Die k·p-Methode (auch KP-Methode) ist eine störungstheoretische Methode der Quantenmechanik zur Berechnung der elektronischen Bandstruktur eines Festkörpers. Sie bietet eine Näherung der Lösung der Schrödinger-Gleichung für Elektronen in Halbleitern und anderen kristallinen Festkörpern. Die Methode erlaubt so auch das elektronische Verhalten von Bauteilen der Mikroelektronik zu simulieren.
Die Bezeichnung stammt daher, dass in den Energien der einzelnen Energiebänder ein Ausdruck der Form $ {\vec {k}}\cdot {\vec {p}} $ auftritt, also das Skalarprodukt aus dem Wellenvektor $ {\vec {k}} $ und dem quantenmechanischen Impulsoperator $ {\vec {p}} $.
Die Methode basiert auf einer Beschreibung der Elektronen als nicht miteinander wechselwirkende Teilchen in einem periodischen effektiven Potential. Dieses beinhaltet die Wechselwirkung des beschriebenen Elektrons mit den Elektronen und Atomkernen des Festkörpers.
Ist die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen Wellenvektor $ {\vec {k}}_{0} $ des Elektrons im reziproken Raum aus anderen Methoden (z. B. der Dichtefunktionaltheorie) bekannt, so kann die Elektronen-Energie für Werte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec k in einer Umgebung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec k_0 als Störung dieser Lösung bestimmt werden. Aus der Veränderung der Energie (Eigenwerte des in der Schrödinger-Gleichung auftretenden Hamilton-Operators) mit dem Wellenvektor ist dann die gesuchte Bandstruktur des Festkörpers bestimmt.
Die Wellenfunktion des Elektrons genügt in der Ein-Teilchen-Näherung der Schrödinger-Gleichung:
mit
Blochs Theorem besagt nun, dass die Lösung einer solchen periodischen Differentialgleichung wie folgt geschrieben werden kann:
dabei ist
Setzt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_{n, \vec{k}} in die Einteilchen-Schrödinger-Gleichung ein, so erhält man die folgende Differentialgleichung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u_{n,\vec k} :
mit dem reduzierten planckschen Wirkungsquantum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hbar .
Für einen Wellenvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec k_0 , für den die Lösungen bekannt sind (oft am Γ-Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec k_0 = 0 ), behandelt die k·p-Methode nun den Term
in obiger Gleichung als Störung (daher der Name). Ziel der Störungsrechnung ist es, näherungsweise Ausdrücke für die Energieeigenwerte und die zugehörigen Eigenzustände zu finden.
Die Energien und Eigenzustände werden mit zunehmender Ordnung zwar genauer, die Gleichungen jedoch immer komplexer. Man approximiert daher die gesuchten Ausdrücke mit Störungen zweiter Ordnung. Für alle betrachteten Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u_{n,\vec k} erhält man Gleichungen, in denen Wechselwirkungsterme in Form von Übergangsmatrixelementen zwischen den betrachteten Zuständen und allen anderen Zuständen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u_{n',\vec k} auftreten. Man erhält also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n Gleichungen mit jeweils Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n' Wechselwirkungstermen.
Für direkte Anwendungen betrachtet man nur Zustände in der Nähe der Bandlücke, womit die Anzahl der Gleichungen reduziert wird. Des Weiteren nutzt man in kristallinen Schichten die Symmetrieeigenschaften der verschiedenen Kristallsysteme in Form der Gruppentheorie, um mit deren Hilfe viele der Wechselwirkungsterme zu effektiven Termen zusammenzufassen und somit die Anzahl der Wechselwirkungsterme weiter stark zu reduzieren. Schließlich ergeben sich relativ wenige Gleichungen, welche man kompakt als Matrix darstellt, um anschließend die gesuchten Energieeigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_{n,\vec k} und die zugehörigen Eigenzustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_{n,\vec k} zu berechnen.
Aus den Eigenwerten lassen sich dann Ausdrücke für die Dispersion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tfrac{\mathrm d}{\mathrm d k}E_{n, \vec{k}} , die effektive Masse der Elektronen und Auswahlregeln für die Wechselwirkung mit Licht mit weniger Aufwand als bei einer vollständigen Rechnung bestimmen.
Wichtig ist sie insbesondere im Fall entarteter Bänder, da der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec k \cdot \vec p -Term die Bänder miteinander koppelt, die Entartung teilweise aufhebt und neue Auswahlregeln für optische Übergänge zwischen den Bändern bestimmt.