Kerr-Metrik

Die Kerr-Metrik ist eine stationäre und axialsymmetrische Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen. Sie beschreibt ungeladene, rotierende Schwarze Löcher und ist nach Roy Kerr benannt, der sie 1963 veröffentlicht hat.^[1] Jeweils kurz nach der Entdeckung der Schwarzschild- bzw. Kerr-Metrik wurden auch die zugehörigen Verallgemeinerungen für den Fall von elektrisch geladenen Schwarzen Löchern gefunden. Im Gegensatz zur Schwarzschild-Metrik, die auch im Außenbereich eines nichtrotierenden und sphärisch-symmetrischen Körpers beliebiger Ausdehnung gilt, beschreibt die Kerr-Metrik ausschließlich das Feld eines Schwarzen Lochs, denn schnell rotierende Sterne haben oftmals ein nicht zu vernachlässigendes Multipolmoment und unterschiedliche Dichtegradienten,^[2] sodass sich deren Raumzeit-Geometrie erst in einem gewissen Abstand von der Oberfläche des Sterns an die Kerr-Metrik annähert.^[3]

Linienelement

Boyer-Lindquist Koordinaten

Mit den kovarianten

$ g_{tt}=\zeta -1,\ g_{rr}={\frac {\Sigma }{\Delta }},\ g_{\theta \theta }=\Sigma ,\ g_{\phi \phi }={\frac {\chi \sin ^{2}\theta }{\Sigma }},\ g_{t\phi }=-a\zeta \sin ^{2}\theta $

und den durch Matrixinvertierung erhaltenen kontravarianten

$ g^{tt}=-{\frac {\chi }{\Delta \Sigma }},g^{rr}={\frac {\Delta }{\Sigma }},g^{\theta \theta }={\frac {1}{\Sigma }},g^{\phi \phi }={\frac {\Delta -a^{2}\sin ^{2}\theta }{\Delta \Sigma \sin ^{2}\theta }},\ g^{t\phi }=-{\frac {a\zeta }{\Delta }} $

metrischen Koeffizienten^[4][5][6] lautet das Linienelement der Kerr-Raumzeit in Boyer-Lindquist-Koordinaten und geometrisierten Einheiten, d. h. $ G=c=1 $:^[4][7]

$ {\mathrm {d} s}^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=g_{tt}\mathrm {d} t^{2}+g_{rr}\mathrm {d} r^{2}+g_{\theta \theta }\mathrm {d} \theta ^{2}+g_{\phi \phi }\mathrm {d} \phi ^{2}+2g_{t\phi }\mathrm {d} t\mathrm {d} \phi , $

oder ausgeschrieben

$ \mathrm {d} s^{2}=(\zeta -1)\mathrm {d} t^{2}+{\frac {\Sigma }{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}+\Sigma \mathrm {d} \theta ^{2}+{\frac {\chi \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\mathrm {d} \phi ^{2}-2a\zeta \sin ^{2}\theta \mathrm {d} t\mathrm {d} \phi $

Der D’Alembert-Operator lautet:

$ \partial ^{\mu }\partial _{\mu }=g^{\mu \nu }\left({\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right){\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}=g^{tt}\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}+g^{rr}\left({\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{2}+g^{\theta \theta }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)^{2}+g^{\phi \phi }\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)^{2}+2g^{t\phi }\,{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\frac {\partial }{\partial t}} $

Dabei gilt:

$ r_{\mathrm {s} }=2M,\quad a=J/M,\quad \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta ,\quad \Delta =r^{2}-r_{\mathrm {s} }\ r+a^{2},\quad \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta \Delta ,\quad \zeta =r_{\mathrm {s} }r/\Sigma $

$ M $ ist die felderzeugende, gravitierende Masse inklusive der Rotationsenergie. Wird einem Schwarzen Loch, beispielsweise mithilfe eines Penrose-Prozess,^[8][9] seine gesamte Rotationsenergie entzogen, reduziert sich seine gravitierende Masse $ M $ auf die irreduzible Masse $ M_{\mathrm {irr} } $. Für diese gilt^[10][11]:

$ M_{\mathrm {irr} }={\sqrt {\,{\frac {M^{2}+{\sqrt {M^{4}-a^{2}M^{2}}}}{2}}}} $

Nach $ M $ aufgelöst gilt auch:

$ M=2{\sqrt {\frac {M_{\mathrm {irr} }^{4}}{4M_{\mathrm {irr} }^{2}-a^{2}}}} $

Der Rotationsenergie $ E_{\mathrm {rot} }=M-M_{\mathrm {irr} } $ entspricht also in Übereinstimmung mit der Äquivalenz von Masse und Energie einer Masse. Für den Fall, dass der Körper mit $ a=M $ rotiert, ergibt sich ein um den Faktor $ {\sqrt {2}} $ höheres Massenäquivalent als für einen statischen Körper mit der gleichen irreduziblen Masse.

