Schallgeschwindigkeit

Die Schallgeschwindigkeit $ c_{\text{S}} $ ist die Geschwindigkeit, mit der sich Schallwellen in einem Medium fortpflanzen. Ihre SI-Einheit ist Meter pro Sekunde (m/s).

Sie ist nicht zu verwechseln mit der Schallschnelle $ v $, d. h. der Momentangeschwindigkeit, mit der sich die einzelnen Teilchen des Mediums bewegen, um die zu der Schallwelle gehörige Deformation auf- und abzubauen.

Die Schallgeschwindigkeit ist allgemein abhängig vom Medium (insbesondere Elastizität und Dichte) und seiner Temperatur, in Fluiden zusätzlich vom Druck und in Festkörpern maßgeblich vom Wellentyp (Longitudinalwelle, Schubwelle, Rayleigh-Welle, Lamb-Welle etc.) und von der Frequenz. In anisotropen Medien ist sie zusätzlich noch richtungsabhängig. In Gasen oder Gasgemischen, z. B. in normaler Luft spielt nur die Temperaturabhängigkeit eine nennenswerte Rolle.

Die Schallgeschwindigkeit in trockener Luft von 20 °C beträgt 343,2 m/s (1236 km/h).^[1]

Für den Zusammenhang zwischen Schallgeschwindigkeit $ c $ und Frequenz $ f $ einer monochromatischen Schallwelle der Wellenlänge $ \lambda $ gilt wie für alle solchen Wellen:

$ c_{\text{S}}=\lambda \,f $

Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten und Gasen

In Flüssigkeiten und Gasen können sich nur Druck- bzw. Dichtewellen ausbreiten, bei denen sich die einzelnen Teilchen in Richtung der Wellenausbreitung hin und her bewegen (Longitudinalwelle). Die Schallgeschwindigkeit ist eine Funktion der Dichte $ \rho $ und des (adiabatischen) Kompressionsmoduls $ K $ und berechnet sich so:

$ c_{\,{\text{Flüssigkeit, Gas}}}={\sqrt {\frac {K}{\rho }}} $

Schallgeschwindigkeit in Festkörpern

Schallwellen in Festkörpern können sich sowohl als Longitudinalwelle (hierbei ist die Schwingungsrichtung der Teilchen parallel zur Ausbreitungsrichtung) oder als Transversalwelle (Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) ausbreiten.

Für Longitudinalwellen hängt im allgemeinen Fall die Schallgeschwindigkeit in Festkörpern von der Dichte $ \rho $, der Poissonzahl $ \nu $ und dem Elastizitätsmodul $ E $ des Festkörpers ab. Dabei gilt

$ c_{\text{Festkörper, longitudinal}}={\sqrt {\frac {E\,(1-\nu )}{\rho \,(1-\nu -2\nu ^{2})}}} $

$ c_{\text{Festkörper, transversal}}={\sqrt {\frac {E}{2\,\rho \,(1+\nu )}}}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}} $

mit dem Schubmodul $ G={\frac {E}{2\,(1+\nu )}} $.

Für eine Oberflächenwelle auf einem ausgedehnten Festkörper (Rayleigh-Welle) gilt:^[2]

$ c_{\text{Festkörper, Oberfläche}}\approx 0{,}922\cdot c_{\text{Festkörper, transversal}} $

Der Ausdruck $ M={\frac {E\,(1-\nu )}{(1-\nu -2\nu ^{2})}} $ wird auch als Longitudinalmodul bezeichnet, sodass für die Longitudinalwelle auch

$ c_{\text{Festkörper, longitudinal}}={\sqrt {\frac {M}{\rho }}} $

geschrieben werden kann.

