Machscher Kegel

Schlierenfoto eines Flugzeugmodells bei Mach 1,2 im Windkanal. Sichtbar sind schräge Verdichtungsstöße und Verdünnungsfächer, die durch die Umlenkung des Fluids entstehen. Sie unterscheiden sich im Winkel vom Machschen Kegel.

Ein Jagdbomber F/A-18 Hornet im Überschallflug mit Wolkenscheibeneffekt

Der Machsche Kegel ist eine Stoßwelle, die bei Wellen im Zusammenhang mit hohen Geschwindigkeiten auftritt. Er wurde nach Ernst Mach benannt.

Ein sich mit der Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v bewegendes Objekt verdichtet das Medium vor sich her, hiervon ausgelöste Schallwellen breiten sich mit Schallgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_{\mathrm S} kugelförmig aus. Bewegt sich jedoch das Objekt selbst mit Überschallgeschwindigkeit, also schneller als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen, dann kann sich in Bewegungsrichtung des Objektes die Verdichtungsfront niemals vom Objekt ablösen und läuft damit permanent diesem voran. Die ausgelösten Stoßwellen formen sich, wie die Überlagerung von Elementarwellen nach dem Huygensschen Prinzip zeigt, zu einem im Bezugssystem des bewegten Objektes stationären Kegelmantel. Der halbe Spitzenwinkel dieses Kegels heißt Machscher Winkel.

Sichtbarer Machscher Kegel

Bei hoher Luftfeuchtigkeit wird die Stoßfront des Machschen Kegels als Wolkenscheibe sichtbar. Im Kegel folgt unmittelbar nach der Kompression ein ähnlich starker Unterdruck. Durch diese adiabatische Expansion überschreitet der Partialdruck des Wassers den Sättigungsdampfdruck deutlich. Als Folge kondensiert Wasserdampf zu kleinen Tröpfchen, die als Nebelwand sichtbar sind. Hinter der Stoßfront normalisiert sich der Luftdruck, die Tröpfchen verdampfen und der Nebel löst sich auf. Es entsteht der Eindruck einer am Flugzeug befestigten Wolkenscheibe.

Mit Schlierenoptik können Machsche Kegel im Windkanal dargestellt und vermessen werden^[1].

Mathematische Beschreibung

Öffnungswinkel des Machschen Kegels

Die Gleichung für den halben Öffnungswinkel des Machschen Kegels lautet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sin \varphi = \frac{s_\text{Welle}}{s_\text{Objekt}} = \frac{c_{\mathrm S} \cdot t}{v \cdot t} = \frac{c_{\mathrm S}}{v} = \frac{1}{\mathit{Ma}} \,

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s : in der Zeit $ t $ zurückgelegter Weg
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi : machscher Winkel
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_{\mathrm S} : Schallgeschwindigkeit
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v : Fluggeschwindigkeit des Objekts
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathit{Ma} : Mach-Zahl

Bei Schallgeschwindigkeit hat der Kegelöffnungswinkel eine Größe von 180°. Der Kegel hat in diesem Fall die Form einer ebenen Stoßfront angenommen. Für $ v>c_{\mathrm {S} } $ bilden die sich durchdringenden Kugelwellenfronten Kegel mit konstruktiver Interferenz.

Beschreibung von dynamischen Wellenbildern

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_s : Schallgeschwindigkeit
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f_s : Frequenz der Schallquelle
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega_s : Kreisfrequenz der Schallquelle
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda : Wellenlänge
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_x, v_y : Geschwindigkeit des Flugzeugs
• $ k $: Wellenpropagationskonstante
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi : Azimutaler Winkel (Polarkoordinaten)

Beschreibung der Wellenfront als verschobene Kreisparametrisierung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overrightarrow{\lambda}(\alpha) = \begin{pmatrix} \lambda_x (\alpha) \\ \lambda_y (\alpha) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{c_s}{f_s} \cos(\alpha) - \frac{v_x}{f_s} \\ \frac{c_s}{f_s} \sin(\alpha) - \frac{v_y}{f_s} \end{pmatrix} \quad \quad \alpha \in [-\pi, \pi]

Hierbei entspricht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha einem freien Parameter welcher sich im Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [-\pi, \pi] befindet, ist jedoch nicht gleich dem typischen azimutalen Umlaufwinkel der Polarkoordinaten. Die geometrische Herleitung ist in der Abbildung „Graphische Darstellung des Wellenlängenvektors“ zu sehen.

Die winkelabhängige Wellenlänge ist die Norm dieser Kreisparametrisierung:

$ \lambda (\alpha )=\|{\overrightarrow {\lambda }}(\alpha )\|={\sqrt {\lambda _{x}^{2}(\alpha )+\lambda _{y}^{2}(\alpha )}} $

Die Wellenpropagationskonstante lässt sich damit wie folgt angeben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k(\alpha) = \frac{2\pi}{\lambda(\alpha)}

Der azimutale Umlaufwinkel wird in Abhängigkeit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha aus den Komponenten des Wellenlängenvektors berechnet werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tan(\varphi(\alpha)) = \frac{\lambda_y(\alpha)}{\lambda_x(\alpha)} \quad \rightarrow \quad \varphi(\alpha) = \arctan2(\lambda_y(\alpha), \lambda_x(\alpha)), \quad -\pi \le \alpha \le \pi

Eine effektive Umrechnung des azimutalen Winkels Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi in den Parameterwinkel $ \alpha $ ist gegeben durch die folgende Formel in Determinanten-Schreibweise:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha(\varphi) = \varphi - \text{arcsin}\left(\frac{1}{c_s} \cdot \begin{vmatrix} v_x & \cos\varphi \\ v_y & \sin\varphi \end{vmatrix} \right)\quad , \quad -\infty < \varphi < \infty

Datei:Mach'scher Kegel.png

Einige Wellenbilder mit verschiedenen Machzahlen

Die Wellengleichung lässt sich damit als parametrisierte Fläche folgendermaßen beschreiben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overrightarrow{u}(r, \varphi, t) = \begin{pmatrix} x(r, \varphi, t) \\ y(r, \varphi, t) \\ z(r, \varphi, t) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} r \cdot \cos\varphi \\ r \cdot \sin\varphi \\ A \cdot \cos(\omega_s t - k(\alpha(\varphi)) \cdot r) \end{pmatrix}

Der Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r entspricht dem radialen Parameter der Polarkoordinaten. Die weiter oben zu sehende Animation ist nach diesem Berechnungsprinzip erstellt. Bei einer Mach-Zahl von 2 ist der Öffnungswinkel des Kegels exakt 30°.

Siehe auch

• Doppler-Effekt
• Bugwelle
• Machwelle
• Tscherenkow-Strahlung

Weblinks

• Schallknall – Astronomy Picture of the Day vom 19. August 2007.
• Die Ares-1-X-Rakete hebt ab – Astronomy Picture of the Day vom 2. November 2009.
• Shuttle durchbricht Schallmauer (Memento vom 28. Januar 2018 im Internet Archive)
• NASA: Mach Angel, Website mit Beschreibung des Machschen Kegels.

Einzelnachweise