$ r_{\mathrm {s} } $ ist der Schwarzschild-Radius. Der Parameter $ a $ wird auch Kerrparameter genannt. Er ist proportional zum Drehimpuls $ J $ des Schwarzen Loches. Ein positiver Drehimpuls beschreibt vom Nordpol aus betrachtet eine Rotation gegen den Uhrzeigersinn. Ein negativer Drehimpuls beschreibt die entgegengesetzte Richtung.

In kartesischen Koordinaten mit

$ x={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \cos \phi ,\quad y={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\;\sin \theta \sin \phi ,\quad z=r\cos \theta $

ergibt sich aus dem obigen Linienelement:^[5]

$ \mathrm {d} x={\frac {r\cos \phi \sin \theta }{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}}\mathrm {d} r+{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}\cos \phi \cos \theta \mathrm {d} \theta -{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}\sin \phi \sin \theta \mathrm {d} \phi $

$ \mathrm {d} y={\frac {r\sin \phi \sin \theta }{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}}\mathrm {d} r+{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}\sin \phi \cos \theta \mathrm {d} \theta -{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}\cos \phi \sin \theta \mathrm {d} \phi $

$ \mathrm {d} z=\cos \theta \mathrm {d} r-r\sin \theta \mathrm {d} \theta $

Für den Fall der verschwindenden Rotation $ a=0 $ reduziert sich das Linienelement auf das Schwarzschild-Linienelement in Schwarzschild-Koordinaten, und für den Fall der verschwindenden Masse $ M=0 $ auf das Linienelement der Minkowski-Raumzeit in Kugelkoordinaten.^[5]

Kerr-Schild Koordinaten

Um die Koordinatensingularität am Ereignishorizont zu vermeiden,^[8] kann in Kerr-Schild-Koordinaten^[7][12] transformiert werden. In diesen lautet das Linienelement

$ \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}-\mathrm {d} {\hat {t}}^{2}+{\frac {r_{\mathrm {s} }\ r^{3}}{r^{4}+a^{2}\ z^{2}}}\ \left(\mathrm {d} {\hat {t}}+{\frac {r\ (x\ \mathrm {d} x+y\ \mathrm {d} y)}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {a\ (y\ \mathrm {d} x-x\ \mathrm {d} y)}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z\ \mathrm {d} z}{r}}\right)^{2} $.

$ r $ wird dabei durch die folgende Gleichung festgelegt:

$ x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}+a^{2}\left(1-{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\right). $

Mit der Koordinatenzeit

$ {\hat {t}}=t+r_{\mathrm {s} }\int {\frac {r\ \mathrm {d} r}{\Delta }}\ ,\ \ \mathrm {d} {\hat {t}}=\mathrm {d} t+r_{\mathrm {s} }\ \mathrm {d} r\ r/\Delta , $

dem Azimuthalwinkel

$ {\hat {\varphi }}=\phi +a\ \int {\frac {\mathrm {d} r}{\Delta }}\ ,\ \ \mathrm {d} {\hat {\varphi }}=\mathrm {d} \phi +\mathrm {d} r\ a/\Delta $

und der Transformation zwischen Kugel- und kartesischen Hintergrundkoordinaten^[12]

$ x=(r\ \cos {\hat {\varphi }}+a\ \sin \ {\hat {\varphi }})\ \sin \theta \ ,\ \ y=(r\ \sin {\hat {\varphi }}-a\ \cos \ {\hat {\varphi }})\ \sin \theta \ ,\ \ z=r\cos \theta $

lauten die nichtverschwindenden kovarianten metrischen Komponenten in Kugelkoordinaten^[13][5]

$ g_{{\hat {t}}{\hat {t}}}=\zeta -1,\ g_{{\hat {t}}r}=\zeta ,\ g_{{\hat {t}}{\hat {\varphi }}}=-\zeta a\sin ^{2}\theta ,\ g_{rr}=\zeta +1,\ g_{r{\hat {\varphi }}}=-(\zeta +1)a\sin ^{2}\theta ,\ g_{\theta \theta }=\Sigma ,\ g_{{\hat {\varphi }}{\hat {\varphi }}}={\frac {\chi \sin ^{2}\theta }{\Sigma }} $

und die kontravarianten Komponenten

$ {\begin{aligned}g^{{\hat {t}}{\hat {t}}}&=-\zeta -1,\\g^{{\hat {t}}r}&=\zeta ,\\g^{rr}&=-{\frac {\zeta ^{2}a^{2}\Sigma \sin ^{2}\theta -\zeta \chi +\chi }{(\zeta +1)a^{2}\Sigma \sin ^{2}\theta -\chi }},\\g^{r{\hat {\varphi }}}&=-{\frac {a\Sigma }{(\zeta +1)a^{2}\Sigma \sin ^{2}\theta -\chi }},\\g^{\theta \theta }&={\frac {1}{\Sigma }},\\g^{{\hat {\varphi }}{\hat {\varphi }}}&=-{\frac {\Sigma \csc ^{4}\theta }{(\zeta +1)a^{2}\Sigma -\chi \csc ^{2}\theta }}.\end{aligned}} $