Im Spezialfall eines langen Stabes, dessen Durchmesser deutlich kleiner als die Wellenlänge der Schallwelle ist, kann der Einfluss der Querkontraktion vernachlässigt werden (d. h. $ \nu =0 $), und man erhält:

$ c_{\text{langer Stab, longitudinal}}={\sqrt {\frac {E}{\rho }}} $

$ c_{\text{langer Stab, transversal}}={\sqrt {\frac {E}{2\rho }}} $

Das theoretische Limit für Schallgeschwindigkeit in Festkörpern beträgt

$ c_{S}^{\mathrm {max} }=c\cdot \alpha \cdot {\sqrt {\frac {m_{\mathrm {e} }}{2m_{\mathrm {p} }}}}=38\;\mathrm {km/s} \,, $

wobei m_e und m_p die Massen von Elektron und Neutron sind, c die Lichtgeschwindigkeit und α die Feinstrukturkonstante.^[3]

Schallgeschwindigkeit im idealen Gas

Klassisches ideales Gas

Da der Kompressionsmodul eines klassischen, idealen Gases $ K=\kappa \,p $ nur vom Adiabatenexponenten $ \kappa $ („kappa“) des Gases und dem herrschenden Druck $ p $ abhängt, ergibt sich für die Schallgeschwindigkeit:

$ c_{\text{Ideales Gas}}={\sqrt {\kappa \,{\frac {p}{\rho }}}}={\sqrt {\kappa \,{\frac {RT}{M}}}} $

Hier ist $ R $ die universelle Gaskonstante, $ M $ die molare Masse (Masse/Stoffmenge) des Gases, und $ T $ die absolute Temperatur. Für feste Werte $ M $ und $ \kappa $, also für ein gegebenes ideales Gas, hängt die Schallgeschwindigkeit nur von der Temperatur ab. Sie ist insbesondere weder vom Druck noch von der Dichte des Gases abhängig. Der Adiabatenexponent berechnet sich näherungsweise aus $ \kappa ={\tfrac {f+2}{f}} $, wobei $ f $ die Anzahl der Freiheitsgrade der Bewegung eines Teilchens (Atom oder Molekül) ist. Für einen Massepunkt gilt $ f=3 $, für eine starre Hantel mit zwei Massepunkten (Molekül mit zwei Atomen) $ f=5 $, für einen starren Körper mit mehr als zwei Massepunkten (stark gewinkeltes Molekül) $ f=6 $, für nicht starre Körper mit mehr als zwei Massepunkten (Molekül mit einer fehlenden starren Verbindung) $ f=7 $. Für komplexe Moleküle erhöht sich der Freiheitsgrad um jede fehlende starre Verbindung $ f>7 $. Ohne Berücksichtigung der Vibration aller mehratomigen Moleküle im höheren Temperaturbereich kann der Adiabatenexponent also nur folgende Werte annehmen:

• $ \kappa ={\tfrac {5}{3}}\approx 1{,}67 $ für einatomige Gase (z. B. alle Edelgase)
• $ \kappa ={\tfrac {7}{5}}=1{,}40 $ für zweiatomige Gase (z. B. Stickstoff N₂, Wasserstoff H₂, Sauerstoff O₂, Kohlenmonoxid CO)
• $ \kappa ={\tfrac {8}{6}}\approx 1{,}33 $ für starre Moleküle mit mehr als zwei Atomen (z. B. Wasserdampf H₂O, Schwefelwasserstoff H₂S, Methan CH₄)
• $ \kappa ={\tfrac {9}{7}}\approx 1{,}29 $ für Moleküle mit einer fehlenden starren Verbindung (z. B. Stickoxide NO₂ und N₂O, Kohlendioxid CO₂, Schwefeldioxid SO₂, Ammoniak NH₃)
• $ \kappa ={\tfrac {10}{8}}=1{,}25 $ für größere Moleküle mit fehlenden starren Verbindungen, (z. B. Ethan C₂H₆, Ethen C₂H₄, Methanol CH₃OH)

Für trockene Luft (mittlere Molmasse $ M=0{,}02896\,\mathrm {kg/mol} $, Normaltemperatur $ T=293{,}15\,\mathrm {K} $, $ \kappa =1{,}402 $) erhält man

$ c_{\text{Luft}}\,\approx \,{\sqrt {1{,}402\cdot {\frac {8{,}3145\,\mathrm {J\,mol^{-1}\,K^{-1}} \cdot 293{,}15\,\mathrm {K} }{0{,}02896\,\mathrm {kg\,mol^{-1}} }}}}=343{,}5\,\mathrm {\frac {m}{s}} $,

in guter Übereinstimmung mit dem in trockener Luft gemessenen Wert.

