Poynting-Vektor

Der Poynting-Vektor $\overrightarrow{S}$ (benannt nach dem britischen Physiker John Henry Poynting) kennzeichnet in der Elektrodynamik (einem Teilgebiet der Physik) die Dichte und die Richtung des Energietransportes (Energieflussdichte) eines elektromagnetischen Felds $(\overrightarrow{E},\overrightarrow{H})$. Der Begriff des Energieflusses ist identisch mit dem physikalischen Begriff der Leistung, die Bezeichnung Energieflussdichte ist daher gleichwertig zur Leistungsdichte.

Der Poynting-Vektor wird im Satz von Poynting betrachtet, einem Erhaltungssatz der Elektrodynamik.

Mathematische Beschreibung

Der Poynting-Vektor ist ein dreikomponentiger Vektor, der in die Raumrichtung des Energieflusses zeigt. Er berechnet sich als das Kreuzprodukt aus elektrischer Feldstärke $\overrightarrow{E}$ und magnetischer Feldstärke $\overrightarrow{H}$:

$\overrightarrow{S}=\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}$

Im Vakuum gilt

$\overrightarrow{S}=\frac{1}{{\mu }_0}(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B})$

mit der magnetischen Feldkonstanten ${\mu }_0$ und der magnetischen Flussdichte $\overrightarrow{B}$.

Sein Betrag entspricht

• einerseits der Leistungsdichte (oder Intensität) des Felds (der Energie, die pro Zeiteinheit durch eine Einheitsfläche senkrecht zum Poynting-Vektor hindurchtritt):

$\frac{\mathrm{Energie}}{\mathrm{Fl}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{che}\cdot \mathrm{Zeit}}=\frac{\mathrm{Leistung}}{\mathrm{Fl}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{che}}$ SI-Einheit: $\frac{\mathrm{J}}{{\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{s}}=\frac{\mathrm{W}}{{\mathrm{m}}^2}=\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}}$

• andererseits der Impulsdichte des Felds (der Impuls, der pro Einheitsvolumen im elektromagnetischen Feld gespeichert ist), multipliziert mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit $c$:

$\frac{\mathrm{Impuls}\cdot {\mathrm{Geschwindigkeit}}^2}{\mathrm{Volumen}}$ SI-Einheit: $\frac{\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}}{{\mathrm{m}}^3}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}=\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}}$

Der Poynting-Vektor beschreibt drei der zehn unabhängigen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors des elektromagnetischen Feldes in der Relativitätstheorie.

Betrag des Poynting-Vektors

Der Betrag $\left|\overrightarrow{S}\right|$ des Poynting-Vektors $\overrightarrow{S}$ wird Leistungsdichte, Leistungsflussdichte oder Strahlungsdichte^[1] genannt und mit dem Formelzeichen S betitelt.

Hochfrequenz-Messgeräte für elektromagnetische Wellen (meist im MHz- oder GHz-Bereich), die in der Baubiologie und der EMV-Messtechnik ihre Anwendung finden, messen diesen Betrag von $\overrightarrow{S}$ oft in den Einheiten Mikrowatt pro Quadratmeter [µW/m²] oder Milliwatt pro Quadratzentimeter [mW/cm²].

Die nachfolgenden Betrachtungen gelten nur im sogenannten Fernfeld einer Hochfrequenz-Strahlungsquelle (Sendeantenne),^[2] denn nur im Fernfeld sind die Größen E, B und H ineinander umrechenbar. Ein Fernfeld liegt im Allgemeinen vor, wenn sich das HF-Messgerät möglichst weit (idealerweise unendlich weit) von der Sendeantenne/Strahlungsquelle befindet, mindestens aber das Vierfache der Wellenlänge $\lambda =\frac{c}{f}$. c ist hierin die Lichtgeschwindigkeit. Im Nahfeld sind die Größen E, H und B zwar mit Messgeräten, die geeignete Sensoren haben, einzeln messbar, können aber nicht ineinander umgerechnet werden.

Die Leistungsflussdichte ist im Fernfeld proportional zum Quadrat der genannten drei Größen E, H und B, die der Theorie nach fest miteinander verkoppelt sind:^[3] $Z_0=\frac{E}{H}$ mit $H=\frac{B}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r}$.

