Spannungsfunktion

Spannungsfunktionen sind ein Ansatz für die analytische Lösung von Randwertaufgaben der linearen Elastostatik.

Die lokale Impulsbilanz ist in der Statik eine Gleichung, in der nur die Spannungen und die Schwerkraft vorkommen. Indem die Spannungen durch Spannungsfunktionen ausgedrückt werden, die die Impulsbilanz automatisch einhalten, reduziert sich die Lösung eines Randwertproblems auf das Auffinden von Spannungsfunktionen, die die vorliegenden Randbedingungen und die Kompatibilitätsbedingungen erfüllen. Die Kompatibilitätsbedingungen stellen sicher, dass sich aus den Spannungen ein Verschiebungsfeld ableiten lässt. Eine analytische Lösung existiert oftmals nur bei geometrischer Linearität (kleinen Verformungen) und bei Annahme von linearer Elastizität.

Diese Voraussetzungen – Statik, kleine Verformungen und lineare Elastizität – sind in vielen Anwendungen gegeben, vor allem im technischen Bereich.

Geschichte

Chronologische Abfolge bei der Entwicklung der Spannungsfunktionen

Die Geschichte der Spannungsfunktionen ist eng mit der Geschichte der Formulierung der Kompatibilitätsbedingungen in der linearen isotropen Elastizität verbunden. Gustav Robert Kirchhoff leitete 1859 drei der sechs Kompatibilitätsbedingungen für die Verzerrungen (KBV) her und zeigte, wie aus den Verzerrungen die Verschiebungen berechnet werden können. Der Lösungsansatz mit Spannungsfunktionen wurde dann vier Jahre später von George Biddell Airy 1863 ersonnen. Mit der heute nach ihm benannten Airy’schen Spannungsfunktion können Randwertaufgaben in der Ebene gelöst werden. Alle sechs KBV wurden erstmals von Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant 1864 vorgelegt, der aber nicht gezeigt hat, dass sie auch hinreichend sind^[1]. Von James Clerk Maxwell und Giacinto Morera wurden um 1870 bzw. 1892 Spannungsfunktionen für Probleme in drei Dimensionen gefunden. Zwischenzeitlich konnte Eugenio Beltrami 1886 nachweisen, dass die KBV von St. Venant tatsächlich auch hinreichend sind. Die Kompatibilitätsbedingungen für die Spannungen (KBS) bei isotroper Elastizität in Abwesenheit einer Schwerkraft fand Beltrami 1892 und Luigi Donati formulierte den allgemeineren Fall inklusive Schwerkraft 1894^[2]. Trotzdem wird diese allgemeinere Gleichung als Beltrami-Michell Gleichung bezeichnet (zusätzlich nach John Henry Michell). Beltrami erkannte 1892, dass die bis dahin vorliegenden Spannungsfunktionen von Airy, Maxwell und Morera Spezialfälle eines allgemeineren Ansatzes sind^[3]. Allerdings kann Beltramis Lösung kein Schwerefeld berücksichtigen. Hermann Schaefer hat 1953 Beltramis Ansatz auf Probleme mit Schwerefeld erweitert^[4]. Die KBS für transversal isotrope lineare Elastizität formulierte Grigore Moisil 1952.

In Kürze

Die Kompatibilitätsbedingungen für die Verzerrungen lauten

$ {\mathfrak {R}}({\boldsymbol {\varepsilon }}):=\sum _{i,j,k,l=1}^{3}\varepsilon _{ij,kl}({\hat {e}}_{l}\times {\hat {e}}_{j})\otimes ({\hat {e}}_{k}\times {\hat {e}}_{i})=\mathbf {0} \,. $

Die Vektoren $ {\hat {e}}_{1,2,3} $ bilden die zu den kartesischen Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_{1,2,3} gehörende Standardbasis, „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \otimes “ ist das dyadische- und „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \times “ das Kreuzprodukt, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{ij} sind die Komponenten des linearisierten Verzerrungstensors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol\varepsilon und ein Index nach einem Komma bezeichnet die Ableitung nach der entsprechenden Koordinate:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\cdot)_{,k} = \frac{\partial}{\partial x_k}\,.

Der Differenzialoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathfrak{R} liefert bei symmetrischen Argumenten divergenzfreie, symmetrische Tensoren, zu denen auch die Spannungstensoren in der Statik in Abwesenheit einer Schwerkraft gehören. So lassen sich mit diesem Differenzialoperator in einfacher Weise die Impulsbilanzen erfüllende Spannungstensoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\sigma} finden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A}=\mathbf{A}^\top \;\rightarrow\quad \boldsymbol{\sigma}=\mathfrak{R}(\mathbf{A})=\boldsymbol{\sigma}^\top \;\wedge\; \operatorname{div}(\boldsymbol{\sigma}) = \vec{0}\,.

