Schoenflies-Symbolik

Die Schoenflies-Symbolik ist ein System von Symbolen (eine Symbolik), das zur Beschreibung von Symmetrieelementen und Symmetriegruppen verwendet wird. Die nach dem deutschen Mathematiker Arthur Moritz Schoenflies^[1] benannte Symbolik ist neben der Hermann-Mauguin-Symbolik eine der allgemein verwendeten internationalen Konventionen zur Beschreibung der 32 kristallographischen Punktgruppen und 230 kristallographischen Raumgruppen.^[2] Heutzutage wird die Schoenflies-Symbolik jedoch vorwiegend zur Beschreibung von Molekül-Symmetrien verwendet. Typische Anwendungsbereiche finden sich daher vor allem im Bereich der Molekülspektroskopie bzw. Molekülphysik.

Symbole der Symmetrieelemente

Die Beschreibung von Symmetrieelementen erfolgt über folgenden Symbole:

• Rotation: C_N beschreibt eine Drehachse,
• Spiegelung: σ bezeichnet eine Spiegelebene,
• Inversion: i beschreibt ein Inversionszentrum,
• Drehinversion: S’_N (findet keine Anwendung)^[3]
• Drehspiegelung: S_N bezeichnet eine Drehachse mit anschließender Spiegelung. Sie beschreibt den gleichen Sachverhalt wie eine Inversion, wobei beide unterschiedliche Zähligkeiten aufweisen können. Anders als bei der Hermann-Mauguin-Symbolik gibt man in der Schoenflies-Symbolik immer die Drehspiegelachse und nicht die Inversionsachse an.^[3]

Die Symbole C und S werden hierbei in der Regel mit einem nummerischen Index N bezeichnet, der die Ordnung der möglichen Rotationen angibt.

Vereinbarungsgemäß ist die Achse der Rotation größter Ordnung als Hauptachse definiert und alle anderen Symmetrieelemente sind in Bezug auf sie beschrieben; die Hauptachse wird dabei als „vertikal“ definiert. Dementsprechend werden vertikale Spiegelebenen (die Hauptachse enthaltend) mit σ_v und horizontale Spiegelebenen (senkrecht zur Hauptachse) mit σ_h bezeichnet.

Symmetrieoperationen und -elemente werden mit den gleichen Symbolen bezeichnet.^[4]

Symbole der Punktgruppen und Raumgruppen

In den drei Raumdimensionen ergeben sich 32 mögliche kristallographische Punktgruppen. Sie werden gemäß Schoenflies in folgende Untergruppen eingeordnet:

• Drehgruppen: C
• Drehspiegelgruppen: S
• Diedergruppen: D
• Tetraedergruppen: T
• Oktaedergruppen: O
• Ikosaedergruppen: I
• Kugelgruppen: K

Zur Beschreibung der Symmetrie werden die Symbole der Punktgruppen mit einem zusätzlichen tiefgestellten Index versehen:

• horizontale Spiegelebene: h
• vertikale Symmetrieebene: v
• diagonale Symmetrieebene: d (nur bei gleichzeitigem Auftreten von zweizähligen horizontalen Symmetrieachsen, die nicht auf den Spiegelebenen liegen)
• Inversionszentrum: i
• Spiegelebene: s

Weiterhin wird je nach Bedarf die Zähligkeit der Achse oder ein Symbol für andere Symmetrieelemente in einem tiefgestellten Index angegeben, z. B. D_2h für eine orthorhombische Kristallstruktur, wobei das h eine Spiegelebene senkrecht zur n-zähligen Achse (horizontale Spiegelebene) bezeichnet.^[5]

Symbole der Raumgruppen

Mit der Schoenflies-Symbolik ist auch die Beschreibung von Raumgruppen möglich. Dazu wird einem Punktgruppensymbol ein hochgestellter numerischer Index beigefügt. Die Raumgruppen werden dabei durchnummeriert: z. B. $ D_{2h}^{1} $, $ D_{2h}^{2} $, $ D_{2h}^{3} $ usw. Die Symbolik findet jedoch nur selten Anwendung, da sie die vorhandenen Symmetrieelemente nicht erkennen lässt.

Bei der Beschreibung einer Faktorgruppe wird der hochgestellte Index in der Regel nicht mitangegeben. Analog dazu wird bei der Hermann-Mauguin-Symbolik das Symbol $ P $ (bzw. $ C $, $ F $, $ I $ usw.) weggelassen.

Literatur

• Ulrich Müller: Anorganische Strukturchemie. Vieweg + Teubner, 2008, ISBN 978-3-8348-0626-0, S. 26–38 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
• Erhard Scholz: Symmetrie, Gruppe, Dualität. Zur Beziehung zwischen theoretischer Mathematik und Anwendungen in Kristallographie und Baustatik des 19. Jahrhunderts. Birkhäuser, 1989, ISBN 978-3-7643-1974-8, S. 120–148 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche – Kurzbeschreibung von historischen Umständen zur Entstehung der Symbolik; des Weiteren umfasst das Werk eine größere Diskussion der Symbolik). 

Einzelnachweise