Magnetisches Pendel

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Skizze eines magnetischen Pendels. Ein Fadenpendel mit einer eisernen Kugel pendelt über drei Magneten. Je nach Anfangsposition und Geschwindigkeit bleibt das Pendel im Endzustand über einem Magneten stehen.

Datei:MagneticPendulum.jpg

Klassifikation des Verhaltens eines magnetischen Pendels über drei Magneten. Jede Stelle entspricht einem Startpunkt für die Pendelbewegung. Die Farbe charakterisiert den Magneten, an dem das Pendel zum Stillstand kommt. Je heller die Farbe, umso früher ist das der Fall. Die drei hellsten Stellen markieren daher die Positionen der Magnete.

Ein magnetisches Pendel (auch: Chaospendel) besteht aus einer an einem Faden aufgehängten Eisenkugel, die über einer Anzahl am Boden befestigter Magneten hängt. Die Länge des Fadens ist dabei so gewählt, dass die Kugel die Magneten knapp nicht berühren kann. Lenkt man das Pendel aus, so führt die Kugel unter Einfluss der Schwerkraft und der magnetischen Anziehung über den Magneten Schwingungsbewegungen aus. Ist die Auslenkung und damit die Energie groß genug, so dass sich das Pendel immer wieder von der Anziehungskraft der einzelnen Magnete lösen kann, ergibt sich eine irreguläre Bewegungskurve, die empfindlich von der Anfangsposition des Pendels abhängt. Der Endzustand (Magnet 1 = rot, Magnet 2 = grün, Magnet 3 = blau) ist zwar deterministisch, das heißt, die Bewegung des Pendels ist unter der Vorgabe von Anfangsbedingungen eindeutig, da er aber sensibel von den Anfangsbedingungen abhängt, handelt es sich bei der Bewegung des Pendels um deterministisches Chaos.

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Magnetisches Pendel mit zeitlich abnehmender Reibungskonstante

Farbkarte

Das reale Magnetpendel oder das theoretische Modell mit berücksichtigten Reibungskräften kommt bei einem der Magnete zum Stillstand. Kleinste Änderungen der Anfangsposition führen das Pendel zu unterschiedlichen Magneten. Dies wird besonders deutlich, wenn man eine Karte betrachtet, bei der jeder mögliche Ausgangspunkt mit einer Farbe markiert ist, die den Magneten charakterisiert, der das Pendel schließlich einfängt. Je geringer die Reibung ist, umso filigraner werden in bestimmten Bereichen die Gebiete einer bestimmten Farbe. Siehe dazu Bild 2. Das nebenstehende Video zeigt, dass der Bereich mit chaotischen Anfangsbedingungen (d. h. Anfangsbedingungen, die bei der kleinsten Änderung zu einem unvorhersagbaren Endzustand führen) größer wird, je geringer die Reibung im Pendelsystem ist.

Mathematisches Modell

Auf die Eisenkugel wirken folgende Kräfte:

Gravitation: ${\vec {F}}_{g}=\nabla (m\,{\vec {g}}\cdot {\vec {r}})$ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{g}=(0,0,-g) .
Anziehungskräfte der drei Magnete: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{F}_m=-\nabla\sum_{i=0}^{N=3}V_i(\vec{r}) .
Reibungskräfte: Luftreibung und Lagerreibung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{F}_r=-\gamma\,\dot{\vec{r}} .

Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m die Masse der Eisenkugel, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g die Schwerebeschleunigung sowie ${\vec {r}}$ die Position der Eisenkugel. Die Magnetkraft muss aus den Potenzialen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V_i der einzelnen Magnete berechnet werden. Man kann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V_i=\frac{\alpha_i}{|\vec{r}-\vec{r}_i|^b} als Potenzial annehmen, mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r}_i der Position des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i -ten Magnets und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha_i dessen Stärke und der Potenz $$ b $$ . Die Reibung wird hier als Stokessche Reibung mit Reibungskoeffizient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma angenommen. Aus diesen Annahmen kann eine Differentialgleichung aufgestellt werden, die die Bewegung des Pendels beschreibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m\,\ddot{\vec{r}}=\nabla(m\,\vec{g}\cdot\vec{r})-\nabla\sum_{i=0}^{N=3}V_i(\vec{r})-\gamma\,\dot{\vec{r}} .

Es handelt sich um ein System dreier nichtlinearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Eine Lösung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r}(t) zur Anfangsbedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{r}(0),\dot{\vec{r}}(0)) kann nun zum Beispiel mithilfe numerischer Integration bestimmt werden.

Weblinks