Die Komponenten des dabei verwendeten, symmetrischen Arguments Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} sind Beltramis Spannungsfunktionen. Im Fall der linearen isotropen Elastizität kann die obige Kompatibilitätsbedingung für die Verzerrungen in den Spannungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma_{ij} ausgedrückt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sum_{k=1}^3 \left(\sigma_{ij,kk} + \frac{1}{1+\nu} \sigma_{kk,ij}\right) = 0\;,\quad i,j = 1,2,3

Diese Gleichung ist als Beltrami-Michell Gleichung bekannt. Der Materialparameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nu ist die Querkontraktionszahl.

Die Lösung einer Randwertaufgabe ist nun darauf zurückgeführt, Spannungsfunktionen zu finden, die Spannungen ergeben, die die geforderten Randbedingungen und die Kompatibilitätsbedingungen einhalten.

Die von Airy, Maxwell und Morea gefundenen Spannungsfunktionen passen sich hier als Spezialfälle ein:

Definition

Die lokale Impuls- und Drehimpulsbilanz lauten in Abwesenheit einer Schwerkraft:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}(\boldsymbol{\sigma}) = \mathbf{0}\,,\quad \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^\top\,.

Der Differenzialoperator „div“ gibt die Divergenz des Spannungstensors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\sigma} , der aufgrund der Drehimpulsbilanz mit seiner transponierten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\sigma}^\top identisch ist. Der Spannungstensor ist also aufgrund der Drehimpulsbilanz symmetrisch.

Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} ein Tensorfeld und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathfrak{D} ein Differenzialoperator für symmetrische Argumente ist, dann ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\sigma}=\mathfrak{D}(\mathbf{A})

eine Lösung der Bilanzgleichungen, wenn

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}(\mathfrak{D}(\mathbf{A}))=\mathbf{0} \,,\quad \mathfrak{D}(\mathbf{A}) = \mathfrak{D}(\mathbf{A})^\top

ist. Ein Feld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} mit diesen Eigenschaften heißt Spannungsfunktion.

Beltramis Spannungsfunktionen

Gegeben sei der Differenzialoperator^[5]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathfrak{R}(\mathbf{A}) :=\operatorname{rot(rot}(\mathbf{A})^\top) := -\hat{e}_l\times\mathbf{A}_{,kl}^\top\times\hat{e}_k = A_{ij,kl} (\hat{e}_l\times\hat{e}_j)\otimes(\hat{e}_k\times\hat{e}_i)\,.

Angewendet auf einen beliebigen, symmetrischen Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} zeigt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \mathfrak{R}(\mathbf{A})^\top &=& A_{ij,kl} (\hat{e}_k\times\hat{e}_i\otimes\hat{e}_l\times\hat{e}_j) \stackrel{\begin{array}{c}\scriptscriptstyle i\leftrightharpoons j \\[-1ex] \scriptscriptstyle k\leftrightharpoons l \end{array}}{=} A_{ji,lk} (\hat{e}_l\times\hat{e}_j\otimes\hat{e}_k\times\hat{e}_i) \\ &=& A_{ij,kl} (\hat{e}_l\times\hat{e}_j\otimes\hat{e}_k\times\hat{e}_i) = \mathfrak{R}(\mathbf{A}) \\ \operatorname{div}(\mathfrak{R}(\mathbf{A})) &=& \hat{e}_m\cdot A_{ij,klm} (\hat{e}_l\times\hat{e}_j\otimes\hat{e}_k\times\hat{e}_i) = \hat{e}_j\cdot(\hat{e}_m\times\hat{e}_l) A_{ij,klm} \hat{e}_k\times\hat{e}_i = \vec{0} \end{array}

weil Komponenten mit vertauschten Indizes l und m gleich groß sind aber umgekehrtes Vorzeichen besitzen und im Fall l=m verschwinden. Der Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} ist also eine Spannungsfunktion. In der Statik in Abwesenheit einer Schwerkraft liefert also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rclcl} \boldsymbol{\sigma} &=& \mathfrak{R}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12}& \sigma_{13} \\ & \sigma_{22}& \sigma_{23} \\ \textsf{sym} & & \sigma_{33} \end{pmatrix} \\ \sigma_{11} &=& A_{33,22} + A_{22,33} - 2 A_{23,23} \\ \sigma_{22} &=& A_{33,11} + A_{11,33} - 2 A_{13,13} \\ \sigma_{33} &=& A_{22,11} + A_{11,22} - 2 A_{12,12} \\ \sigma_{12} &=& -A_{12,33} + A_{23,13} + A_{13,23} - A_{33,12} &=& (-A_{12,3} + A_{23,1} + A_{13,2})_{,3} - A_{33,12} \\ \sigma_{13} &=& +A_{12,23} + A_{23,12} - A_{13,22} - A_{22,13} &=& (+A_{12,3} + A_{23,1} - A_{13,2})_{,2} - A_{22,13} \\ \sigma_{23} &=& +A_{12,13} - A_{23,11} + A_{13,12} - A_{11,23} &=& (+A_{12,3} - A_{23,1} + A_{13,2})_{,1} - A_{11,23} \end{array}

