Potential (Physik)

Das Potential oder auch Potenzial (lat. potentia, „Macht, Kraft, Leistung“) ist in der Physik die Fähigkeit eines konservativen Kraftfeldes, eine Arbeit zu verrichten. Es beschreibt die Wirkung eines konservativen Feldes auf Massen oder Ladungen unabhängig von deren Größe und Vorzeichen. Damit wird eine Rückwirkung des Probekörpers zunächst ausgeschlossen, kann aber auch gesondert berücksichtigt werden. Als Formelzeichen für das Potential wird meist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi , der große griechische Buchstabe Phi, benutzt.

In der Mathematik bezeichnet der Begriff Potential ausschließlich ein (skalares oder vektorielles) Feld, also eine Ortsfunktion insgesamt. In physikalisch-technischen Zusammenhängen wird er hingegen zur Bezeichnung sowohl des Feldes als auch seiner einzelnen Funktionswerte, etwa des elektrischen oder Gravitationspotentials an der betreffenden Stelle, gebraucht. Im Folgenden wird hauptsächlich auf das physikalische „Potential“ als Feld eingegangen.

In vielen Lehrbüchern wird auch die potentielle Energie mit „Potential“ bezeichnet^[1] und das Formelzeichen $$ V $$ der potentiellen Energie gewählt. Ein Potential (im eigentlichen Sinn) ist potentielle Energie pro Kopplungskonstante, z. B. elektrische Ladung oder Masse.^[2]

Grundlage: Das Kraftfeld

Nach Newton gilt für eine Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F das Gesetz

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F = m a ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m eine Masse und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a die Beschleunigung ist, welche diese Masse erfährt. Es handelt sich also um eine Kraft, welche auf einen einzelnen Gegenstand ausgeübt wird.

Bei der Schwerkraft wirkt jedoch an jedem Punkt im Raum eine Beschleunigung (nach unten), und eine Masse, welche sich irgendwo im Raum befindet, erfährt damit stets eine Kraft in ebendiese Richtung.

Größen solcher Art, die sich nicht nur an einem einzelnen Ort befinden, sondern über einen Raum verteilt sind, nennt man Felder, und je nachdem, ob die betreffenden Größen gerichtet oder ungerichtet sind, unterscheidet man die Felder noch einmal in Vektorfelder und skalare Felder.

Größen, die wie die Masse, Ladung, Dichte oder Temperatur keine Richtung besitzen und sich allein mit Hilfe einer einzigen Zahl vollständig beschreiben lassen, werden auch als Skalare bezeichnet, und alle Felder, die Orten im Raum solche richtungslosen Größen zuordnen, dementsprechend als skalare Felder. So kann man zum Beispiel jedem Punkt der Erdoberfläche seine Höhe über dem Meeresspiegel zuordnen und erhält damit ein skalares Höhenfeld, oder aber man ordnet z. B. jedem Punkt im Raum seine Dichte zu und erhält damit ein Dichtefeld.

Kräfte dagegen sind Vektoren, also gerichtete Größen, und wenn man jedem Punkt im Raum einen solchen Vektor anstatt eines Skalars zuordnet, erhält man statt eines skalaren Feldes ein Vektorfeld. Im Fall der Schwerkraft beispielsweise zeigen alle Schwerkraftvektoren stets in Richtung des Erdmittelpunkts.

Vektorfelder, deren Elemente Kräfte sind, heißen Kraftfelder, und so kann die obige Gleichung auch vektoriell geschrieben werden, mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F = m \vec a ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F das Kraftfeld und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec a das Beschleunigungsfeld ist. Ein Beschleunigungsfeld hängt in der Regel von der Position Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec r im Raum ab, was bedeutet, dass sowohl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F als auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec a Funktionen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec r sind, es also genauer heißen müsste:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F ( \vec r) = m \vec{a}( \vec r) .

Das Potential am Beispiel des elektrischen und des Gravitationsfeldes

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Potentielle Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W_{\rm pot}(r) und Gravitationspotential

$ V(r) $

im Umfeld einer Zentralmasse. Hierbei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F_{\rm G} die Gravitationskraft, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_{\rm G} die Gravitationsbeschleunigung und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nabla V der Potentialgradient.

Handelt es sich um eine konservative Kraft wie etwa die Coulombkraft oder Schwerkraft, so kann ein Kraftfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{F}( \vec{r}) auch mithilfe eines skalaren Feldes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi( \vec r) ausgedrückt werden, für das dann beispielsweise die folgenden Gleichungen gelten (im Fall des elektrischen Felds übernimmt die Ladung $$ q $$ die Rolle der Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m im Gravitationsfeld):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{F_E} (\vec r)= -q \vec{\nabla}\Phi( \vec r) bzw.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{F_G} (\vec r)= -m \vec{\nabla}\Phi( \vec r) .