Die Schallgeschwindigkeit $ c_{\text{Ideales Gas}}={\sqrt {\kappa \,{\tfrac {RT}{M}}}} $ ist etwas kleiner als die mittlere Translationsgeschwindigkeit $ {\sqrt {\overline {v^{2}}}}={\sqrt {3\,{\tfrac {RT}{M}}}} $ der im Gas sich bewegenden Teilchen. Das steht im Einklang mit der anschaulichen Interpretation der Schallausbreitung in der kinetischen Gastheorie: Eine kleine lokale Abweichung des Druckes und der Dichte von ihren Durchschnittswerten wird von den durcheinanderfliegenden Teilchen in die Umgebung getragen.

Der Faktor $ \kappa $ kommt aus der adiabatischen Zustandsgleichung, die Prozesse beschreibt, bei denen die Temperatur nicht konstant bleibt, obwohl keine Wärme ausgetauscht wird. Schallwellen bestehen aus periodischen Schwankungen von Dichte und Druck, die so rasch ablaufen, dass währenddessen Wärme nennenswert weder zu- noch abfließen kann. Wegen der damit verbundenen Temperaturschwankungen gilt die obige Formel für $ c_{\text{Luft}} $ nur im Grenzfall kleiner Amplituden, wobei für $ T $ die Durchschnittstemperatur einzusetzen ist. Tatsächlich machen sich bei großen Amplituden, z. B. nach einer Detonation, nichtlineare Effekte dadurch bemerkbar, dass die Wellenberge – Wellenfronten mit maximaler Dichte – schneller laufen als die Wellentäler, was zu steileren Wellenformen und zur Ausbildung von Stoßwellen führt.

Quanteneffekte

Da die Schallgeschwindigkeit einerseits mit dem Kundtschen Rohr schon früh verhältnismäßig leicht präzise zu messen war und andererseits direkt mit einer atomphysikalischen Größe, der Anzahl der Freiheitsgrade, verknüpft ist, führte sie zur frühen Entdeckung wichtiger Effekte, die erst mit der Quantenmechanik erklärt werden konnten.

Atome als Massepunkte

Das erste mit chemischen Methoden als einatomig identifizierte Gas – Quecksilberdampf bei hoher Temperatur – zeigte 1875 auch zum ersten Mal den Wert $ \kappa =1{,}667 $, also $ f=3 $. Dieser Wert ist nach der kinetischen Gastheorie einem Gas aus idealen Massepunkten vorbehalten. Ab 1895 kamen gleiche Befunde an den neu entdeckten Edelgasen Argon, Neon etc. hinzu. Das stützte einerseits die damalige Atomhypothese, nach der alle Materie aus winzigen Kügelchen aufgebaut ist, warf aber andererseits die Frage auf, warum diese Kugeln nicht wie jeder starre Körper drei weitere Freiheitsgrade für Drehbewegungen besitzen. Die Ende der 1920er Jahre gefundene quantenmechanische Erklärung besagt, dass für Drehbewegungen angeregte Energieniveaus besetzt werden müssen, deren Energie so hoch liegt, dass die kinetische Energie der stoßenden Gasteilchen bei weitem nicht ausreicht.^{[4]:S. 8} Das gilt auch für die Rotation eines zweiatomigen Moleküls um die Verbindungslinie der Atome und erklärt somit, warum es hier für die Rotation nicht drei, sondern nur zwei Freiheitsgrade gibt.

