Taylor-Zahl

Die Taylor-Zahl ($\mathit{Ta}$), benannt nach Geoffrey Ingram Taylor, ist ein dimensionsloser Kennwert zur Beschreibung der Neigung zur Ausbildung von Taylor-Wirbeln.

Definition

Zur Definition der Taylor-Zahl lässt sich eine Taylor-Couette-Strömung betrachten. Das ist eine laminare Strömung einer inkompressiblen viskosen Flüssigkeit, die sich im Raum zwischen zwei koaxialen, relativ zueinander rotierenden Zylindern bzw. zwischen zwei relativ zueinander bewegten, unendlich langen und breiten Platten befindet. Der Durchmesser der Taylor-Wirbel ist etwa gleich der Spaltweite $d=(R_{\mathrm{a}}-R_{\mathrm{i}})$, die durch die Differenz von Außenradius $R_{\mathrm{a}}$ und Innenradius $R_{\mathrm{i}}$ bestimmt wird. Diese Taylor-Zahl hängt mit der Reynolds-Zahl $\mathit{Re}$ am inneren Zylinder

$Re=v_{\text{i}}\cdot \frac{d}{\nu }=\omega R_{\text{i}}\cdot \frac{R_{\text{a}}-R_{\text{i}}}{\nu }$

in folgender Weise zusammen:

$\mathit{Ta}=4\cdot {\mathit{Re}}^2\cdot \frac{R_{\mathrm{a}}-R_{\mathrm{i}}}{R_{\mathrm{a}}+R_{\mathrm{i}}}=4\cdot {\left(\frac{\omega }{\nu }\right)}^2\cdot R_{\mathrm{i}}^2\cdot \frac{(R_{\mathrm{a}}-R_{\mathrm{i}}{)}^3}{R_{\mathrm{a}}+R_{\mathrm{i}}}$

Dabei ist $\rho$ die Dichte, $\nu$ die kinematische Viskosität des Fluids und $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit. Die Taylor-Zahl, die das Auftreten der Taylor-Wirbel beschreibt, hängt reziprok von der kinematischen Viskosität ab. Wenn die Viskosität zu groß wird, sinkt die Taylor-Zahl unter einen kritischen Wert und die Taylor-Wirbel verschwinden.

Ab einer kritischen Taylor-Zahl die vom Verhältnis $R_{\mathrm{i}}/R_{\mathrm{a}}$ abhängt bilden sich Taylor-Wirbel aus. (Bspw. ${\mathit{Ta}}_{\mathrm{c}}=6200$ für $R_{\mathrm{i}}/R_{\mathrm{a}}=0,5$ („breiter Spalt“) oder ${\mathit{Ta}}_{\mathrm{c}}=3448$ für $R_{\mathrm{i}}/R_{\mathrm{a}}=\mathrm{0,975}$ („enger Spalt“)).

Literatur

• G. I. Taylor: Stability of a Viscous Liquid Contained between Two Rotating Cylinders. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character Vol. 223, pp. 289-343 (57 pages), 1923. 
• Ludwig Prandtl, Klaus Oswatitsch, Karl Wieghardt: Führer durch die Strömungslehre. 9. verbesserte und erweiterte Auflage, 1990.