Die radiale Koordinate $ r $ und der Polwinkel $ \theta $ sind identisch mit ihren Boyer-Lindquist-Pendants. Der lokale Beobachter befindet sich jedoch nicht auf einer festen Radialkoordinate, sondern fällt radial mit

$ \mathrm {d} r/\mathrm {d} t=-r_{\mathrm {s} }\ r\ \Delta /\chi $

auf die zentrale Masse zu, während er wie der lokale Boyer-Lindquist-Beobachter (in der Literatur auch ZAMO^[14][15] für „zero angular momentum observer“ genannt) mit der Winkelgeschwindigkeit

$ \mathrm {d} \phi /\mathrm {d} t=r_{\mathrm {s} }\ r\ a/\chi $

um die Symmetrieachse rotiert.^[13]

Diese Koordinaten wurden von Roy Kerr in seiner originalen Arbeit von 1963^[1] verwendet. Mit $ a=0 $ reduziert sich das Linienelement auf das Schwarzschild-Linienelement in erweiterten Eddington-Finkelstein-Koordinaten.^[12]

Besondere Flächen

Horizonte

Geometrische Darstellung der Ereignishorizonte und Ergosphären der Kerr-Raumzeit in kartesischen Hintergrundkoordinaten. Die Ringsingularität liegt an der äquatorialen Ausbuchtung der inneren Ergosphäre bei $ R=a. $^[16]

Größenvergleich des Schattens (schwarz) und der besonderen Flächen (weiß) eines Schwarzen Lochs. Der Spinparameter $ a $ läuft von 0 bis $ M, $ wobei die linke Seite des Schwarzen Lochs auf den Beobachter zu rotiert.^[17]

In Boyer-Lindquist-Koordinaten entartet die Kerr-Metrik auf mehreren Flächen. Mit den Bezeichnungen von oben kann beispielsweise der Nenner der rein radialen Komponente der Kerr-Metrik $ g_{rr} $ gleich Null werden, wenn $ \Delta =0 $ gesetzt und nach $ r $ aufgelöst wird. Die Ereignishorizonte liegen damit auf

$ r_{\text{H}}^{\pm }\ =\ M\ \pm \ {\sqrt {M^{2}\ -\ a^{2}}}. $

Bei maximaler Rotation mit $ a=M $ fallen beide Werte mit dem Gravitationsradius $ r_{G}=M $ zusammen. Bei minimaler Rotation mit $ a=0 $ fällt der positive Wert mit dem Schwarzschild-Radius $ r_{s}=2r_{G} $ zusammen und der negative Wert fällt auf das Zentrum. Deshalb werden diese beiden Flächen auch als innerer und äußerer Ereignishorizont bezeichnet. Obwohl die radiale Koordinate $ r $ bei beiden Ereignishorizonten einen konstanten Wert besitzt, zeigt das Krümmungsverhalten der Ereignishorizonte, dass diese eher die geometrischen Eigenschaften eines Rotationsellipsoids besitzen.^[18] Der innere Ereignishorizont, bei dem es sich um einen Cauchy-Horizont handelt, entzieht sich der direkten Beobachtung, solange für den Spinparameter $ a\leq M $ gilt.^[19] Da die Raumzeit im Inneren desselben extrem instabil ist, gilt es als eher unwahrscheinlich, dass sich ein solcher bei einem realen Kollaps eines Sterns tatsächlich ausbildet.^[16]

Ergosphären

Zwei weitere Flächen ergeben sich in Boyer-Lindquist-Koordinaten aufgrund eines Vorzeichenwechsels der zeitartigen Komponente $ g_{tt} $. Die Bedingung $ g_{tt}=0 $ führt hier erneut auf eine quadratische Gleichung mit den Lösungen

$ r_{\text{E}}^{\pm }=M\pm {\sqrt {M^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}. $

Diese zwei Flächen können wegen des Terms $ \cos ^{2}\theta $ unter der Wurzel bei geringem Spinparameter als abgeflachte Sphären bzw. Rotationsellipsoide dargestellt werden. Die äußere Fläche berührt dabei den äußeren Ereignishorizont an den zwei Polen, die durch die Rotationsachse definiert werden. Die beiden Pole entsprechen einem Winkel $ \theta $ von $ 0 $ bzw. $ \pi $. Bei einem höheren Spinparameter beult sich die Ergosphäre von den Polen weg auch auf der z-Achse kürbisförmig^[20] aus, während der innere Ereignishorizont auf den äußeren zukonvergiert und bei $ a=M $ mit diesem zusammenfällt.