Einfrieren der Drehbewegung

Eine markante Temperaturabhängigkeit des Adiabatenkoeffizienten wurde 1912 bei Wasserstoff entdeckt: Bei Abkühlung von 300 K auf 100 K steigt $ \kappa $ monoton von $ 1{,}400 $ auf $ 1{,}667 $, d. h. vom Wert für eine Hantel zum Wert für einen Massepunkt. Man sagt, die Rotation „friert ein“, bei 100 K verhält sich das ganze Molekül wie ein Massepunkt. Die quantenmechanische Begründung schließt an die obige Erklärung für Einzelatome an: Bei 100 K reicht die Stoßenergie der Gasmoleküle praktisch nie zur Anregung eines Energieniveaus mit höherem Drehimpuls, bei 300 K praktisch immer.^{[4]:S. 272} Der Effekt ist bei anderen Gasen so deutlich nicht beobachtbar, weil sie in dem jeweils betreffenden Temperaturbereich bereits verflüssigt sind. Jedoch wird auf diese Weise erklärt, warum die gemessenen Adiabatenkoeffizienten realer Gase von der einfachen Formel $ \kappa ={\tfrac {f+2}{f}} $ meist etwas abweichen.

Schallgeschwindigkeit im realen Gas / Phänomene in der Luftatmosphäre

Die für das ideale Gas entwickelten Vorstellungen und Formeln gelten in sehr guter Näherung auch für die meisten realen Gase. Insbesondere variiert deren Adiabatenexponent $ \kappa =c_{\mathrm {p} }/c_{\mathrm {V} } $ über weite Bereiche weder mit der Temperatur noch mit dem Druck. Für die Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit in Luft im Bereich normaler Umwelttemperaturen wird oft die lineare Näherungsformel

$ c_{\mathrm {Luft} }\approx (331{,}5+0{,}6\,\vartheta /{}^{\circ }\mathrm {C} ){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }} $

benutzt. Diese Näherung gilt im Temperaturbereich −20 °C < $ \vartheta $ < +40 °C mit einer Genauigkeit von mehr als 99,8 %. Die absolute Temperatur wurde hier nach $ \vartheta /{}^{\circ }\mathrm {C} =T/\mathrm {K} -273{,}15 $ in °C umgerechnet.

Neben der Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit in Luft ist der Einfluss der Luftfeuchtigkeit zu berücksichtigen. Diese lässt die Schallgeschwindigkeit geringfügig zunehmen, denn die mittlere molare Masse $ M $ feuchter Luft nimmt durch die Beimischung der leichteren Wassermoleküle stärker ab als der mittlere Adiabatenkoeffizient $ \kappa $. Beispielsweise ist bei 20 °C die Schallgeschwindigkeit bei 100 % Luftfeuchtigkeit um 0,375 % höher als bei 0 % Luftfeuchtigkeit. Die gleiche Erhöhung der Schallgeschwindigkeit gegenüber trockener Luft würde sich durch eine Temperaturerhöhung auf gut 22 °C ergeben.^[5][6]

In der normalen Atmosphäre nimmt die Schallgeschwindigkeit daher mit der Höhe ab. Sie erreicht ein Minimum von etwa 295 m/s (1062 km/h) in der Tropopause (ca. 11 km Höhe). Andererseits nimmt die Schallgeschwindigkeit bei einer Inversionswetterlage mit der Höhe zu, da dann eine wärmere Luftschicht über einer kälteren liegt. Oft geschieht dies am Abend nach einem warmen Sonnentag, weil sich der Boden schneller abkühlt als die höheren Luftschichten. Dann schreiten die Wellen in der Höhe schneller voran als unten, sodass eine Wellenfront, die von einer bodennahen Schallquelle schräg aufwärts strebt, wieder nach unten gelenkt wird (siehe Schallausbreitung). Man sagt, die Schallstrahlen werden zum Boden hin gekrümmt. An Sommerabenden kann man das oft an der größeren Reichweite der Schallausbreitung bemerken.

Ähnlich lautet die Begründung dafür, dass man mit dem Wind besser hört als gegen den Wind. Obwohl die Bewegung des Mediums Luft keinen Einfluss auf die Schallausbreitung als solches haben sollte, da die Windgeschwindigkeit immer klein gegen die Schallgeschwindigkeit ist, verbessert sich die Reichweite des Schalls. Der Wind hat fast immer ein Geschwindigkeitsprofil mit nach oben zunehmender Geschwindigkeit, was, wie oben beschrieben, zur Ablenkung der Schallausbreitung führt, und zwar einer Ablenkung nach oben bei Gegenwind und nach unten bei Mitwind.

Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien

In den folgenden Tabellen sind einige Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien aufgelistet. Angegeben ist für alle Materialien die Schallgeschwindigkeit für die Druckwelle (Longitudinal-Welle), in Festkörpern breiten sich auch Scherwellen (Transversal-Wellen) aus.

In Gasen

Soweit nicht anders vermerkt, gelten die Werte für Standardbedingungen (Temperatur von 20 °C, Druck von einer physikalischen Atmosphäre).

In Flüssigkeiten

Soweit nicht anders vermerkt, gelten die Werte für eine Temperatur von 20 °C.

In Festkörpern

Soweit nicht anders vermerkt, gelten die Werte für eine Temperatur von 20 °C.

Unter extremen Bedingungen

Temperaturabhängigkeit

Frequenzabhängigkeit

In einem dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit von der Frequenz abhängig. Die räumliche und zeitliche Verteilung einer Fortpflanzungsstörung ändert sich ständig. Jede Frequenzkomponente pflanzt sich jeweils mit ihrer eigenen Phasengeschwindigkeit fort, während die Energie der Störung sich mit der Gruppengeschwindigkeit fortpflanzt. Gummi ist ein Beispiel für ein dispersives Medium: Bei höherer Frequenz ist es steifer, hat also eine höhere Schallgeschwindigkeit.

In einem nicht-dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit unabhängig von der Frequenz. Daher sind die Geschwindigkeiten des Energietransports und der Schallausbreitung dieselben. Wasser und trockene Luft sind im für Menschen hörbaren Frequenzbereich nicht-dispersive Medien. Bei hoher Luftfeuchte und im nahen Ultraschallbereich (100 kHz) ist Luft dispersiv.^[19]

Schallgeschwindigkeit und Thermodynamik

Die Schallgeschwindigkeit spielt eine besondere Rolle in der Thermodynamik, insbesondere bei Druckentlastungseinrichtungen, wo sie die maximal erreichbare Geschwindigkeit definiert. Dadurch, dass sie mit extremer Genauigkeit gemessen werden kann, spielt sie eine große Rolle bei der Aufstellung hochgenauer Zustandsgleichungen und bei der indirekten Messung der Wärmekapazität eines idealen Gases. Die allgemeine Gleichung zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit ist^[20]

$ c^{2}=-v^{2}\left({\frac {\partial p}{\partial v}}\right)_{\!\!s} $

mit $ v $ als dem spez. Volumen, dem Kehrwert der Dichte (v = 1/ρ). Der Index s beim Differentialquotienten bedeutet "bei konstanter spezifischer Entropie" (isentrop). Für das ideale Gas ergibt sich daraus wie oben angeführt

$ c_{id}={\sqrt {\kappa RT}} $

mit

$ \kappa ={\frac {c_{p}^{id}}{c_{v}^{id}}} $

als dem Verhältnis der isobaren und der isochoren spez. Wärmekapazitäten und R als der speziellen Gaskonstante (massebezogen). Die gebräuchlichen thermischen Zustandsgleichungen haben die Form $ p=f(T,v) $. Es folgt nach einigen Umformungen^[20]

$ c^{2}=v^{2}\left[{\frac {T}{c_{v}}}\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{v}^{2}-\left({\frac {\partial p}{\partial v}}\right)_{T}\right] $

mit der realen spez. isochoren Wärmekapazität

$ c_{v}=c_{v}^{id}+T\int _{\infty }^{v}\left({\frac {\partial ^{2}p}{\partial T^{2}}}\right)_{v}dv $

Bild 1: Schallgeschwindigkeit von Ethylen bei 100 °C als Funktion des Druckes

Bild 2: Massenstromdichte eines Gasstroms als Funktion des Austrittsdruckes

Bild 3: Form einer Lavaldüse

Bild 4: Lavaldüsen am Triebwerksmodell der Saturn-V-Rakete in Cape Canaveral

Mit diesen Beziehungen kann man bei Kenntnis einer thermischen Zustandsgleichung den Druckeinfluss auf die Schallgeschwindigkeit berücksichtigen. Bild 1 zeigt die Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit vom Druck bei Ethylen für eine Temperatur von 100 °C.

