In der Mathematik misst der Kommutator (lateinisch commutare ‚vertauschen‘), wie sehr zwei Elemente einer Gruppe oder einer assoziativen Algebra das Kommutativgesetz verletzen.
Der Kommutator $ [g,h] $ zweier Elemente $ g $ und $ h $ einer Gruppe ist das Element
Manchmal wird der Kommutator auch als das Element
definiert. Insbesondere ist der Kommutator zweier invertierbarer Matrizen $ A,B\in GL(n,\mathbb {R} ) $ die Matrix $ ABA^{-1}B^{-1} $.
Genau dann, wenn $ gh=hg $ gilt, ist der Kommutator $ [g,h] $ das neutrale Element der Gruppe. Die von allen Kommutatoren erzeugte Untergruppe wird Kommutatorgruppe genannt. Kommutatoren werden beispielsweise bei der Definition von nilpotenten und auflösbaren Gruppen verwendet.
Kommutatoren werden auch für Ringe und assoziative Algebren definiert. Hier ist der Kommutator $ [a,b] $ zweier Elemente $ a $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b definiert als
Er ist genau dann gleich 0, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a und $ b $ „kommutieren“ (vertauschen), also wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): ab = ba gilt:
Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c Elemente einer assoziativen Algebra und $ \lambda $, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu Skalare (Elemente des Grundkörpers). Dann gilt:
Aufgrund der Eigenschaften 1, 2 und 3 wird jede assoziative Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A mit dem Kommutator als Lie-Klammer zu einer Lie-Algebra.
Weil der Kommutator linear ist und der Produktregel genügt, ist die zu jedem Element Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a adjungierte Selbstabbildung der Algebra
eine Ableitung oder Derivation.
Der Antikommutator $ \{a,b\} $ oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [a, b]_+ zweier Elemente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b ist die Summe ihrer Produkte in beiden Reihenfolgen:
Er ist genau dann gleich 0, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a und $ b $ „antikommutieren“, also wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): ab = -ba gilt:
Der Antikommutator ist symmetrisch:
Es folgt der Zusammenhang mit dem Kommutator:
Die definierenden Relationen einer Clifford-Algebra oder Dirac-Algebra betreffen Antikommutatoren.
In der Quantenmechanik gehört zu jedem Messapparat ein hermitescher Operator. Seine Eigenwerte sind die möglichen Messwerte, seine Eigenvektoren entsprechen denjenigen physikalischen Zuständen des zu vermessenden Systems, bei denen der zugehörige Messwert mit Sicherheit auftritt.
Kommutieren zwei dieser Operatoren, so gibt es einen vollständigen Satz gemeinsamer Eigenvektoren, genauer zwei miteinander kommutierende spektrale Zerlegungen. Physikalisch bedeutet dies, dass man beide Messungen gemeinsam vornehmen und Zustände präparieren kann, bei denen beide Messungen sichere Ergebnisse haben. Man spricht dann von kommutierenden, kompatiblen oder verträglichen Observablen.
Gegeben sei: ein Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |A\rang in der Dirac-Notation und die Observablen (Operatoren) $ \zeta $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \eta . Dann gilt für die Bedingung simultaner Eigenzustände:
mit den im Allgemeinen komplexen Eigenwerten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \zeta^{'} und $ \eta ^{'} $. Daraus folgt
Ist die Bedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [\zeta, \eta] = 0 erfüllt, so sind die beiden Observablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \zeta und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \eta kommutierend und haben simultane Eigenzustände.
Bei kanonischer Quantisierung eines physikalischen Systems treten an die Stelle der Phasenraumkoordinaten Ort und Impuls, die den Zustand des klassischen Systems charakterisieren, der Ortsoperator $ x $ und der Impulsoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p , für die die fundamentale kanonische Kommutatorrelation gilt (komplementäre Observablen):
wobei $ j $ bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k die Komponenten der Vektor-Operatoren bezeichnen.
In der Heisenbergschen Bewegungsgleichung ersetzt der Kommutator die Poisson-Klammer im Formelbild der entsprechenden, klassischen Bewegungsgleichung der hamiltonschen Mechanik (siehe Anwendungen der Poisson-Klammer).
Gemäß der Heisenbergschen Unschärferelation gibt der Erwartungswert des Kommutators zweier Operatoren eine untere Schranke an das Produkt der Unschärfen der entsprechenden Observablen.
Mit dem Kommutator werden die algebraischen Eigenschaften derjenigen Operatoren angegeben, die in quantenmechanischen Mehrteilchenzuständen Bosonen erzeugen oder vernichten. Da die Erzeugungsoperatoren untereinander kommutieren, sind in Mehrteilchenzuständen die einzelnen Teilchen ununterscheidbar in dem Sinn, dass eine Vertauschung zweier Teilchen keinen anderen, sondern denselben Zustand mit gleicher Phase ergibt.
Mit dem Antikommutator werden in der Quantenmechanik die algebraischen Eigenschaften derjenigen Operatoren angegeben, die in Mehrteilchenzuständen Fermionen erzeugen oder vernichten. Da die Erzeugungsoperatoren untereinander antikommutieren, sind in Mehrteilchenzuständen die einzelnen Teilchen ununterscheidbar in dem Sinn, dass eine Vertauschung zweier Teilchen keinen anderen, sondern denselben Zustand mit entgegengesetzter Phase ergibt.