Ein skalares Feld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi( \vec r) , das diese Beziehung erfüllt, heißt Potential des Vektorfelds Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F( \vec r) .

Dabei ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\nabla} (meist einfach nur $ \nabla $ geschrieben) der Nabla-Operator
- der Ausdruck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\nabla} \Phi( \vec r) der mit seiner Hilfe gebildete Gradient des Feldes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi( \vec r) .

Die Anwendung des Nabla-Operators auf das Skalarfeld erzeugt ein Vektorfeld, das für jeden Punkt des Raums eine Aussage über die Änderungsrate des Skalarfeldes in Richtung seines steilsten Anstiegs macht.

Das Potential lässt sich damit gut als eine hügelige Landschaft veranschaulichen, etwa so wie im Fall des zuvor erwähnten Höhenfelds: Die Höhe eines Punkts ist dann sein Potentialwert, und die Kraft, die auf einen Körper in diesem Punkt wirkt, dagegen derjenige Vektor, der in Richtung des steilsten Potentialgefälles zeigt, also genau entgegengesetzt zur Richtung des steilsten Potentialanstiegs.

Die Kraft auf eine Ladung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q im elektrischen Feld bzw. auf eine Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m im Gravitationsfeld ergibt sich zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F_E ( \vec r)= -q \vec{\nabla}\Phi( \vec r) = q \cdot \vec E ( \vec r) \quad \text{bzw.} \quad \vec F_G ( \vec r) = -m \vec{\nabla}\Phi( \vec r) = m \cdot \vec a ( \vec r) .

Die besondere Bedeutung des Potentials liegt darin, dass es als skalares Feld – im Vergleich zu den drei Komponenten eines Kraftfeldes – nur eine Komponente besitzt, wodurch sich viele Berechnungen vereinfachen. Außerdem liefert sein Produkt mit der Ladung bzw. Masse unmittelbar die potentielle Energie des betreffenden Probekörpers, und so gilt zum Beispiel in der Elektrostatik für die potentielle Energie und das elektrische Potential die Gleichung

E_{\mathrm {pot} }=q\cdot \Phi ({\vec {r}})\,

.

Im allgemeineren Sinne werden auch andere skalare Felder, aus denen sich gemäß obenstehender Gleichung Vektorfelder ableiten lassen, als Potentiale bezeichnet.

Zentralpotential

Unter einem Zentralpotential versteht man ein Potential, das nur vom Abstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vert\vec r\vert zum Kraftzentrum abhängt. Es gilt mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vert\vec r_1\vert = \vert\vec r_2\vert also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V(\vec {r_1}) = V(\vec {r_2}) . Bewegungen in einem Zentralpotential unterliegen einer konservativen Zentralkraft.

Zu den Vorzeichen

Datei:Potential and potential energy (e) de.png

Potentielle Energie W_pot(r) und Coulombpotential V(r) im Umfeld einer negativen (oben) bzw. positiven (unten) Zentralladung. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ F_C : Coulombkraft, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ E : Elektrische Feldstärke,

\nabla V

: Potentialgradient

Die Minuszeichen in den Gleichungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F (\vec r)= -k\,\vec{\nabla} \Phi(\vec r) \quad \text{bzw.} \quad \vec a (\vec r) = -\frac{k}{m}\vec{\nabla}\Phi(\vec r)

drücken aus, dass die konservative Kraft auf eine positive Ladung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k (positive elektrische Ladung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q bzw. Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m ) – dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend – stets in Richtung abnehmender potentieller Energie wirkt, also der Richtung ihres Gradienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\nabla}\Phi( \vec r) bzw. maximalen Energieanstiegs entgegengesetzt. Im anschaulichen Bild eines Potentialgebirges wirken Schwerebeschleunigung und elektrische Feldstärke (siehe nebenstehende Abb.) demnach stets „bergab“.