einen zulässigen Spannungszustand, denn es ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}(\boldsymbol{\sigma}) = \vec{0} . Der Spannungstensor muss aber noch die Kompatibilitätsbedingungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta\boldsymbol{\sigma} + \frac{1}{1+\nu}\operatorname{grad(grad(Sp}(\boldsymbol{\sigma}))) = \mathbf{0} \quad\leftrightarrow\quad \sigma_{ij,kk} + \frac{1}{1+\nu} \sigma_{kk,ij} = 0 \;,\quad i,j = 1,2,3

einhalten, damit er im Einklang mit einem Verschiebungsfeld ist. Die Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_{ij} des Tensors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} sind als Beltramis Spannungsfunktionen bekannt. Von anderen Autoren vorher gefundene Spannungsfunktionen erweisen sich als Spezialfälle von Beltramis Lösung.

Airys Spannungsfunktion

Die Spannungsfunktion $ \varphi $, die George Biddell Airy 1863 fand, ist der Spezialfall

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & & \\ & 0 & \\ & & \varphi \end{pmatrix} \rightarrow \boldsymbol{\sigma} = \begin{pmatrix} \varphi_{,yy} & -\varphi_{,xy} & 0 \\ & \varphi_{,xx} & 0 \\ \textsf{sym} & & 0 \end{pmatrix}\,.

Die Kompatibilitätsbedingung lässt sich für homogenes, isotropes, elastisches Material folgendermaßen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta\Delta\varphi = 0

schreiben, was Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi zu einer biharmonischen Funktion macht.

Maxwells Spannungsfunktionen

Die von Maxwell 1868 und 1870 beschriebenen Spannungsfunktionen gliedern sich hier mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_1 & & \\ & a_2 & \\ & & a_3 \end{pmatrix} \quad\rightarrow\quad \boldsymbol{\sigma} = \begin{pmatrix} a_{2,33} + a_{3,22} & -a_{3,12} & -a_{2,13} \\ & a_{1,33} + a_{3,11} & -a_{1,23} \\ \textsf{sym} & & a_{1,22} + a_{2,11} \end{pmatrix}

ein.^[3]

Moreas Spannungsfunktionen

Morea fand 1892 Spannungsfunktionen, die sich hier als der Spezialfall

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & \omega_3 & \omega_2 \\ \omega_3 & 0 & \omega_1 \\ \omega_2 & \omega_1 & 0 \end{pmatrix} \quad\rightarrow\quad \boldsymbol{\sigma} = \begin{pmatrix} -2\omega_{1,23} & (\omega_{1,1} + \omega_{2,2} - \omega_{3,3})_{,3} & (\omega_{1,1} - \omega_{2,2}+ \omega_{3,3})_{,2} \\ & -2 \omega_{2,13} & (-\omega_{1,1} + \omega_{2,2} + \omega_{3,3})_{,1} \\ \textsf{sym} & & -2 \omega_{3,12} \end{pmatrix}

herausstellen.^[6]

Beltrami-Schäfer Spannungsfunktionen

Die Beltrami Spannungsfunktionen oben können wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}(\boldsymbol{\sigma})=\vec{0} keine Schwerkraft darstellen. Die Beltrami-Schäfer Lösung,

$ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathfrak {R}}(\mathbf {A} )+{\mathfrak {h}}({\vec {h}})\,,\quad {\mathfrak {h}}({\vec {h}})=\operatorname {grad} ({\vec {h}})+\operatorname {grad} ({\vec {h}})^{\top }-\operatorname {div} ({\vec {h}})\mathbf {I} $

die Schäfer 1953 fand, kann auch Randwertaufgaben mit Schwerkraft der Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{b} = -\Delta\vec{h}

lösen. Der Tensor A ist wie immer symmetrisch. Dann ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div}(\boldsymbol{\sigma})=-\vec{b} \quad\wedge\quad \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^\top

denn wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{div(grad}(\vec{h})^\top)=\Delta\vec{h}\,,\; \operatorname{div}(p\,\mathbf{I})=\operatorname{grad}(p)\,,\; \operatorname{grad(div}(\vec{h}))=\operatorname{div(grad}(\vec{h})) ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \mathfrak{h}(\vec{h})^\top &=& \operatorname{grad}(\vec{h})^\top + \operatorname{grad}(\vec{h}) - \operatorname{div}(\vec{h})\mathbf{I} = \mathfrak{h}(\vec{h}) \\ \operatorname{div}(\mathfrak{h}(\vec{h})) &=& \operatorname{div}[\operatorname{grad}(\vec{h}) + \operatorname{grad}(\vec{h})^\top - \operatorname{div}(\vec{h})\mathbf{I}] = \operatorname{div(grad}(\vec{h})) + \Delta\vec{h} - \operatorname{grad(div}(\vec{h})) \\ &=& \Delta\vec{h} = -\vec{b} \end{array}