Der Raum zwischen den zwei äußeren Flächen mit $ r=r_{\text{H}}^{\text{+}} $ und $ r=r_{\text{E}}^{\text{+}} $ wird Ergosphäre genannt. Für ein massebehaftetes Teilchen ist $ \mathrm {d} s^{2} $ entlang seiner Weltlinie negativ. Da innerhalb der Ergospäre die Komponente $ g_{tt} $ der Metrik positiv ist, ist dies jedoch nur dann möglich, wenn das Teilchen mit einer gewissen Mindest-Winkelgeschwindigkeit $ \Omega $ mit der inneren Masse $ M $ mitrotiert. Es kann deshalb innerhalb der Ergosphäre keine Teilchen geben, die ruhen oder sich in entgegengesetzter Richtung zu der Masse auf der Ringsingularität drehen, da die lokale Transversalgeschwindigkeit des Raumzeitstrudels (der Frame-Dragging-Effekt) $ v_{\mathrm {zamo} }=\Omega \ {\bar {R}}\ \varsigma $ ab dem äußeren Rand der Ergosphäre größer gleich der Lichtgeschwindigkeit $ c $ ist.^[21][22]

Schatten

Beim Schatten eines Schwarzen Lochs handelt es sich um den schwarzen Bereich, den ein Beobachter an der Stelle, wo sich das Schwarze Loch befindet, sieht. Es handelt sich also um die scheinbare Ausdehnung des Schwarzen Lochs, die aufgrund der starken Krümmung der Raumzeit in der Nähe des Schwarzen Loches immer größer als der äußere Ereignishorizont ist.

Der Umriss des Schattens kann entweder mit numerischer Integration der lichtartigen Geodäten oder auch durch fouriertransformierte Limaçons berechnet werden.^{[23][24][25][26][27]}

Der Beobachter wird im Folgenden als in weiter Entfernung vom Schwarzen Loch und stationär angenommen. $ \theta $ bezeichnet den Polarwinkel der Position des Beobachters. $ \theta =0 $ und $ \theta =\pi $ entspricht also einer Position auf der Symmetrieachse der betrachteten Raumzeit. $ \theta =\pi /2 $ entspricht dagegen einer Position in der äquatorialen Ebene. Die Wellenlänge des Lichts wird im Vergleich zum Gravitationsradius als vernachlässigbar klein betrachtet. Die Konturlinien sind gegeben durch

$ 0=(x^{2}+z^{2}-x\ A)^{2}-B^{2}\ (x^{2}+z^{2}) $

mit den beiden Parametern

$ A=\alpha \sin \theta +{\bar {a}}\sin ^{3}\theta \cos ^{2}\theta /5 $

$ B=\beta +0{,}23\cos ^{4}\theta \ (1-{\sqrt {1-{\bar {a}}^{4}}}), $

die noch vom Kerrparameter und der Position des Beobachters abhängen. Ferner gilt noch die folgende Reihenentwicklung

$ {\begin{aligned}\alpha =&-8892{,}68{\bar {a}}^{10}+30413{,}2{\bar {a}}^{9}-46107{,}4{\bar {a}}^{8}+\\&+37064{,}7{\bar {a}}^{7}-18685{,}4{\bar {a}}^{6}+4666{,}5{\bar {a}}^{5}-3894{,}54{\bar {a}}^{4}+\\&+49{,}5645{\bar {a}}^{3}-9672{,}25{\bar {a}}^{2}+2{,}27392{\bar {a}}+9669{,}01{\bar {a}}\ \tan({\bar {a}})\end{aligned}} $

$ \beta =5{,}19058-0{,}343743{\bar {a}}\ \tan({\bar {a}})+0{,}0284803{\bar {a}}-0{,}0470795{\bar {a}}^{\ 27{,}5224}\tan({\bar {a}}) $

mit $ {\bar {a}}=a/M $, wodurch die beobachteten Längenmaßstäbe hier in Einheiten von $ GM/c^{2} $ betrachtet werden. Der beobachtete Radius des Schattens in Polarkoordinaten ist damit $ r_{\mathrm {obs} }=A\cos \vartheta +B $. Aus der polaren Ansicht bei $ \theta =0 $ rotiert das Schwarze Loch aus der Sicht des Beobachters gegen den Uhrzeigersinn und aus dem Blickwinkel $ \theta =\pi $ im Uhrzeigersinn. Der beobachtete Radius des Schattens eines nichtrotierenden Schwarzen Lochs liegt damit knapp über $ 5GM/c^{2} $. Das trifft auch für rotierende Schwarze Löcher zu, wenn diese aus der polaren Perspektive betrachtet werden. Je weiter die Position des Beobachters in der äquatorialen Ebene liegt, umso stärker wird die asymmetrische Verzerrung. Auf der dem Beobachter entgegenrotierenden Seite wird der Schatten eingedellt und auf der von ihm wegrotierenden Seite ausgebeult.

