Maxwell-Jüttner-Verteilung

Die Maxwell-Jüttner-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der statistischen Thermodynamik. Sie beschreibt die Geschwindigkeitsverteilung eines idealen Gases mit relativistischen Teilchengeschwindigkeiten. Die Maxwell-Jüttner-Verteilung ist eine Verallgemeinerung der Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Im Gegensatz zur letzteren berücksichtigt sie die Effekte der speziellen Relativitätstheorie.^[1]^[2]

Vergleichbar der Maxwell-Boltzmann-Verteilung setzt die Maxwell-Jüttner-Verteilung ein klassisches, ideales Gas voraus. Ähnlich wie beim idealen Gas werden eine ideale Verdünnung und die Abwesenheit von Kräften zwischen den Gaspartikeln vorausgesetzt. Im Grenzfall niedriger Temperaturen, bei der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T wesentlich kleiner als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): mc^2/k ist, geht die Maxwell-Jüttner-Verteilung in die klassische Maxwell-Boltzmann-Verteilung über (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m ist die Masse eines Gasteilchen, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c die Lichtgeschwindigkeit und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k ist die Boltzmann-Konstante).

Namensgebung

Die Verteilungsfunktion wurde erstmals von Ferencz Jüttner (1878–1958) im Jahre 1911 hergeleitet.^[1]^[2] Da sie eine Verallgemeinerung der von James Clerk Maxwell und Ludwig Boltzmann gefundenen Maxwell-Boltzmann-Verteilung ist, wird sie daher als Maxwell-Jüttner-Verteilung bezeichnet.

Die Verteilungsfunktion

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Maxwell-Jüttner-Geschwindigkeitsverteilung in Abhängigkeit von der relativistischen Geschwindigkeit für verschiedene Temperaturen.

Wenn ein Gas so heiß wird, dass seine thermische Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): kT in den Bereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): mc^2 oder ihn überschreitet, so kann seine relativistische maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(\gamma) = \frac {\gamma^2 \beta }{\theta K_2(1/\theta)} \exp \left( - \frac {\gamma}{\theta} \right)

beschrieben werden.^[3] In dieser Gleichung bedeutet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}

die Partikelgeschwindigkeit in relativistischen Einheiten (Lorentzfaktor) und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta = \frac {v}{c}=\sqrt{1-1/\gamma^2} ,
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \theta=\frac{kT}{mc^2} ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): K_2 ist die modifizierte Besselfunktion zweiter Art.

Alternativ zur Geschwindigkeitsverteilung kann auch die Impulsverteilung angegeben werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(p) = \frac{1}{4 \pi m^3 c^3 \theta K_2(1/\theta)} \exp\left( -\frac{\gamma(p)}{\theta}\right)

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma(p) = \sqrt{1+\left(\frac{p}{mc}\right)^2} .

Die Maxwell-Jüttner-Verteilung ist kovariant, aber nicht manifest kovariant (vgl. Minkowski-Raum). Aus diesem Grund variiert die Temperatur nicht mit der mittleren Bruttogeschwindigkeit der Gaspartikel.^[4]^[5]

Randbedingungen

Grundsätzlich besitzt die Maxwell-Jüttner-Verteilung die gleichen Randbedingungen, wie die Maxwell-Boltzmann-Verteilung:

Es wird ein ideales Gas vorausgesetzt.
Wechselwirkungen zwischen den Gaspartikeln werden vernachlässigt.
Quanteneffekte werden vernachlässigt.

Neben diesen Bedingungen müssen für die Maxwell-Jüttner-Verteilung noch folgende Randbedingungen eingehalten werden:

Die Paarbildung bzw. die Bildung von Antiteilchen wird ausgeschlossen.

Die Paarbildung muss berücksichtigt werden, wenn die kinetische Partikelenergie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): kT in die Größenordnung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): mc^2 gelangt. Da die Anzahl der Gaspartikel keine Erhaltungsgröße ist, kann sie somit beliebig ansteigen. Aus Symmetriegründen muss lediglich die Anzahl der neu gebildeten Teilchen zu ihren Antiteilchen erhalten bleiben. Die so neu erhaltene Verteilungsfunktion beinhaltet als neue Größe das chemische Potential der entsprechenden Paarbildung.

Einzelnachweise

↑ ^1,0 ^1,1 Ferencz Jüttner: Die Dynamik eines bewegten Gases in der Relativtheorie. In: Annalen der Physik. Band 340, Nr. 6, 1911, S. 145–161, doi:10.1002/andp.19113400608.
↑ ^2,0 ^2,1 Ferencz Jüttner: Das Maxwellsche Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung in der Relativtheorie. In: Annalen der Physik. Band 339, Nr. 5, 1911, S. 856–882, doi:10.1002/andp.19113390503.
↑ John Lighton Synge: The relativistic gas. North-Holland publishing company, Amsterdam 1957.
↑ Guillermo Chacón-Acosta, Leonardo Dagdug, Hugo A. Morales-Técotl: On the Manifestly Covariant Jüttner Distribution and Equipartition Theorem. In: arXiv. 8. Oktober 2009, arxiv:0910.1625.
↑ Guillermo Chacón-Acosta, Leonardo Dagdug, Hugo A. Morales-Técotl: Manifestly covariant Jüttner distribution and equipartition theorem. In: Physical Review E. Band 81, Nr. 2, 22. Februar 2010, S. 021126, doi:10.1103/PhysRevE.81.021126.

[Jüttner1911a-1] 1,0 ^1,1 Ferencz Jüttner: Die Dynamik eines bewegten Gases in der Relativtheorie. In: Annalen der Physik. Band 340, Nr. 6, 1911, S. 145–161, doi:10.1002/andp.19113400608.

[Jüttner1911b-2] 2,0 ^2,1 Ferencz Jüttner: Das Maxwellsche Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung in der Relativtheorie. In: Annalen der Physik. Band 339, Nr. 5, 1911, S. 856–882, doi:10.1002/andp.19113390503.

[3] John Lighton Synge: The relativistic gas. North-Holland publishing company, Amsterdam 1957.

[4] Guillermo Chacón-Acosta, Leonardo Dagdug, Hugo A. Morales-Técotl: On the Manifestly Covariant Jüttner Distribution and Equipartition Theorem. In: arXiv. 8. Oktober 2009, arxiv:0910.1625.

[5] Guillermo Chacón-Acosta, Leonardo Dagdug, Hugo A. Morales-Técotl: Manifestly covariant Jüttner distribution and equipartition theorem. In: Physical Review E. Band 81, Nr. 2, 22. Februar 2010, S. 021126, doi:10.1103/PhysRevE.81.021126.

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