Gravitationsfeld

In der klassischen Mechanik ist das Gravitationsfeld (auch Schwerkraftfeld) das Kraftfeld, das durch die Gravitation von Massen hervorgerufen wird. Die Feldstärke des Gravitationsfeldes gibt für jeden Ort den durch Gravitation verursachten Teil der Fallbeschleunigung $ {\vec {g}} $ an. Sie kann mithilfe des Newtonschen Gravitationsgesetzes aus der räumlichen Verteilung der Massen berechnet werden.

Die Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie beschreiben die Gravitation nicht mehr als Kraftfeld, sondern als Krümmung der Raumzeit. In rotierenden Bezugssystemen, wie dem mit der Erde verbundenen, besteht das Schwerefeld aus dem Gravitationsfeld und der Zentrifugalbeschleunigung. Ein anschauliches Modell des Gravitationsfeldes ist der Potentialtrichter, in dem Kugeln oder Münzen auf einer dreidimensionalen Trichterfläche rollen und dabei die Bewegung in der zur Trichterachse senkrechten Ebene simulieren.^[1]

Potential und Feld

Gravitationspotential (rote Kurve) und -beschleunigung (blau) gegen den Abstand vom Erdmittelpunkt. Abweichend vom Schwerepotential wird das Gravitationspotential üblicherweise im Unendlichen auf null gesetzt.

Das zum Gravitationsfeld gehörende Potential heißt Gravitationspotential. Sein Wert $ \Phi ({\vec {r}}) $ am Ort $ {\vec {r}} $ lässt sich bei bekannter Massendichte $ \rho ({\vec {r}}) $ durch Lösen der Poisson-Gleichung bestimmen

$ \Delta \Phi ({\vec {r}})=4\pi G\rho ({\vec {r}}) $,

wobei $ G $ die Gravitationskonstante und $ \Delta $ der Laplace-Operator ist. So beträgt das Potential um einen näherungsweise punktförmigen oder radialsymmetrischen Körper der Masse $ M $ beispielsweise

$ \Phi (r)=-{\frac {GM}{r}}\ ({}+\Phi _{\infty }) $.

Hierbei ist $ \Phi _{\infty } $ das Potential im Unendlichen. Es ist eine frei wählbare Integrationskonstante und wird üblicherweise willkürlich auf Null gesetzt.

Multipliziert man das Potential mit der Masse eines Körpers $ m $, so erhält man seine potentielle Energie

$ V({\vec {r}})=m\,\Phi ({\vec {r}}) $.

Das Gravitationsfeld $ {\vec {g}} $ lässt sich als Gradientenfeld des Gravitationspotentials $ \Phi $ schreiben:

$ {\vec {g}}({\vec {r}})=-\nabla \Phi ({\vec {r}}) $.

Die vom Feld erzeugte Kraft $ {\vec {F}}_{\mathrm {G} } $ auf einen Körper der Masse $ m $ ist dann

$ {\vec {F}}_{\mathrm {G} }({\vec {r}})=m\,{\vec {g}}({\vec {r}}) $.

Feldstärke

Die Feldstärke des Gravitationsfeldes heißt Gravitationsfeldstärke oder Gravitationsbeschleunigung $ {\vec {g}} $. Sie ist unabhängig von der Probemasse (also der Masse des betrachteten Körpers, der sich im Gravitationsfeld befindet). Wirken keine weiteren Kräfte, so ist $ {\vec {g}} $ die exakte Beschleunigung einer Probemasse im Feld.

Eine Punktmasse $ M $ verursacht das Potential

$ \Phi ({\vec {r}})=-{\frac {GM}{r}} $

und daher das dazugehörige radialsymmetrische Feld mit der Feldstärke

$ {\vec {g}}({\vec {r}})=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {e}}_{r} $

Diese Formel gilt auch für kugelsymmetrische Körper, wenn der Abstand $ r $ vom Mittelpunkt größer ist als sein Radius. Sie gilt näherungsweise für jeden beliebig geformten Körper, wenn $ r $ um Größenordnungen größer als seine Ausdehnung ist. Befindet sich eine Probemasse $ m $ in diesem Gravitationsfeld, so ergibt sich

$ F_{\mathrm {G} }=m\,g(r)=m{\frac {GM}{r^{2}}} $.

Dies entspricht dem Newtonschen Gravitationsgesetz, das den Betrag der wirkenden anziehenden Kraft zwischen den Massenschwerpunkten von $ M $ und $ m $ angibt, die sich im Abstand $ r $ befinden.

Da jede beliebig ausgedehnte Masse in (annähernd) punktförmige Teilmassen zerlegt werden kann, lässt sich jedes Gravitationsfeld auch als Summe über viele Punktmassen darstellen:

$ {\vec {g}}({\vec {r}})=-G\sum _{i}{m_{i}}{\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}|^{3}}} $

wobei $ {\vec {r}}_{i} $ die Orte der Punktmassen $ m_{i} $ sind. Für kontinuierliche Masseverteilungen gilt:

$ {\vec {g}}({\vec {r}})=-G\int \rho ({\vec {r}}'){\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{3}}}\mathrm {d} {\vec {r}}' $

wobei $ \rho ({\vec {r}}) $ die Massendichteverteilung ist.

Siehe auch

• Gravitationsbindungsenergie

Literatur

• Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-26034-9. 
• Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 6. Auflage. Harri Deutsch, Leck 2010, ISBN 978-3-8171-1860-1, S. 124. 

Weblinks

• Literatur von und über Gravitationsfeld im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek

Einzelnachweise