Umfangs- und Flächenformeln

Durch die nichteuklidische Geometrie ergibt sich als Umfang nicht $ U=2\pi \ r $, sondern in axialer Richtung

$ U_{\phi }=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {|g_{\phi \phi }|}}\ \mathrm {d} \phi =2\pi {\bar {R}} $

und in polodialer Richtung

$ U_{\theta }=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {|g_{\theta \theta }|}}\ \mathrm {d} \theta =4{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}\ \xi \left({\frac {a^{2}}{a^{2}+r^{2}}}\right) $.

wobei die Funktion $ \xi $ das elliptische Integral 2. Art bezeichnet. Deshalb ist auch die Oberfläche des Ereignishorizonts nicht $ 4\pi r_{\text{H}}^{2} $, sondern^[28]

$ A_{\mathrm {H} }=\int _{0}^{\pi }2\pi {\bar {R}}\ {\sqrt {\Sigma }}\,\mathrm {d} \theta =8\pi Mr_{\text{H}} $

mit dem axialen Radius der Gyration^[21][6]

$ {\bar {R}}={\sqrt {|g_{\phi \phi }|}}={\sqrt {\frac {\chi }{\Sigma }}}\ \sin \theta , $

der am äußeren Ereignishorizont auf der Äquatorebene für alle $ a $ mit dem Schwarzschildradius $ r_{\mathrm {s} } $ zusammenfällt.

Spin

Bei $ a>M,\ r=r_{\text{H}}^{+} $ würde eine nackte Singularität auftreten, da bei derartig hohen Drehimpulswerten kein Ereignishorizont existieren kann.^[19] Kip Thorne folgerte schon 1974 aus Computersimulationen des Wachstums von Schwarzen Löchern aus Akkretionsscheiben, dass Schwarze Löcher diesen Grenzwert nicht erreichen (seine Simulationen deuteten damals auf einen maximalen Spin von $ a\approx 0{,}998M $)^[29]. Auch Simulationen der Kollision zweier Schwarzer Löcher bei hohen Energien von 2009 von E. Berti und Kollegen^[30] zeigten, dass man dabei dem Grenzwert zwar sehr nahe kommt ($ a=0{,}95M $), er aber nicht überschritten wird, da Energie und Drehimpuls durch Gravitationswellen abgestrahlt werden.

Allgemein wird meist davon ausgegangen, dass der Grenzwert prinzipiell nicht überschritten werden kann (als Teil der Cosmic Censorship Hypothese).^[31] Diese Begrenzung für Schwarze Löcher gilt jedoch nicht für Sterne und andere Objekte mit einer Ausdehnung, die signifikant größer als ihr äußerer Ereignishorizont ist. Diese müssen, bevor sie zu einem Schwarzen Loch kollabieren, einen Teil ihres überschüssigen Drehimpulses nach außen abwerfen, sodass der Spin des resultierenden Schwarzen Lochs letztendlich bei $ a<M $ liegt.^[32][33][34]

Bei einem Spinparameter von $ a=M $ würde der Ereignishorizont zudem mit Lichtgeschwindigkeit rotieren. Dieser Grenzwert wird in der Natur zwar nicht erreicht, jedoch kommen manche Schwarze Löcher wie z. B. jenes im Kern der Spiralgalaxie NGC 1365 oder Markarian 335 sehr nah an dieses Limit heran.^{[35][36][37][38]}

Wie bei der Schwarzschild-Metrik in Schwarzschildkoordinaten sind die Polstellen der Kerr-Metrik, welche die Lage der Ereignishorizonte beschreiben, in Boyer-Lindquist-Koordinaten ebenfalls nur Koordinaten-Singularitäten. Durch eine andere Wahl der Koordinaten kann die Raumzeit der Kerr-Metrik ebenfalls bis in das Innere der Ereignishorizonte stetig und ohne Polstellen in der Metrik beschrieben werden.