Für das elektrische Feld allerdings können sich die Verhältnisse dadurch, dass auch negative Zentral- und Probeladungen denkbar sind, noch einmal komplizieren. So nimmt, wenn eine negative Probeladung $$ -q $$ sich einer negativen Zentralladung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -Q nähert, die potentielle Energie der Probeladung dabei zu, obwohl sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -q dabei in Feldlinienrichtung bewegt, also in Richtung fallenden elektrischen Potentials. Das Paradox löst sich auf, sobald man berücksichtigt, dass das Produkt zweier negativer Größen wieder eine positive Größe ergibt. Die nebenstehende Abb. fasst den Zusammenhang zwischen potentieller Energie und elektrischem Potential für die vier denkbaren Vorzeichenkonstellationen des elektrischen Feldes noch einmal zusammen. Wie zu sehen, ist die potentielle Energie dabei stets vom Vorzeichen beider Ladungen abhängig, der Potentialverlauf dagegen allein vom Vorzeichen der Zentralladung.

Ein konkretes Anwendungsbeispiel dieser Gleichungen veranschaulicht den Inhalt dieses Zusammenhangs noch einmal etwas deutlicher: Da die positive Richtung von Koordinatensystemen auf der Erdoberfläche stets senkrecht nach oben zeigt und einen Körper höher zu heben heißt, dass er damit auch mehr potentielle Energie bzw. ein höheres Potential erlangt, ist dieses Potential in der Höhe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h über dem Erdboden mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g als Betrag der Erdbeschleunigung annähernd Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi (h)= g \cdot h .

Betrachtet man das Schwerepotential des Erdschwerefeldes als annäherndes Zentralpotential (s. o.), also allein vom Abstand zum Erdmittelpunkt $$ r $$ bzw. von der Höhe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h abhängig, lässt sich der Gradient von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(h) auf den Differentialquotienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\Phi(h)/\mathrm{d}h reduzieren, und man erhält als Entsprechung der obigen Gleichungen die Beziehung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec a(h) = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h} \Phi(h)\cdot \vec e_r= -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h} g \cdot h \cdot \vec e_r= \vec g mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec g = -g\vec e_r

Wie am Minuszeichen zu erkennen, ist die Richtung der Schwerebeschleunigung der positiven Richtung des Koordinatensystems annähernd entgegengesetzt, also wie erwartet in Richtung Erdmittelpunkt zeigend. Die aus dem Schwerepotential errechnete Beschleunigung ist in diesem Falle also gerade gleich der Erdbeschleunigung.

Potentielle Energie und Potential

Potentielle Energie und Potential unterscheiden sich darin, dass potentielle Energie sich beispielsweise im Gravitationsfeld auf eine Masse und im elektrischen Feld auf eine Ladung bezieht und von der Größe dieser Masse oder Ladung abhängt, während das Potential eine Eigenschaft des Kraftfelds unabhängig von einer Massen- oder Ladungsgröße des Probekörpers beschreibt.

Das Potential ist eine dem Kraftfeld äquivalente Felddarstellung.

Der oben erwähnte Zusammenhang ermöglicht es, ein dreidimensionales konservatives Kraftfeld mit Hilfe von skalaren Feldern darzustellen, ohne dass dabei Informationen über das Feld verloren gehen. Das führt zur Vereinfachung vieler Rechnungen. Allerdings ist der Rückschluss auf den das Feld verursachenden Körper nicht mehr eindeutig. So ist etwa das äußere Gravitationspotential einer homogenen Vollkugel dem Potential einer Punktmasse äquivalent.

Verbunden sind die beiden Größen über den Begriff der Arbeit:

Die Energie ist aus physikalischer Sicht die Fähigkeit eines Körpers, Arbeit zu verrichten.
Das Potential dient zur Beschreibung der Fähigkeit eines Feldes, einen Körper Arbeit verrichten zu lassen.

Der Zusammenhang zwischen potentieller Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V(\vec r) und dem Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi (\vec r) lautet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V(\vec r) = q \cdot \Phi (\vec r) \quad \text{bzw.} \quad V(\vec r) = m \cdot \Phi (\vec r) .

Der erste Ausdruck bezieht sich auf ein elektrisches Feld (Ladung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q ), der zweite auf ein Gravitationsfeld (Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m ).

Potentialdifferenz

Von Potentialdifferenz oder Potentialunterschied spricht man immer dann, wenn zwei oder mehr Objekte zueinander unterschiedliche Potentiale besitzen. Eine Potentialdifferenz ist also ein körperunabhängiges Maß für die Stärke eines Feldes und beschreibt das Arbeitsvermögen eines Objektes in diesem. Entlang von Äquipotentialflächen (Flächen gleichen Potentials) herrscht somit keine Potentialdifferenz: Objekte (Körper, Ladungen) können entlang dieser ohne Arbeitsaufwand verschoben werden. In der Elektrostatik ist die Potentialdifferenz definiert als elektrische Spannung zwischen zwei isolierten Ladungsträgern (Objekten unterschiedlichen Potentials):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U = \Phi(\vec r_2)-\Phi(\vec r_1) .