In der Gleichstromtechnik wird dazu die Formel zur Berechnung der Wirkleistung P (Gleichstromleistung)

1) $P=U\cdot I=\frac{U^2}{R}=I^2\cdot R$

durch Substitution der elektrischen Spannung U gegen die elektrische Feldstärke E umgeformt. Der elektrische Strom I wird gegen die magnetische Feldstärke H ausgetauscht, der (Gleichstrom-)Widerstand R wird durch den konstanten Wechselstrom-Wellenwiderstand des Vakuums $Z_0$ ausgetauscht^[4], der das Verhältnis von Spannung zu Strom $Z_0=\frac{U}{I}$ ^[5](genauer von elektrischer Feldstärke E zu magnetischer Feldstärke H:^[6] $Z_0=\frac{E}{H}$) im Feld der elektromagnetischen Welle abbildet. Man erhält nun:^[7]

2) $S=E\cdot H=\frac{E^2}{Z_0}=H^2\cdot Z_0$.

Alle drei Größen S, E und H sind hier Beträge ihrer Vektoren. Elektrische Größe (elektrische Feldstärke E) und magnetische Größe (entweder magnetische Feldstärke H oder magnetische Flussdichte B) einer elektromagnetischen Welle, z. B. in einer Transversalwelle, stehen ohnehin immer im 90°-Winkel aufeinander. Generell sind die magnetische Feldstärke und die magnetische Flussdichte in jedem Medium streng proportional zueinander, denn es gilt allgemein:^[8]

3) $H=\frac{B}{\mu }=\frac{B}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r}$ mit

$\mu ={\mu }_0\cdot {\mu }_r$.

Hierin sind:

• $\mu$ die absolute Permeabilität des Mediums in der Einheit Henry, gleichbedeutend Voltsekunde pro Amperemeter
• ${\mu }_0=\mathrm{1,256}\cdot {10}^{-6}$ die magnetische Feldkonstante, eine Naturkonstante in der gleichen Einheit wie die Permeabilität $\mu$
• ${\mu }_r$ die relative Permeabilitätszahl des Mediums, sie ist einheitslos. Sie beschreibt die magnetische Leitfähigkeit eines Stoffes, also dessen Fähigkeit, Magnetfelder als magnetischen Fluss $\mathrm{\Phi }$ bzw. magnetische Flussdichte B zu leiten. ${\mu }_r$ ist keine Konstante, sondern eine komplizierte Funktion der magnetischen Feldstärke und der Vorgeschichte (Vormagnetisierung) des Materials vor Veränderung der aktuellen magnetischen Feldstärke H.

Substituiert man die magnetische Feldstärke H durch die magnetische Flussdichte B und die absolute Permeabilität $\mu$ in Formel 2) mittels Formel 3) sowie $Z_0=\sqrt{\frac{{\mu }_0\cdot {\mu }_r}{{\epsilon }_0\cdot {\epsilon }_r}}$ und $c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\epsilon }_r\cdot {\mu }_0{\mu }_r}}$, erhält man zusätzlich folgende Terme dieser Gleichung:

4) $S=E\cdot H=\frac{E^2}{Z_0}=H^2\cdot Z_0=\frac{E\cdot B}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r}=\frac{B^2}{({\mu }_0\cdot {\mu }_r{)}^2}\cdot Z_0=\frac{B^2}{({\mu }_0\cdot {\mu }_r{)}^2}\cdot \sqrt{\frac{{\mu }_0\cdot {\mu }_r}{{\epsilon }_0\cdot {\epsilon }_r}}=\frac{c}{{\mu }_0\cdot {\mu }_r}\cdot B^2=\frac{c}{\mu }\cdot B^2$.

Für das Vakuum ist ${\mu }_r=1$, was praktisch auch für Luft unter Normalbedingungen (0 °C, 1013,25 hPa) gültig ist.^[9] Ferromagnetische Metalle oder Legierungen haben große bis sehr große Permeabilitätszahlen. Nichtmagnetische Metalle (z. B. Aluminium, Kupfer, Messing, Quecksilber) und Substanzen, also paramagnetische oder diamagnetische, haben fast immer relative Permeabilitätszahlen, die unwesentlich geringer als 1 sind.

Die Größen E, B, H und S sind in den genannten Gleichungen als Beträge der vektoriellen Größen eingesetzt. Magnetische und elektrische Komponente der elektromagnetischen Welle stehen senkrecht aufeinander.