Bahn von Testkörpern

Prograde Bahn eines Testkörpers um ein rotierendes Schwarzes Loch mit $ a=0{,}9\ M $

Retrograde Bahn bei einem Spinparameter von $ a=0{,}95\ M $

Die Gleichung für die Bewegung eines Testkörpers in der Kerr-Raumzeit kann über geeignete Hamilton-Jacobi-Gleichungen erhalten werden. Eine für die numerische Integration geeignete Form dieser Gleichungen in Boyer-Lindquist-Koordinaten lautet^[27][39][40] in den natürlichen Einheiten $ G=M=c=1 $, wobei Längen in $ GM/c^{2} $, Zeiten in $ GM/c^{3} $ und der Spinparameter in $ a=Jc/(GM^{2}) $ gemessen werden:

$ {\dot {t}}={\frac {2\ E\ r\ \left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ L_{z}\ r}{\Delta \ \Sigma }}+E={\frac {\varsigma }{\sqrt {1-v^{2}}}} $

$ {\dot {r}}={\frac {\Delta \ p_{r}}{\Sigma }} $

$ {\dot {p}}_{r}={\frac {(r-1)\left(\mu \ \left(a^{2}+r^{2}\right)-k\right)+2\ E^{2}\ r\left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ E\ L_{z}+\Delta \ \mu \ r}{\Delta \ \Sigma }}-{\frac {2\ p_{r}^{2}\ (r-1)}{\Sigma }} $

$ p_{r}={\frac {v^{r}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}{\sqrt {\frac {\Sigma }{\Delta }}} $

$ {\dot {\theta }}={\frac {p_{\theta }}{\Sigma }} $

$ {\dot {p}}_{\theta }={\frac {\sin \theta \ \cos \theta \left(L_{z}^{2}/\sin ^{4}\theta -a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)\right)}{\Sigma }} $

$ p_{\theta }={\frac {v^{\theta }\ {\sqrt {\Sigma }}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}} $

$ {\dot {\phi }}={\frac {2\ a\ E\ r+L_{z}\ \csc ^{2}\theta \ (\Sigma -2r)}{\Delta \ \Sigma }} $

Dabei steht der Punkt über den Variablen im Fall eines massebehafteten Testkörpers für das Differenzieren nach der Eigenzeit $ \tau $ und im Fall eines masselosen Testteilchens nach dem affinen Parameter, der anstatt der Eigenzeit die im System der ZAMOs lokal aufintegrierte Strecke des Photons bezeichnet. Im Fall eines massebehafteten Testpartikels erhält man die insgesamt zurückgelegte physikalische Wegstrecke mit dem Integral der Eigenzeit über die lokale 3er-Geschwindigkeit

$ \mathrm {d} {\bar {s}}=\mathrm {d} \tau \ \mathrm {d} v\ \gamma \ ,\ \ {\bar {s}}=\int _{0}^{\tau }v(\tau ')\ \gamma \,\mathrm {d} \tau ' $ mit dem Lorentzfaktor $ \gamma =1/{\sqrt {(1-v^{2})}}={\dot {t}}/\varsigma $.

Dabei sind $ v^{r} $, $ v^{\theta } $ und $ v^{\phi } $ die Komponenten der lokalen 3er-Geschwindigkeit^[41]

$ v={\sqrt {(v^{r})^{2}+(v^{\theta })^{2}+(v^{\phi })^{2}}}={\sqrt {(v^{x})^{2}+(v^{y})^{2}+(v^{z})^{2}}} $

entlang der jeweiligen Achsen, und es ergibt sich^[21]

$ v={\sqrt {\frac {\chi (E-L_{z}\ \Omega )^{2}-\Delta \Sigma }{\chi (E-L_{z}\ \Omega )^{2}}}}={\frac {\sqrt {{\dot {t}}^{2}-\varsigma ^{2}}}{\dot {t}}} $.

$ E $ und $ L_{z} $ sind die erhaltene spezifische Energie und die Komponente des spezifischen Drehimpulses entlang der Symmetrieachse der Raumzeit. $ C $ ist die nach ihrem Entdecker Brandon Carter benannte Carter-Konstante:^{[42][27][8][39]}

$ C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}I+L_{z}^{2}\ \tan ^{2}I $

Diese gehen mit

$ k=a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)+L_{z}^{2}+C $

in die Bewegungsgleichungen ein. $ p_{\theta } $ ist die polare $ \theta $-, $ p_{r} $ die radiale $ r $- und das konstante $ p_{\phi }=L_{z} $ die azimutale $ \phi $-Komponente des Bahndrehimpulses, die sich aus den kanonischen spezifischen Impulskomponenten^[43]

$ p_{\mu }=g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\nu } $

ergeben. Der Zeitimpuls ist proportional zur Energie: $ p_{t}=-E $. $ I $ ist der Bahnneigungswinkel des Testteilchens.^[4][8] Für massebehaftete Testteilchen ist $ \mu =-1 $ während für masselose Teilchen wie Photonen $ \mu =0 $ gilt.

