Rydberg-Konstante

Die Rydberg-Konstante $ R_{\infty } $ ist eine nach Johannes Rydberg benannte Naturkonstante. Sie tritt in der Rydberg-Formel auf, einer Näherungsformel zur Berechnung von Atomspektren. Ihr Wert ist die als Wellenzahl ausgedrückte Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms unter Vernachlässigung relativistischer Effekte und der Mitbewegung des Kerns (also bei unendlicher Kernmasse, daher der Index $ \infty $).

Der derzeit empfohlene Wert der Rydberg-Konstanten beträgt:^[1]

$ R_{\infty }=10\,973\,731{,}568\,160(21)\,\mathrm {m} ^{-1}. $

Die relative Standardunsicherheit beträgt 1,9 · 10⁻¹². Damit ist sie die am genauesten gemessene Naturkonstante überhaupt.

Zusammenhang mit anderen Naturkonstanten

Die Rydberg-Konstante ergibt sich aus der Feinstrukturkonstante α und der Compton-Wellenlänge λ_C,e eines Elektrons nach

$ R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}}{2}}\,{\frac {1}{\lambda _{\mathrm {C,e} }}}={\frac {\alpha ^{2}}{2}}\,{\frac {m_{\mathrm {e} }c}{h}}={\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8c\varepsilon _{0}^{2}h^{3}}}={\frac {\alpha }{4\pi a_{0}}} $

mit

• $ m_{\mathrm {e} } $ der Masse des Elektrons
• $ c $ der Lichtgeschwindigkeit
• $ h $ dem Planckschen Wirkungsquantum
• $ e $ der Elementarladung
• $ \varepsilon _{0} $ der elektrischen Feldkonstante
• $ a_{0} $ dem bohrschen Radius.

Rydberg-Frequenz und Rydberg-Energie

Die Rydberg-Konstante wird häufig auch als Frequenz oder als Energie angegeben. Die empfohlenen Werte betragen:^[2][3]

• Rydberg-Frequenz: $ R=c\,R_{\infty }=3{,}289\,841\,960\,2508(64)\cdot 10^{15}\,\mathrm {Hz} $
• Rydberg-Energie: $ R_{y}=h\,R=h\,c\,R_{\infty }=2{,}1798723611035(42)\cdot 10^{-18}\,\mathrm {J} =13{,}605\,693\,122\,994(26)\,\mathrm {eV} =1\,\mathrm {Ry} . $

Der konkrete Wert der Rydberg-Energie $ R_{y} $ wird ein Rydberg genannt; damit wird das Rydberg als Maßeinheit für Energien verwendbar.

Herleitung

Eine erste Herleitung der Rydberg-Konstante $ R_{\infty } $ konnte im Rahmen des Bohrschen Atommodells gegeben werden. Eine modernere Herleitung im Rahmen der Quantenmechanik findet sich im Wasserstoffproblem.

In beiden Fällen gelangt man zu einer Formel für die quantisierten Energieniveaus des Wasserstoffatoms von der Form:

$ E_{n}=-{\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}} $

Aus der Differenz zweier Energieniveaus

$ \Delta E=-{\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}\left({\frac {1}{n_{2}^{2}}}-{\frac {1}{n_{1}^{2}}}\right) $

lässt sich mit

$ \Delta {E}={\frac {hc}{\lambda }} $

die Wellenzahl des bei einem solchen Übergang emittierten oder absorbierten Lichtes bestimmen zu

$ {\frac {1}{\lambda }}={\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right). $

Der Vergleich mit der Rydberg-Formel zeigt, unter der Annahme eines unendlich schweren Wasserstoffkerns, dass die Rydberg-Konstante gegeben ist durch

$ R_{\infty }={\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}. $

Daraus ergibt sich auch, dass die Rydberg-Konstante die Wellenzahl (inverse Wellenlänge) eines Photons ist, dessen Energie der Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms entspricht.

Einzelnachweise