Retardiertes Potential

Das retardierte Potential (deutsch: verzögertes Potential) ist die Bezeichnung für die mathematische Form des Potentials in der elektromagnetischen Feldtheorie oder anderen Feldtheorien, in denen sich Änderungen des Feldes mit endlicher Geschwindigkeit (Lichtgeschwindigkeit) und nicht instantan ausbreiten. Es tritt bei der Untersuchung zeitabhängiger Probleme auf, z. B. bei der Abstrahlung elektromagnetischer Wellen.

Dagegen werden in der Elektrostatik, der Magnetostatik und der Newtonschen Gravitationstheorie Zeitabhängigkeiten vernachlässigt.

Mathematische Formulierung

Mathematisch ist das Potential $ \,u(x,t) $ die Lösung der (aus den Maxwellgleichungen folgenden) inhomogenen Wellengleichung in drei Raumdimensionen

$ {\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\sum _{i=1}^{3}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}\right)={\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u=v(t,x_{1},x_{2},x_{3})\,. $

wobei auf der rechten Seite ein Quellenterm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,v(t,\mathbf x) steht. Die Lösung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u_{\text{retardiert}}(t,\mathbf x)= \frac{1}{4\pi}\int\!\mathrm d^3 y \, \frac{v\left(t - \frac{|\mathbf x - \mathbf y|}{c}, \mathbf y\right)}{|\mathbf x - \mathbf y|}

heißt retardiertes Potential. Sie hängt am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf x zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t nur von der Inhomogenität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v auf dem Rückwärtslichtkegel von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf x ab. Die Inhomogenität wirkt sich auf die Lösung verspätet (daher der Name) mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Die Lösung

$ u_{\text{avanciert}}(t,\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int \!\mathrm {d} ^{3}y\,{\frac {v\left(t+{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}{c}},\mathbf {y} \right)}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}} $

heißt entsprechend avanciertes Potential. Dies beschreibt z. B. eine Senke, die ein bestehendes Feld absorbiert.

Mit retardiertem und avanciertem Potential lassen sich somit Emission und Absorption von Feldern beschreiben.

Literatur

• Richard Courant und David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik Band 2. zweite Auflage, Springer Verlag, 1968

Weblinks

• Norbert Dragon, Stichworte und Ergänzungen zu Rechenmethoden der Physik (PDF; 1,9 MB), Kapitel 18