Zusammenhang mit der Ladungsverteilung

Zeichen	Beschreibung
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta	Laplace-Operator
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon	Permittivität
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(\vec r)	Potential
$$ G $$	Gravitationskonstante
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho(\vec r)	Ladungs- bzw. Massendichte

Der Zusammenhang des Potentials mit der Ladungs- bzw. Massendichte wird für die Coulomb- und Gravitationskraft durch die Poisson-Gleichung hergestellt, eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung. In der Elektrostatik lautet sie

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta \Phi(\vec r)=-\frac{\rho(\vec r)}{\varepsilon} ,

wohingegen sie in der klassischen Gravitationstheorie die Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta \Phi(\vec r)= 4 \pi G \rho(\vec r)

besitzt.

Damit die oben angegebene Gleichung in der Elektrostatik gilt, muss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon konstant sein. Ist diese Voraussetzung nicht erfüllt, muss stattdessen mit folgendem Ausdruck gerechnet werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \text{div}\left[\varepsilon \cdot \text{grad}\ \Phi(\vec r) \right]=-\rho(\vec r)

Beispiel: Gravitationspotential einer homogenen Kugel

Da das Lösen der Poisson-Gleichung bereits in einfachen Fällen relativ aufwendig ist, soll hier ein ausführliches Beispiel vorgeführt werden. Dazu betrachten wir einen idealisierten Himmelskörper als perfekte Kugel mit homogener Dichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho und einem Radius $$ R $$ .

Äußere Lösung

Im Außenraum um die Kugel herum ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r>R und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho=0 , so dass die Poisson-Gleichung in die Laplace-Gleichung übergeht

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta \Phi(\vec r) = 0 .

Da das gegebene Problem eine Kugelsymmetrie besitzt, können wir es vereinfachen, indem wir es in Kugelkoordinaten betrachten. Dazu muss lediglich der entsprechende Laplace-Operator in die Gleichung eingesetzt werden. Diese hat dann die Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta\Phi(\vec r) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial \Phi(\vec r)}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin\theta \frac{\partial \Phi(\vec r)}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 \Phi(\vec r)}{\partial \varphi^2} = 0 .

Das Feld kann aber offensichtlich nicht von den Winkeln Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \theta,\varphi abhängen, da die Kugel symmetrisch ist. Das bedeutet, dass die Ableitungen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(\vec r) nach den Winkelkoordinaten verschwinden und nur der radiale Teil übrig bleibt.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta\Phi(\vec r) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial \Phi(\vec r)}{\partial r} \right) = 0 ,

die sich durch beidseitiges Multiplizieren mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r^2 weiter vereinfacht.

Integration nach r liefert

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial \Phi(\vec r)}{\partial r} \right)\mathrm d r =\int 0 \, \mathrm d r

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r^2 \frac{\partial \Phi(\vec r)}{\partial r} = \alpha ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha eine Integrationskonstante ist. Weitere Integration nach r liefert

\int {\frac {\partial \Phi ({\vec {r}})}{\partial r}}\mathrm {d} r=\int {\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathrm {d} r

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(\vec r) = - \frac{\alpha}{r} + \beta = \frac{\tilde \alpha}{r} + \beta ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tilde \alpha = - \alpha , damit das Minuszeichen verschwindet und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta wieder eine Integrationskonstante ist.

Weil das Potential in unendlicher Entfernung gegen Null gehen soll, muss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta = 0 sein. Für die äußere Lösung gilt also zunächst

\Phi ({\vec {r}})={\frac {\tilde {\alpha }}{r}}

.

Um die Konstante zu berechnen, müssen wir jedoch zuerst die innere Lösung bestimmen.

Innere Lösung

Im Innern der Kugel ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r<R und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho(\vec r)=\rho , so dass die Poisson-Gleichung gilt, mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta \Phi(\vec r) = 4 \pi G \rho .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial \Phi(\vec r)}{\partial r} \right) = 4 \pi G \rho r^2 .

Zweimalige Integration nach r liefert auf dieselbe Weise wie zuvor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(\vec r)=\frac{2}{3} \pi G \rho r^2 - \frac{A}{r}+B ,

wobei hier Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B wieder Integrationskonstanten sind. Da das Potential im Mittelpunkt der Kugel (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r=0 ) einen endlichen Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi_0 annehmen sollte, muss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A=0 sein. Andernfalls würde das Potential unendlich groß. Wir haben also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(0)=\Phi_0 = B .

und somit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(\vec r)=\frac{2}{3} \pi G \rho r^2 + \Phi_0 .

