NOON-Zustand

Ein NOON-Zustand (Kunstwort entsprechend der Formel, s. u.) ist ein verschränkter quantenmechanischer Vielteilchenzustand. Die Bezeichnung ist insbesondere in der Quantenoptik gebräuchlich. Hier bezeichnet ein NOON-Zustand einen Überlagerungszustand von $ N $ Photonen, die sich entweder alle in dem einen oder dem anderen von zwei voneinander unterscheidbaren Einteilchenzuständen befinden. Photonen, die in einem solchen Zustand präpariert werden, erlauben (für große Teilchenzahl $ N $) sehr präzise Phasenmessungen und wurden daher für Anwendungen in der Quanten-Metrologie und hochaufgelösten Lithographie vorgeschlagen.

Definition

Mathematisch sind NOON-Zustände $ |\psi _{\text{NOON}}\rangle $ als Vektoren im Hilbertraum $ {\mathcal {F}}_{+}(\mathbb {C} ^{2})={\mathcal {F}}_{+}(\mathbb {C} )\otimes {\mathcal {F}}_{+}(\mathbb {C} ) $, dem symmetrischen (bosonischen) Fockraum über zwei Moden, gegeben:

$ |\psi _{\text{NOON}}\rangle ={\frac {|N\rangle _{a}\otimes |0\rangle _{b}+e^{iN\theta }|{0}\rangle _{a}\otimes |{N}\rangle _{b}}{\sqrt {2}}} $

Dieser Zustand beschreibt die Überlagerung von $ N $ Teilchen in der Mode $ a $ und keinem Teilchen in Mode $ b $ und umgekehrt (mit relativer Phase $ \theta $).

In der Praxis werden meist photonische NOON-Zustände betrachtet, aber allgemein kann jedes bosonische Feld in einem NOON-Zustand präpariert werden.

Anwendungen

NOON-Zustände wurden im Zusammenhang mit Anwendungen der Quanten-Metrologie untersucht, da sie es erlauben, mit optischen Interferometern sehr genaue Phasenmessungen durchzuführen. Zum Beispiel gilt für die Observable

$ A=|N,0\rangle \langle 0,N|+|0,N\rangle \langle N,0| $

dass ihr Erwartungswert $ \langle A\rangle $ für ein System im NOON-Zustand sich von $ +1 $ zu $ -1 $ verändert, wenn die Phase $ \theta $ des Zustands von 0 auf $ \pi /N $ anwächst. D. h. für große $ N $ führt schon eine sehr kleine Phase zu einer großen Änderung der Observablen.

Für die Ungenauigkeit (Standardabweichung) der Messung von $ A $ gilt:

$ \Delta \theta ={\frac {\Delta A}{|d\langle A\rangle /d\theta |}}={\frac {1}{N}}. $

Diese Skalierung mit der Teilchenzahl ist das beste mit quantenmechanischen Messungen erreichbare Verhalten und wird auch als Heisenberg-Limit bezeichnet. Es stellt eine quadratische Verbesserung gegenüber den {{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Multilingual:149: attempt to index field 'data' (a nil value) ($ \propto {\sqrt {N}} $) dar, das die beste mit $ N $ unabhängigen (nicht verschränkten) Teilchen erreichbare Messung beschreibt.

NOON-Zustände sind eng verwandt mit Schrödinger-Katzen-Zuständen und Greenberger-Horne-Zeilinger Zuständen. Wie diese sind auch die NOON-Zustände sehr fragil: auch kleine unkontrollierte Wechselwirkungen zerstören die Kohärenz der Überlagerung und führen zu einem Verlust der vorteilhaften Eigenschaften des Zustands (Dekohärenz). Dies stellt den praktischen Nutzen von NOON-Zuständen für metrologische Zwecke in vielen realistischen Situationen in Frage.^[1]

Experimentelle Erzeugung

NOON-Zustände wurden für kleine Teilchenzahlen in verschiedenen Experimenten erzeugt, z. B. für $ N=5 $ mit optischen Photonen^[2] und für $ N=2 $ mit Mikrowellen-Photonen^[3].

Geschichte und Terminologie

NOON-Zustände wurden von Barry Sanders im Zusammenhang mit der Untersuchung der Dekohärenz von Schrödinger-Katzen-Zuständen eingeführt^[4] und später von Jonathan P. Dowling wiederentdeckt, der sie als Grundlage der Quanten-Lithographie vorschlug.^[5] Der englische Ausdruck {{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Multilingual:149: attempt to index field 'data' (a nil value) wurde erstmals in einem Artikel von Lee, Kok und Dowling über Quanten-Metrologie^[6] verwendet (geschrieben als „N00N“, mit Nullen statt Os).

Referenzen