Jacobi-Koordinaten
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- Himmelsmechanik
- Carl Gustav Jacob Jacobi als Namensgeber
Die Jacobi-Koordinaten sind ein System verallgemeinerter Koordinaten für n-Körpersysteme in der Physik. Sie werden insbesondere in der Himmelsmechanik und der Betrachtung mehratomiger Moleküle und chemischer Reaktionen verwendet.[1]
Jacobi-Koordinaten für N Teilchen
Der Algorithmus zum Erhalt der Jacobi-Koordinaten lässt sich wie folgt beschreiben:
Man betrachtet zwei der $ N $ Teilchen und berechnet ihren Schwerpunkt $ {\vec {R}}=(m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2})/(m_{1}+m_{2}) $, ihre Gesamtmasse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_{12} = m_1 + m_2
und die relative Position zueinander Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec r_{12} = \vec r_1 - \vec r_2
. Man ersetzt nun die beiden Teilchen durch ein neues virtuelles Teilchen mit Masse $ m_{12} $ am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec R
. Der Relativabstand stellt dabei die erste Jacobi-Koordinate dar: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec R_1 = \vec r_{12}
.
Dies wiederholt man nun für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N-2
anderen Teilchen, sowie das neue virtuelle Teilchen.
Nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N-1
derartigen Schritten erhält man die Jacobi-Koordinaten als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec R_i
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec R_N = \vec R
vom letzten Schritt.
In Formeln ergeben sich die Jacobi-Koordinaten zu
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec R_1 = \vec r_1 - \vec r_2 \;,\qquad \vec R_j = \frac{1}{m_{0j}} \sum\limits_{k=1}^{j} m_k \vec r_k - \vec r_{j+1} \qquad\text{und}\qquad \vec R_N = \frac{1}{m_{0}} \sum\limits_{k=1}^{N} m_k \vec r_k
mit
- $ m_{0j}=\sum \limits _{k=1}^{j}m_{k}\;. $[2]
Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_{0N} = M die Gesamtmasse des Systems. Die letzte Jacobi-Koordinate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec R_N entspricht dem Schwerpunkt des Systems. Die zugehörigen Geschwindigkeiten berechnen sich als
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec W_j= \frac{\mathrm d \vec R_j}{\mathrm dt}
zu
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec W_1 = \vec v_1 - \vec v_2 \;,\qquad \vec W_j = \frac{1}{m_{0j}} \sum\limits_{k=1}^{j} m_k \vec v_k - \vec v_{j+1} \qquad\text{und}\qquad \vec W_N = \frac{1}{m_{0N}} \sum\limits_{k=1}^{N} m_k \vec v_k \;. [2]
Verwendung
In der Himmelsmechanik ermöglichen die Jacobi-Koordinaten, die Hamilton-Funktion eines Planetensystems in einen keplerschen und einen Interaktionsteil aufzuspalten. Diese nutzten Wisdom und Holman 1991[3] zur Konstruktion eines symplektischen Integrators hoher Geschwindigkeit, welcher vor allem in der Implementation namens Swift durch Levison und Duncan[4] weite Verbreitung fand.
Einzelnachweise
- ↑ John Z. H. Zhang, Theory and application of quantum molecular dynamics, World Scientific 1999, S. 104.
- ↑ 2,0 2,1 Patrick Cornille: Advanced electromagnetism and vacuum physics. World Scientific, 2003, ISBN 981-238-367-0, Partition of forces using Jacobi coordinates, S. 102 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ J. Wisdom, M. J. Holman: Symplectic maps for the n-body problem. The Astronomical Journal 102, 1991, S. 1528–1538, doi:10.1086/115978.
- ↑ H. F. Levison, M. J. Duncan: The long-term dynamical behavior of short-period comets. Icarus 108, 1994, S. 18–36, doi:10.1006/icar.1994.1039.