamma} Y \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dot{\gamma} y \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{v}(\vec{x},t)

woraus sich der Deformations- und (räumliche) Geschwindigkeitsgradient berechnen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathbf{F} =& \begin{pmatrix} 1 & \gamma \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \;\rightarrow\quad \dot{\mathbf{F}} = \begin{pmatrix} 0 & \dot{\gamma} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \operatorname{GRAD}\dot{\vec{\chi}} \,,\quad \mathbf{F}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -\gamma \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \rightarrow \mathbf{l} =& \operatorname{grad}\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 & \dot{\gamma} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \dot{\mathbf{F}}\cdot\mathbf{F}^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \dot{\gamma} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & -\gamma \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \rightarrow \mathbf{d} =& \dfrac{\dot{\gamma}}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \;,\quad \mathbf{w} =\dfrac{\dot{\gamma}}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\,. \end{align}

Eine Verallgemeinerung des Materialgesetzes für eine viskoelastische Flüssigkeit (Maxwell-Körper) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda \dot{\sigma} + \sigma = \eta\,\dot{\varepsilon} mit Materialparametern $ \lambda ,\eta $ auf drei Dimensionen könnte so aussehen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda \stackrel{\circ}{\boldsymbol{\sigma}} + \boldsymbol{\sigma} = \eta\,\mathbf{d}\,.

Der Cauchy’sche Spannungstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\sigma} ist hier deviatorisch und besitzt daher die Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\sigma} = \begin{pmatrix} \sigma & \tau \\ \tau & -\sigma \end{pmatrix}\,.

So berechnet sich die Zaremba-Jaumann Ableitung zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{\circ}{\boldsymbol{\sigma}} = \begin{pmatrix} \dot{\sigma} & \dot{\tau} \\ \dot{\tau} & -\dot{\sigma} \end{pmatrix} + \frac{\dot{\gamma}}{2} \begin{pmatrix} \sigma & \tau \\ \tau & -\sigma \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} - \frac{\dot{\gamma}}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \sigma & \tau \\ \tau & -\sigma \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dot{\sigma}- \dot{\gamma} \tau & \dot{\tau}+ \dot{\gamma} \sigma \\ \dot{\tau}+ \dot{\gamma} \sigma & -\dot{\sigma}+ \dot{\gamma} \tau \end{pmatrix}

was über das Materialgesetz auf zwei Differentialgleichungen für die Spannungskomponenten führt:

$ \lambda ({\dot {\sigma }}-{\dot {\gamma }}\tau )+\sigma =0\quad {\textsf {und}}\quad \lambda ({\dot {\tau }}+{\dot {\gamma }}\sigma )+\tau ={\frac {\eta }{2}}{\dot {\gamma }}\,. $

Bei konstanter Schergeschwindigkeit kommt nach Eliminierung der Normalspannung die Differentialgleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ddot{\tau} + \frac{2}{\lambda}\dot{\tau} + (\lambda^{-2} + \dot{\gamma}^2)\tau = \frac{\eta \dot{\gamma}}{2 \lambda^2}

für die Schubspannung heraus, die als Lösung eine gedämpfte Schwingung besitzt. Dies ist ein bei Verwendung der Zaremba-Jaumann Rate bekanntes unphysikalisches Phänomen,^{[L 3]} siehe Abbildung rechts.

Verwendung der kontravarianten Oldroyd Ableitung liefert einen nicht-deviatorischen Spannungstensor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \stackrel{\nabla}{\boldsymbol{\sigma}} = \begin{pmatrix} \dot{\sigma}_{xx} & \dot{\tau} \\ \dot{\tau} & \dot{\sigma}_{yy} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & \dot{\gamma} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \sigma_{xx} &\tau\\\tau & \sigma_{yy} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sigma_{xx} &\tau\\\tau & \sigma_{yy} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0\\ \dot{\gamma} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dot{\sigma}_{xx} - 2 \dot{\gamma}\tau & \dot{\tau} - \dot{\gamma}\sigma_{yy} \\ \dot{\tau} - \dot{\gamma}\sigma_{yy} & \dot{\sigma}_{yy} \end{pmatrix} \,.

Die Materialgleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda \stackrel{\nabla}{\boldsymbol{\sigma}} + \boldsymbol{\sigma} = \eta\,\mathbf{d} ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{pmatrix} \lambda(\dot{\sigma}_{xx} - 2 \dot{\gamma}\tau) + \sigma_{xx} & \lambda(\dot{\tau} - \dot{\gamma}\sigma_{yy}) + \tau \\ \lambda(\dot{\tau} - \dot{\gamma}\sigma_{yy}) + \tau & \lambda \dot{\sigma}_{yy} + \sigma_{yy} \end{pmatrix} = \frac{\eta \dot{\gamma}}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

was sich bei anfänglich verschwindenden Spannungen und konstanter Scherrate geschlossen integrieren lässt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \sigma_{yy} = & 0 \\ \tau =& \frac{\eta \dot{\gamma}}{2} (1 - e^{-\frac{t}{\lambda}}) \\ \sigma_{xx} =& \eta \dot{\gamma}^2 (\lambda - \lambda e^{-\frac{t}{\lambda}} - t e^{-\frac{t}{\lambda}}). \end{align}

Hier treten keine Schwingungen auf. Die Abbildung rechts zeigt die bei einer Scherrate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{\gamma}= 10/s mit der Zaremba-Jaumann und der kontravarianten Oldroyd Ableitung und den in der Tabelle angegebenen Materialparametern berechneten Spannungen.

Anmerkungen

Siehe auch

• Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik)
• Navier-Stokes-Gleichungen
• Formelsammlung Tensoralgebra
• Formelsammlung Tensoranalysis

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5. 
• P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2000, ISBN 3-540-66114-X. 

Einzelnachweise