Die Schallgeschwindigkeit hat besonders durch ihre leichte experimentelle Zugänglichkeit Bedeutung erlangt. Die direkt kaum messbare spezifische Wärmekapazität idealer Gase ist mit der Schallgeschwindigkeit des idealen Gases verknüpft^[20]:

$ c_{p}^{id}={\frac {Rc^{2}}{c^{2}-RT}} $

Ebenso kann die Gaskonstante mit Schallgeschwindigkeitsmessungen sehr genau ermittelt werden. Für einatomige Edelgase (He, Ne, Ar) ist $ c_{p}^{id}=2{,}5R $, unabhängig von der Temperatur. Dann folgt^[20]

$ R={\frac {3}{5}}{\frac {c^{2}}{T}} $

Da $ c $ und $ T $ sehr exakt gemessen werden können, ist dies eine extrem genaue Methode, die Gaskonstante zu bestimmen. Die Schallgeschwindigkeit ist maßgeblich bei der Druckentlastung von Gasen über ein Ventil oder eine Blende. Abhängig vom Zustand in dem zu entlastenden Behälter gibt es eine maximale Massenstromdichte (choked flow) im engsten Querschnitt des Ventils, die nicht überschritten werden kann, auch wenn der Druck jenseits des Ventils noch weiter abgesenkt wird (Bild 2). Im engsten Querschnitt stellt sich dann die Schallgeschwindigkeit des Gases ein. Bei idealen Gasen ist dies näherungsweise dann der Fall, wenn der Austrittsdruck kleiner ist als die Hälfte des Behälterdrucks. Die max. Massenstromdichte gilt auch dann, wenn ein Gas durch ein Rohr mit konstantem Querschnitt strömt. Die Schallgeschwindigkeit kann dann nicht überschritten werden, was ebenfalls von erheblicher sicherheitstechnischer Bedeutung für die Auslegung von Druckentlastungseinrichtungen ist. Für eine Beschleunigung eines Gases über die Schallgeschwindigkeit hinaus benötigt man speziell geformte Strömungskanäle, die sich nach einem engsten Querschnitt definiert erweitern, sog. Lavaldüsen (Bild 3). Ein Beispiel dafür sind die Austrittsdüsen von Raketentriebwerken (Bild 4).

Sonstiges

In der Luftfahrt wird die Geschwindigkeit eines Flugzeugs auch relativ zur Schallgeschwindigkeit gemessen. Dabei wird die Einheit Mach (benannt nach Ernst Mach) verwendet, wobei Mach 1 gleich der jeweiligen Schallgeschwindigkeit ist. Abweichend von anderen Maßeinheiten wird bei der Messung der Geschwindigkeit in Mach die Einheit vor die Zahl gesetzt.

Die Entfernung eines Blitzes und damit eines Gewitters lässt sich durch Zählen der Sekunden zwischen dem Aufleuchten des Blitzes und dem Donnern abschätzen. Der Schall legt in der Luft einen Kilometer in etwa drei Sekunden zurück, der Lichtblitz dagegen in vernachlässigbar kurzen drei Mikrosekunden. Teilt man die Anzahl der gezählten Sekunden durch drei, ergibt sich daher in etwa die Entfernung des Blitzes in Kilometern.

Siehe auch

• Schallausbreitung
• Schallkennimpedanz
• Überschallgeschwindigkeit
• Überschallflug
• Schall

Weblinks

Wiktionary: Schallgeschwindigkeit – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Versuch A6: Schallgeschwindigkeit in Gasen und Festkörpern. (PDF; 169 kB).
• Die Schallgeschwindigkeit, die Temperatur … und nicht der Luftdruck. (PDF; 32 kB).
• Berechnen der Schallgeschwindigkeit in Luft und die wirksame Temperatur.

Einzelnachweise