Datei:Hopfeigenvalues.png Komplexe Eigenwerte einer beliebigen Abbildung (Punkte). Bei der Hopf-Bifurkation überquert ein Paar komplex konjugierter Eigenwerte die imaginäre Achse.
Eine Hopf-Bifurkation oder Hopf-Andronov-Bifurkation ist ein Typ einer lokalen Bifurkation in nichtlinearen Systemen. Sie ist benannt nach dem deutsch-amerikanischen Mathematiker Eberhard Frederich Ferdinand Hopf[1] bzw. nach Alexander Alexandrowitsch Andronow, der sie mit Witt und Chaikin in der Sowjetunion in den 1930er Jahren behandelte. Die Wurzeln der Theorie gehen aber auf Henri Poincaré Ende des 19. Jahrhunderts zurück.
Bei einer Hopf-Bifurkation überquert an einem Gleichgewichtspunkt (Fixpunkt) des Systems ein Paar komplex konjugierter Eigenwerte der aus der Linearisierung des Systems resultierenden Jacobimatrix die imaginäre Achse der komplexen Ebene; am Bifurkationspunkt selbst sind die konjugierten Eigenwerte also rein imaginär. Die Hopf-Bifurkationen können nur in zwei- oder höherdimensionalen Systemen auftreten, da die Linearisierung des Systems mindestens zwei Eigenwerte ("ein Paar") besitzen muss.
Datei:Hopfbifurcation.png 1: Superkritische Hopf-Bifurkation, 2: Subkritische Hopf-Bifurkation. Mögliche Trajektorien in Rot, stabile Strukturen in Dunkelblau, instabile Strukturen in gestricheltem Hellblau.
Die Normalform der Hopf-Bifurkation ist
- $ {\frac {dz}{dt}}=z((\lambda +i)+(\alpha +i\beta )|z|^{2}). $
Dabei ist
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z
eine komplexe Größe
- t die Zeit
- i die imaginäre Einheit
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda
, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta
sind reelle Parameter
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda
ist ein Eigenwert.
Hopf-Bifurkationen zeichnen sich dadurch aus, dass bei der Variation eines Parameters ein Grenzzyklus aus einem Gleichgewicht entsteht. Es werden zwei Fälle unterschieden, je nachdem, ob ein stabiler Grenzzyklus entsteht (superkritische Hopf-Bifurkation) oder ein instabiler Grenzzyklus (subkritische Hopf-Bifurkation, vgl. nebenstehende Abbildung):[2]
- Im Fall der superkritischen Hopf-Bifurkation (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha<0
) tritt für $ \lambda <0 $ ein stabiler Fixpunkt auf, der beim Übergang zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda>0
in einen instabilen Fixpunkt bzw. einen stabilen Grenzzyklus übergeht.
- Im Fall der subkritischen Hopf-Bifurkation (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha>0
) tritt bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda<0
ein instabiler Grenzzyklus bzw. ein stabiler Fixpunkt auf, der mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda>0
in einen instabilen Fixpunkt übergeht.
Die Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha
bestimmen im Wesentlichen die Stabilität des Systems nahe $ \lambda =0 $, wohingegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta
die Rotation der Trajektorien und damit auch die Windungsrichtung beeinflusst.
Die Kodimension der Hopf-Bifurkation ist wie bei der Sattel-Knoten-Bifurkation, der Pitchfork-Bifurkation und der Transkritischen Bifurkation gleich eins; diese anderen Typen von Bifurkationen der Kodimension 1 zeichnen sich jedoch am Fixpunkt durch einen Eigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda = 0
der Jacobimatrix aus.
Literatur
- John Guckenheimer, Philip Holmes: Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields, Springer, ISBN 0-387-90819-6
- Yu.A. Kuznetsov: Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer, 3. Auflage 2004
- Jerrold E. Marsden, M. McCracken: Hopf Bifurcation and its Applications, Springer 1976
Weblinks
- Artikel. In: Scholarpedia. (englisch, inkl. Literaturangaben) (Yuri Kuznetsov, Andronov-Hopf Bifurcation)
Einzelnachweise
- ↑ Hopf, Abzweigung einer periodischen Lösung eines Differentialsystems, Berichte der Mathematisch-Physikalischen Klasse der Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Band 94, 1942, S. 1–22
- ↑ Yuri Kuznetsov, Andronov-Hopf Bifurcation, Scholarpedia, siehe Weblinks
