Skalarfeld
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In der mehrdimensionalen Analysis, der Vektorrechnung und der Differentialgeometrie ist ein skalares Feld (kurz Skalarfeld) eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes eine reelle Zahl (Skalar) zuordnet, z. B. eine Temperatur.[1]
Skalarfelder sind von großer Bedeutung in der Feldbeschreibung der Physik[2] und in der mehrdimensionalen Vektoranalysis.[3]
Definition
Ein Skalarfeld $ \varphi $ bildet jeden Punkt $ p $ einer Mannigfaltigkeit $ M $ auf einen Skalar $ \varphi (p) $ ab.
Man unterscheidet dabei zwischen reellwertigen Skalarfeldern
- $ \varphi \colon M\to \mathbb {R} $
und komplexwertigen Skalarfeldern
- $ \varphi \colon M\to \mathbb {C} $.
Man spricht von einem stationären Skalarfeld, wenn die Funktionswerte nur vom Ort abhängen. Hängen sie auch von der Zeit ab, handelt es sich um ein instationäres Skalarfeld.[4]
Beispiele
Beispiele für Skalarfelder in der Physik sind der Luftdruck, die Temperatur, Dichte oder allgemein Potentiale (auch als Skalarpotentiale bezeichnet).[2][5]
Operationen
Wichtige Operationen im Zusammenhang mit Skalarfeldern sind:[4]
- Gradient eines Skalarfeldes, der ein Vektorfeld ist.
- Richtungsableitung eines Skalarfeldes.
Einordnung
Im Gegensatz zum Skalarfeld ordnet ein Vektorfeld jedem Punkt einen Vektor zu. Ein Skalarfeld ist das einfachste Tensorfeld.[4]
Einzelnachweise
- ↑ Ziya Şanal: Mathematik für Ingenieure: Grundlagen – Anwendungen in Maple. Springer, 2015, ISBN 978-3-658-10642-3, S. 550.
- ↑ 2,0 2,1 Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf: Theoretische Physik. Springer, 2014, ISBN 978-3-642-54618-1, S. 31, 35, 274.
- ↑ Paul C. Matthews: Vector Calculus (= Springer Undergraduate Mathematics Series). Springer, 2000, ISBN 978-3-540-76180-8, 1.6 Scalar fields and vector fields.
- ↑ 4,0 4,1 4,2 Hans Karl Iben: Tensorrechnung – Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte. Springer, 2013, ISBN 978-3-322-84792-8, 4.2 Gradient, Divergenz und Rotation von Tensorfeldern.
- ↑ Josef Betten: Elementare Tensorrechnung für Ingenieure: Mit zahlreichen Übungsaufgaben und vollständig ausgearbeiteten Lösungen. Springer, 2013, ISBN 978-3-663-14139-6, S. 112.