Lorentzfaktor

Lorentzfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma als Funktion von $ v $ in Einheiten von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c , d. h. als Funktion von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tfrac{v}{c}

Der dimensionslose Lorentzfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma (gamma) beschreibt in der speziellen Relativitätstheorie die Zeitdilatation sowie den Kehrwert der Längenkontraktion bei der Koordinatentransformation zwischen relativ zueinander bewegten Inertialsystemen. Er wurde von Hendrik Antoon Lorentz im Rahmen der von ihm ausgearbeiteten Lorentz-Transformation entwickelt, die die mathematische Grundlage der speziellen Relativitätstheorie bildet.

Der Lorentzfaktor ist definiert als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma = \frac 1 {\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right) ^2}} \geq 1

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v bezeichnet die Relativgeschwindigkeit zweier Bezugssysteme.
• Die Lichtgeschwindigkeit $ c $ ist eine vom Bezugssystem unabhängige Naturkonstante.

Für relativ zueinander ruhende Bezugssysteme gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v = 0 \Rightarrow \gamma = 1.

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v \neq 0 , aber dennoch klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v \ll c \Leftrightarrow \frac{v}{c} \ll 1,

so wird durch eine Taylor-Entwicklung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma = 1 + \frac 12 \frac{v^2}{c^2} + \frac 38 \frac{v^4}{c^4} + \mathcal O\left(\frac{v^6}{c^6}\right)

In welcher Ordnung die Entwicklung in der klassischen Physik abgebrochen werden kann, ist nicht allgemein zu beantworten. Für die meisten Anwendungen kann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma als konstant Eins angenommen werden, für die kinetische Energie ist die erste Ordnung proportional zu $ v^{2} $ ausschlaggebend.

Lorentzfaktor in Abhängigkeit vom Impuls

Der Lorentzfaktor lässt sich auch angeben als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma = \sqrt {1 + \left( \frac{\vec p}{m c} \right) ^2}

mit

• dem relativistischen Dreierimpuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec p des betrachteten Objektes
• seiner Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m

Diese Schreibweise ist vor allem in der theoretischen Physik zu finden.

Der Nachweis der Äquivalenz lässt sich über eine Gleichsetzung mit dem „normalen“ Lorentzfaktor erbringen, bei der sich der relativistische Impuls ergibt.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec p^2 = \underbrace{(\gamma^2 -1)c^2}_{\left(\frac{1}{1-\beta^2}-\frac{1-\beta^2}{1-\beta^2}\right) c^2=\beta^2 c^2\gamma^2} m^2 =\gamma^2v^2 m^2

Lorentzfaktor in Abhängigkeit von der kinetischen Energie

Der Lorentzfaktor lässt sich auch angeben als:

$ \gamma ={\frac {E_{\mathrm {kin} }}{E_{0}}}+1 $

mit

• der kinetischen Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_\mathrm{kin} des betrachteten Objektes
• seiner Ruheenergie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_0 = mc^2 .

Lorentzfaktor bei Beschleunigungen

Die zeitliche Ableitung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma ist interessant, um die relativistische Form des zweiten newtonschen Gesetzes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F = m \vec a für Beschleunigungen in Bewegungsrichtung zu formulieren, da die relativistisch korrekte Beziehung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F = \tfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \vec p über den Impuls lautet. Es gilt: $ {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}} $.

Es folgt direkt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F = \left(\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \gamma \right) m \vec v + \gamma m \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec v + \gamma \vec v \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}m

und man erhält für die zeitliche Ableitung des Lorentzfaktors:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\gamma = \gamma^3 \frac{\vec v}{c} \cdot \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\vec v}{c}

und damit für die korrekte Beziehung zwischen Kraft und Beschleunigung:^[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F = m \gamma^3 \left( \frac{\vec v}{c} \cdot \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\vec v}{c} \right) \vec v + \gamma m \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \vec v + \gamma \vec v \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}m.

Einzelnachweise