Die Dielektrizitätszahl ${\epsilon }_{\mathrm{r}}$ von Luft unter Normalbedingungen beträgt etwa ${\epsilon }_{\mathrm{r}}\approx \mathrm{1,000}59$, ihre Permeabilitätszahl ${\mu }_{\mathrm{r}}$ ist nur geringfügig größer als 1. Der Wellenwiderstand der Atmosphäre ist mit ungefähr $376,62\mathrm{\Omega }$ gegenüber dem Wellenwiderstand des Vakuums um gut $0,1\mathrm{\Omega }$ reduziert.

Sinusquadrat-Leistungsflussdichte S(t)

Gleichung 4) gilt für sinusförmige Verläufe der Größen E, B und H, entweder für die aktuellen Zeitwerte dieser Größen (in der Elektrotechnik üblicherweise als Kleinschreibung der Formelzeichen), für deren quadratische Mittelwerte (Effektivwerte) oder für deren Spitzenwerte.

Wegen der Quadrierung einer der drei Größen muss der Betrag der Leistungsflussdichte S bei sinusförmigem Verlauf von E, H und B letztlich einer Sinusquadratfunktion entsprechen, wie sie auch bei der Wechselstrom-Wirkleistung eines Sinustromes oder einer Sinusspannung an konstantem Verbraucherwiderstand R auftritt. Daher sind im Falle sinusförmiger Verläufe Spitzenwert und Mittelwert der Leistungsflussdichte S um den Faktor 2 verschieden: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$ (Produkt zweier Scheitelfaktoren für Sinuskurven ist 2) und somit:

$\hat{S}=2\cdot S_{\mathrm{eff}}$.

Bei sinusförmigem Verlauf von E, H und B verläuft also S nach einer Sinusquadratfunktion, daher ist der Spitzenwert von S das Zweifache des Mittelwerts. Der Spitzenwert von E, H und B ist jedoch nur das $\sqrt{2}$-fache des quadratischen Mittelwerts dieser drei Größen. Außerdem zeigt der zeitliche Verlauf von S nur positive Werte, da die negativen Werte von E, H und B durch Quadrierung der Sinusfunktion als Sinusquadratkurve positiv werden. Dadurch hat die Sinusquadratfunktion der Leistungsflussdichte S bei sinusförmigem Verlauf von E, H und B jeweils die doppelte Frequenz der drei sinusförmigen Größen E, H und B. Es gibt also keine negativen Werte der Leistungsflussdichtenfunktion S(t), wie es auch keine negative Leistung gibt.^[10]

Da die mittlere Wirkleistung P einer Sinus-Wechselspannung an konstantem Lastwiderstand das Produkt der Effektivwerte von Spannung U und Strom I ist, gilt dies übertragen auch für die mittlere Leistungsflussdichte S, die aus dem Produkt der quadratischen Mittelwerte von elektrischer Feldstärke E und magnetischer Feldstärke H berechnet wird.

Beispiele

TEM-Wellen

Bei transversalelektromagnetischen Wellen (TEM-Wellen) ist die Leistungsdichte gegeben durch

$\left|\overrightarrow{S}\right|=\frac{{\left|\overrightarrow{E}\right|}^2}{Z_0}$

wobei $Z_0$ der Wellenwiderstand des Vakuums $(Z_0=\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\epsilon }_0}}={\mu }_0{c}_0\approx 376,73\mathrm{\Omega })$ ist.

In obigen Gleichungen sind die Feldgrößen zeitabhängig gemeint.

Für den zeitlichen Mittelwert $\overline{\left|\overrightarrow{S}\right|}$ der Leistungsdichte über eine Periodendauer $T$ gilt mit $E_{\text{eff}}=\frac{\hat{E}}{\sqrt{2}}$

mit

• dem Effektivwert $E_{\text{eff}}$
• der Amplitude $\hat{E}$ einer sinusförmigen elektrischen Feldstärke:

$\overline{\left|\overrightarrow{S}\right|}=\frac{E_{\text{eff}}^2}{Z_0}=\frac{{\hat{E}}^2}{2\cdot Z_0}$

Hinweis: bei sinusförmigem Verlauf von E verläuft S nach einer Sinusquadrat-Funktion, daher ist der Spitzenwert von S das Zweifache von dessen Mittelwert. Für E, das sinusförmig verläuft, ist dessen Spitzenwert aber nur das $\sqrt{2}$ = 1,414213562…-fache vom quadratischen Mittelwert (Effektivwert) von E.