nach Voraussetzung. Der Tensor A muss so gewählt werden, dass die Kompatibilitätsbedingung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{rcl} \displaystyle \Delta\boldsymbol{\sigma} + \frac{1}{1+\nu}\operatorname{grad(grad(Sp}(\boldsymbol{\sigma}))) + \frac{\nu}{1-\nu} \operatorname{div}(\vec{b})\mathbf{I} + 2 \operatorname{sym\,grad}(\vec{b}) &=& \mathbf{0} \\ \displaystyle \leftrightarrow\quad \sigma_{ij,kk} + \frac{1}{1+\nu} \sigma_{kk,ij} + \frac{\nu}{1-\nu} b_{k,k}\delta_{ij} + b_{i,j} + b_{j,i} &=& 0 \;,\quad i,j = 1,2,3 \end{array}

und die vorgegebenen Randbedingungen eingehalten werden.^[4]

Airy’sche Spannungsfunktion mit Schwerefeld

Mit der Airy’schen Spannungsfunktion kann auch eine Schwerkraft in der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{b} = -\operatorname{grad}(V) berücksichtigt werden:^[7]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{\sigma} = \begin{pmatrix} \varphi_{,yy} + V & -\varphi_{,xy} & 0 \\ & \varphi_{,xx} + V & 0 \\ \textsf{sym} & & 0 \end{pmatrix}

Dies passt sich mit $ {\vec {h}}=\operatorname {grad} (g) $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V = \operatorname{div}(\vec{h}) = \Delta g und einer zu bestimmenden Funktion g in die Beltrami-Schäfer Lösung ein:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -\vec{b} = \operatorname{grad}(V) = \operatorname{grad}(\Delta g) = \Delta \operatorname{grad}(g) = \Delta \vec{h}\,.

Die Kompatibilitätsbedingung lässt sich hier

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta\Delta\varphi = -\kappa\Delta V = -\kappa\Delta\Delta g

schreiben, worin der Materialparameter

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \kappa = \begin{cases} 1-\nu & \textsf{im\ ebenen\ Spannungszustand} \\ \frac{1-2\nu}{1-\nu} & \textsf{im\ ebenen\ Verzerrungszustand} \end{cases}

lautet.

Beispiel

Auf einen in x-Richtung ausgerichteten, linear elastischen Balken wirke ausschließlich eine zur z-Koordinate proportionale Spannung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma_{xx}= \vec{t}\cdot\hat{e}_{x} = -m E z

mit Proportionalitätsfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -m und Elastizitätsmodul Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E des Materials des Balkens, siehe Abbildung rechts. Diesen Vorgaben zufolge lautet der Spannungstensor also:

$ {\begin{array}{rcl}{\boldsymbol {\sigma }}&=&{\begin{pmatrix}-mEz\\&0\\&&0\end{pmatrix}}={\mathfrak {R}}\left({\begin{pmatrix}0\\&-{\frac {mE}{6}}z^{3}\\&&0\end{pmatrix}}\right)\end{array}}\,. $

Die Spannungsfunktion ergibt sich demnach zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ & -\frac{m E}{6} z^3 \\ & & 0 \end{pmatrix}\,.

Die Kompatibilitätsbedingung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma_{ij,kk} + \frac{1}{1+\nu} \sigma_{kk,ij} = 0 \;,\quad i,j = 1,2,3

wird erfüllt, weil alle zweiten Ableitungen der Normalspannung in x-Richtung verschwinden. Es gibt also ein Verschiebungsfeld, das mit diesen Spannungen kompatibel ist. Mit den im Bild skizzierten Randbedingungen lauten diese Verschiebungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{lcl} u &=& -m x z \\ v &=& \nu m y z \\ w &=& \dfrac{m}{2}(x^{2}-\nu y^{2}+\nu z^{2}) \end{array}

Zusätzlich zum Beispiel auf der Seite Kompatibilitätsbedingung zeigt sich hier, dass dieses Verschiebungsfeld im Gleichgewicht ist.

Siehe auch

• Poisson-Gleichung
• Integrabilitätsbedingung
• Formelsammlung Tensoranalysis
• Formelsammlung Tensoralgebra

Fußnoten

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5. 
• Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Springer, 2003, ISBN 3-540-00760-1. 
• M. E. Gurtin: The Linear Theory of Elasticity. In: S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik. Band VI2/a, Bandherausgeber C. Truesdell. Springer, 1972, ISBN 3-540-05535-5.