Bestimmung der Konstanten

Wir unterscheiden zunächst

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi_A(\vec r) = \frac{\tilde \alpha}{ r}

für die äußere Lösung und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi_I(\vec r)=\frac{2}{3} \pi G \rho r^2 + \Phi_0

für die innere Lösung. Am Rand der Kugel muss das innere Potential glatt in das Äußere übergehen. Das bedeutet, dass die ersten Ableitungen bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r=R übereinstimmen müssen.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left.\frac{\mathrm d \Phi_A(\vec r)}{\mathrm d r}\right|_{r=R} = \left.\frac{\mathrm d \Phi_I(\vec r)}{\mathrm d r}\right|_{r=R}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -\frac{\tilde \alpha}{R^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho R = \frac{GM}{R^2} ,

wobei wir hier benutzen, dass die Masse das Produkt aus Volumen und Dichte ist, mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M = V \rho=\frac{4}{3}\pi R^3 \rho .

Hieraus ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tilde \alpha = -G M ,

so dass sich die bekannte äußere Lösung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi_A(\vec r) = - \frac{GM}{r}

ergibt. Um die Konstante der inneren Lösung zu bestimmen, benutzen wir die Tatsache, dass das Potential stetig sein muss, die beiden Lösungen bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r=R also identisch sein müssen, das heißt, es gilt:

Das Gravitationspotential einer homogenen Kugel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi_A(\vec R)=\Phi_I(\vec R)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): - \frac{GM}{R}=\frac{2}{3} \pi G \rho R^2 + \Phi_0 .

Und damit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi_0 = - \frac{3GM}{2R} .

Damit ergibt sich für die innere Lösung schließlich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi_I(\vec r) = \frac{2}{3} \pi G \rho r^2 + \Phi_0 = \frac{G M}{2 R^3}r^2 - \frac{3GM}{2R} = \frac{GM}{2R}\left(\frac{r^2}{R^2}-3\right) ,

wobei der erste Summand wieder über das Volumen umgeschrieben wurde.

Die innere Lösung entspricht einem harmonischen Oszillatorpotential. Das bedeutet, dass wenn man ein Loch durch einen homogenen Himmelskörper (einen Mond oder kleinen Planeten) bohrte und einen Gegenstand hineinfallen ließe, dieser durch den Mittelpunkt hin und her schwingen (fallen) würde. Unter Annahme einer reibungsfreien Bewegung ergibt sich die Ortsfunktion des Körpers zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r(t) = R \cdot \cos \left(\sqrt{\frac{G M}{R^3}}\cdot t\right).

Schwerkraft in einer Hohlkugel

Wie die Situation im Innern einer hohlen Kugel aussieht, lässt sich nun auch direkt aus unserer Lösung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho=0 ablesen. Allgemein hatten wir

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(\vec r) = \frac{\tilde \alpha}{r} + \beta ,

da wir uns nun im Innern der Kugel befinden, können wir nicht ins Unendliche hinausgehen, wodurch vorher Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta verschwunden ist. Allerdings muss das Potential im Mittelpunkt wieder einen endlichen Wert annehmen, so dass dieses Mal Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tilde \alpha=0 wird. Dann ist das Potential

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi(\vec r) = \beta ,

also konstant. Die Ableitung des Potentials nach dem Radius ergibt die Beschleunigung – die Ableitung einer Konstanten ist jedoch Null. Also ist man im Innern einer hohlen Kugel schwerelos. Dies ist dadurch zu verstehen, dass gegenüberliegende Teilchen in den Wänden ihre Gravitation gerade gegenseitig aufheben. Handelte es sich nicht um eine perfekte Kugel, so wäre dies nicht der Fall und man würde kleine Beschleunigungen erfahren.

Weblinks

Wiktionary: Potenzial – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Helmut Föll: Potential – Definition math.-vektoriell. In: Einführung in die Materialwissenschaft II. Abgerufen am 1. April 2009.

Einzelnachweise

↑ Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 1, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
↑ David Halliday, Robert Resnick: Physik, Teil 2. Walter de Gruyter, 1994, ISBN 3-11-013897-2, S. 869 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Siehe auch

Vektorpotential

es:Potencial eléctrico pl:Potencjał

[1] Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 1, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.

[2] David Halliday, Robert Resnick: Physik, Teil 2. Walter de Gruyter, 1994, ISBN 3-11-013897-2, S. 869 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

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