In isotropen optischen Medien ist der Poynting-Vektor parallel zum Wellenvektor. In anisotropen optischen Medien, z. B. doppelbrechenden Kristallen, gilt dies im Allgemeinen nicht.

Energieausbreitung im Koaxialkabel

Feldlinienbild im Koaxialkabel bei der TEM-Grundmode

Der typische Betrieb eines Koaxialleiters erfolgt bei Wellenlängen, die größer sind als der Durchmesser des Koaxialleiters.^[11] In diesem Frequenzbereich, der sich typischerweise von 0 Hz bis in den einstelligen GHz-Bereich erstreckt, breitet sich die Energie in der Koaxialleitung als TEM-Grundmode aus. Das zugehörige Feldlinienbild sieht dann aus wie im nebenstehenden Bild.

Bei idealtypischer Betrachtung nimmt der Poyntingvektor ausschließlich im Bereich zwischen Außenleiter und Innenleiter einen von null verschiedenen Wert an; im metallischen Innenleiter verschwindet der Poyntingvektor, da die elektrische Feldstärke gleich null ist, außerhalb des Koaxialleiters verschwindet der Poyntingvektor, da hier der magnetische Feldvektor gleich null ist. Dies liegt wiederum daran, dass sich die Wirkungen der elektrischen Ströme in Innen- und Außenleiter gegenseitig aufheben.

Gemäß dem Satz von Poynting zeigt der Poyntingvektor die Ausbreitungsrichtung der elektrischen Leistung an. Wegen des Verschwindens der elektrischen Feldstärke im Metall zeigt der Poyntingvektor exakt in Längsrichtung des Koaxialleiters. Das bedeutet, die Energieausbreitung im Koaxialleiter findet ausschließlich im Dielektrikum statt. Da der Satz von Poynting ausgehend von den allgemeinen Feldgleichungen ohne Einschränkung auf den Frequenzbereich hergeleitet werden kann (vgl. Simonyi^[12]), gilt diese Aussage auch für die Übertragung von elektrischer Leistung mit Gleichspannungen und -strömen.

Auch das Verhalten eines widerstandsbehafteten Leiters lässt sich im Feldmodell erklären. Die folgende Darstellung erfolgt anhand des im Bild dargestellten Koaxialleiters: Hat der metallische Leiter einen von null verschiedenen endlichen Widerstand, so entsteht durch den Stromfluss im Leiter entsprechend dem ohmschen Gesetz ein elektrisches Feld. Dieses Feld zeigt im Innenleiter in Längsrichtung (x) des Leiters und ist im Mantelleiter in die entgegengesetzte Richtung (o) gerichtet. Die veränderte Feldverteilung bewirkt, dass auch das elektrische Feld im Dielektrikum eine Komponente in Längsrichtung erhält. Der zu E und H orthogonale Poyntingvektor S weist infolgedessen eine radiale Feldkomponente auf, die den Übergang der Verlustenergie ins Metall beschreibt.

Poyntingvektor bei statischen Feldern

Poyntingvektor in einem statischen Feld

Die Betrachtung des Poyntingvektors bei statischen Feldern zeigt die relativistische Natur der Maxwellgleichungen und ermöglicht ein besseres Verständnis der magnetischen Komponente $q\cdot (\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})$ der Lorentzkraft.

Zur Veranschaulichung wird das nebenstehende Bild betrachtet: es beschreibt den Poyntingvektor in einem Zylinderkondensator, der sich in einem H-Feld befindet, das von einem Permanentmagneten erzeugt wird. Obwohl nur statische elektrische und magnetische Felder vorliegen, ergibt die Berechnung des Poyntingvektors eine im Kreis fließende elektromagnetische Energie, der sich ein Drehimpuls zuordnen lässt. Er ist die Ursache für die bei der Entladung auftretende magnetische Komponente der Lorentzkraft. Während des Entladens wird der in der Energieströmung enthaltene Drehimpuls abgebaut und an die Ladungen des Entladestromes abgegeben. Das scheinbar sinnlose und paradoxe Ergebnis der kreisenden Energieströmung erweist sich also geradezu als notwendig, um dem Gesetz der Drehimpulserhaltung gerecht zu werden. (Andere statische Beispiele: s. Feynman^[13])

Siehe auch

• Bestrahlungsstärke

Einzelnachweise