Die 4 Konstanten der Bewegung sind daher $ E,L_{z},C $ und $ \mu $.^[27] Energie und Drehimpuls können aus den Eigenzeitableitungen der Koordinaten oder der lokalen Geschwindigkeit gewonnen werden:^[21]

$ E=\ -\ g_{tt}\ {\dot {t}}\ -\ g_{t\phi }\ {\dot {\phi }}={\sqrt {{\frac {(\Sigma -2\ r)\left({\dot {\theta }}^{2}\ \Delta \ \Sigma +{\dot {r}}^{2}\ \Sigma -\Delta \ \mu \right)}{\Delta \ \Sigma }}+{\dot {\phi }}^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta }}\ $$ ={\sqrt {\frac {\Delta \ \Sigma }{(1+\mu \ v^{2})\ \chi }}}+\Omega \ L_{z} $

$ L_{z}=g_{\phi \phi }\ {\dot {\phi }}\ +\ g_{t\phi }\ {\dot {t}}={\frac {\sin ^{2}\theta \ ({\dot {\phi }}\ \Delta \ \Sigma -2\ a\ E\ r)}{\Sigma -2\ r}}={\frac {v^{\phi }\ {\bar {R}}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}} $

Mitbewegte Inertialsysteme

Korotation von lokal stationären Messbojen aufgrund des Inertial-Frame-Dragging-Effekts

Aufgrund des Frame-dragging-Effekts korotiert selbst das Inertialsystem eines drehimpulsfreien und lokal ruhenden Beobachters mit der Winkelgeschwindigkeit^[36]

$ \Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {r_{\mathrm {s} }\ a\ r}{\chi }} $

mit der sich drehenden zentralen Masse mit, wobei die Winkelgeschwindigkeit nach der Koordinatenzeit $ t $ des relativ zu den Fixsternen stationären und sich in ausreichend großer Entfernung von der Masse befindenden Beobachters beschrieben wird.

Da der ZAMO relativ zum ihn lokal umgebenden Raum ruht, nimmt die Beschreibung der lokalen physikalischen Vorgänge in seinem Bezugssystem die einfachste Gestalt an.^[44][41] So ist z. B. nur in seinem Bezugssystem die Geschwindigkeit eines ihn passierenden Lichtstrahls gleich 1, während sie im System eines relativ zu den Fixsternen stationären Beobachters aufgrund der gravitativen Zeitdilatation verlangsamt und aufgrund des Frame-Draggings im Betrag und in der Richtung verschoben wäre. Der ZAMO kann deshalb als lokale Messboje, relativ zu der die Geschwindigkeit vor Ort $ (v) $ bestimmt wird, verwendet werden.

Die gravitative Zeitdilatation zwischen einem solchen mit $ \Omega $ mitbewegten und auf fixem $ r $ sitzenden Beobachter und einem weit entfernten Beobachter beträgt

$ \varsigma ={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}={\sqrt {g^{tt}}} $.

Die radiale lokale Fluchtgeschwindigkeit $ v_{\mathrm {esc} } $ ergibt sich damit über

$ \varsigma ={\frac {1}{\sqrt {1-v_{\mathrm {esc} }^{2}}}}\ \to \ v_{\mathrm {esc} }={\frac {\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}{\varsigma }} $.

Für einen Testkörper mit $ E=1\ ,\ L=0 $ ergibt sich $ v^{r}=v_{\mathrm {esc} } $, d. h., er entkommt der Masse mit der exakten Fluchtgeschwindigkeit.

Kreisbahnen

Pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit als Funktion von $ a $ und $ r $

Photonenorbit auf r°_⊥=(1+√2) GM/c² bei einem lokalen Inklinationswinkel von 90° $ (L_{z}=0). $ Wegen der Verdrehung der Raumzeit führt das Photon trotz verschwindenden axialen Drehimpulses eine Bewegung entlang der $ \phi $-Achse aus. Das führt dazu, dass von weitem eine Bahnneigung von 61° gemessen wird.

Ein rotierendes Schwarzes Loch hat 2 Radien, zwischen denen Photonenorbits aller denkbaren Inklinationswinkel möglich sind. In dieser Animation werden alle Photonenorbits für $ a=M $ gezeigt.

