Konforme Feldtheorie

Konforme Feldtheorien (englisch Conformal Field Theory, Abkürzung CFT) sind Quantenfeldtheorien oder statistische Feldtheorien, die invariant sind unter beliebigen konformen Transformationen. In diese Kategorie fallen die meisten renormierbaren Feldtheorien an ihren kritischen Punkten, da das System dort Skaleninvarianz besitzt (beschrieben durch die Renormierungsgruppe), siehe auch Abbildung 1.

Abb. 1: Lokal lässt sich eine konforme Transformation durch eine Translation, eine Rotation und eine Skalenänderung beschreiben. Für ein physikalisches System mit kurzreichweitiger Wechselwirkung (man denke etwa an einen Kristall) sind Translation und Rotation unwesentlich. Dies veranschaulicht, weshalb skaleninvariante (kritische) Systeme mit kurzreichweitiger Wechselwirkung in der Regel auch konforme Invarianz aufweisen.

Die Gruppe der konformen Transformationen des 2-dimensionalen euklidischen Raumes wird erzeugt von einer unendlich-dimensionalen Algebra von Generatoren, der Witt-Algebra. Bei Berücksichtigung der Fluktuationen wird die Witt-Algebra zu einer Virasoro-Algebra. Dieser hohe Grad an Symmetrie ermöglicht eine Klassifikation 2-dimensionaler Feldtheorien und manchmal auch eine exakte Lösung. Aus diesem Grund sind die kritischen Exponenten 2-dimensionaler Systeme oft rationale Zahlen (Beispiele: Ising-Modell, isotrope Perkolation).

Weitere Anwendungen finden sich in der Stringtheorie, da ein String in der Raumzeit eine 2-dimensionale Fläche aufspannt.

Für d-dimensionale euklidische Räume mit d > 2 ist die Algebra der Generatoren hingegen nur (d+1)(d+2)/2 -dimensional, und die konforme Invarianz ist hier weniger nützlich.

Siehe auch

• Holografisches Prinzip#Vermutete AdS/CFT-Korrespondenz

Literatur

• Malte Henkel: Conformal invariance and critical Phenomena. Springer, Berlin u. a. 1999, ISBN 3-540-65321-X (Texts and Monographs in Physics).
• John Cardy: Scaling and Renormalization in Statistical Physics. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1996, ISBN 0-521-49959-3 (Cambridge Lecture Notes in Physics 5).

Weblinks

• Strings und Branen-Welten: einige Aspekte einer vereinheitlichten Theorie aller Wechselwirkungen. Max-Planck-Gesellschaft, 2005
• Michael Flohr: Konforme Feldtheorie und Riemannsche Flächen. (PDF; 1,77 MB) Leibniz Universität Hannover; Slideshow
• Matthias R. Gaberdiel: Konforme Feldtheorie (PDF; 504 kB) Vorlesungsskript, ETH Zürich
• Paul Ginsparg: Applied Conformal Field Theory, Lectures given at Les Houches summer session 1988 arxiv:hep-th/9108028