Die pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit (relativ zum ZAMO) ergibt sich, indem

$ {\dot {p}}_{r}=v^{r}=v^{\theta }=0\ ,\ \ \theta =\pi /2\ ,\ \ v=v^{\phi }\ ,\ \ {\bar {a}}=a/M\ ,\ \ {\bar {r}}=r/M $

gesetzt und nach $ v^{\phi } $ aufgelöst wird. Damit ergibt sich als Lösung

$ v_{\pm }^{\circ }={\frac {{\bar {a}}^{2}\mp 2{\bar {a}}{\sqrt {\bar {r}}}+{\bar {r}}^{2}}{{\sqrt {{\bar {a}}^{2}+({\bar {r}}-2)r}}\left({\bar {a}}\pm {\bar {r}}^{3/2}\right)}} $

für die prograde (+) und retrograde (−) Kreisbahngeschwindigkeit. Für Photonen mit $ v=1,\ \mu =0 $ ergibt sich daher

$ r_{\pm }^{\circ }=r_{\mathrm {s} }\ \left(\cos \left({\frac {2}{3}}\cos ^{-1}(\mp {\bar {a}})\right)+1\right) $

für den pro- und retrograden Photonenkreisradius in Boyer-Lindquist-Koordinaten. Für ein Photon mit verschwindendem axialen Drehimpuls, also einem lokalen Inkliniationswinkel von 90°, ergibt sich ein geschlossener Orbit auf^[45]

$ r_{\perp }^{\circ }=r_{\mathrm {s} }\ {\sqrt {1-{\frac {{\bar {a}}^{3}}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\cos ^{-1}\left({\frac {1-{\bar {a}}^{2}}{\left(1-{\frac {{\bar {a}}^{2}}{3}}\right)^{3/2}}}\right)\right)+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{2}}. $

Zwischen $ r_{+}^{\circ } $ und $ r_{-}^{\circ } $ sind Photonenorbits aller denkbaren Bahnneigungswinkel zwischen ±180° (retrograd) und 0° (prograd) möglich. Da alle Photonenorbits einen konstanten Boyer-Lindquist-Radius haben,^[46] kann der zum jeweiligen $ a $ und $ r $ passende Inklinationswinkel gefunden werden, indem die radiale Impulsableitung $ {\dot {p}}_{r} $ wie oben auf 0, der initiale Breitengrad $ \theta _{0} $ auf den Äquator gesetzt und nach $ v^{\phi } $ aufgelöst wird.

Für Photonenorbits auf $ r=3M $ ergibt sich außerdem für alle $ a $ ein aus der Ferne beobachteter äquatorialer Inklinationswinkel von 90°. Der lokale Inklinationswinkel relativ zu einem mitrotierenden Beobachter vor Ort (ZAMO) ist höher (der axiale Drehimpuls ist dann negativ), wird aber aufgrund des Frame-Dragging-Effekts kompensiert. Im Schwarzschild-Limit mit $ a=0 $ fallen die Photonenobits aller Bahnneigungswinkel auf $ r^{\circ }=3M $ und bilden die kugelschalenförmige Photonensphäre.

Im extremen Fall von $ a=M $ würden sich auf $ r=M $ sowohl äquatoriale Photonenkreisbahnen mit $ v_{+}^{\circ }=1 $ als auch gleichzeitig Partikelkreisorbits mit $ v_{+}^{\circ }=1/2 $ ergeben. Der Grund dafür ist, dass die vom Zentrum ausgehenden Kreise auf der radialen Koordinate denselben Wert einnehmen können, während sie in der euklidischen Einbettung auch einen unendlichen Abstand zueinander haben können, wenn sie wie im Fall von $ a=M $ den gleichen lokalen Umfang $ 2\pi {\bar {R}} $ einnehmen.^[41]

Literatur

• Robert H. Boyer, Richard W. Lindquist: Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric. In: Journal of Mathematical Physics. Vol. 8, Issue 2, 1967, S. 265–281. doi:10.1063/1.1705193.
• Barrett O’Neill: The geometry of Kerr black holes. Peters, Wellesley 1995, ISBN 1-56881-019-9.
• David L. Wiltshire, Matt Visser, Susan M. Scott (Hrsg.): The Kerr spacetime: Rotating Black Holes in General Relativity. Cambridge University Press, Cambridge 2009, ISBN 978-0-521-88512-6.
• Roy P. Kerr: The Kerr and Kerr-Schild-Metrics. In: Wiltshire, Visser, Scott: The Kerr Spacetime. Cambridge UP, 2009, S. 38–72 (Erstveröffentlichung: Discovering the Kerr and Kerr-Schild metrics. arxiv:0706.1109).

Weblinks

• Andreas Müller: Schwarze Löcher: Kerr-Metrik. Wissenschaft-Online, August 2007.
• Hendrik van Hees: Gravitation im Universum: Die Kerr-Lösung. GSI Helmholtzzentrum für Schwerionenforschung

Einzelnachweise

fr:Trou noir de Kerr#Métrique de Kerr