Verschiebearbeit

In der Thermodynamik bezeichnet Verschiebearbeit das Produkt aus Druck $ \textstyle p $ und Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle V einer Stoffmenge. Sie hat die Dimension einer Energie und ist als Produkt zweier Zustandsgrößen selbst eine Zustandsgröße, obgleich sie als -arbeit den Namen einer Prozessgröße trägt. Sie ist die Differenz von Enthalpie und innerer Energie eines thermodynamischen Systems.^[1]

In der technischen Thermodynamik ist sie nützlich bei der Beschreibung offener Systeme, die von einem Stoffstrom durchflossen werden, z. B. Verdichter. Dort entspricht die Differenz der Verschiebearbeiten vor und hinter dem System der Arbeit, die aufgewendet werden muss, um die Stoffmenge durch das System zu transportieren.^[2]

Anwendung

Man betrachte ein Fluidvolumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle V_\mathrm{vor} , das sich in der Zuleitung (mit der Querschnittsfläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle A_\mathrm{ein} ) eines offenen, durchströmten Systems befindet und dort die Zuleitungslänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle s_\mathrm{vor} = V_\mathrm{vor} / A_\mathrm{ein} einnimmt. An dieser Stelle der Zuleitung herrsche der Druck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle p_\mathrm{vor} . Läuft der Strömungsvorgang quasistationär ab, dann sind die Kräfte an der Grenzfläche zwischen dem betrachteten Volumen und dem nachfolgenden Volumen ausgeglichen und das Folgevolumen übt auf das betrachtete Volumen die Kraft $ \textstyle F_{\mathrm {ein} }=p_{\mathrm {vor} }\,A_{\mathrm {ein} } $ aus. Sobald das betrachtete Volumen um seine eigene Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle s_\mathrm{vor} verschoben wurde, hat das Folgevolumen die Arbeit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W_\mathrm{ein} = F_\mathrm{ein} s_\mathrm{vor} = (p_\mathrm{vor} A_\mathrm{ein}) s_\mathrm{vor} = p_\mathrm{vor} (A_\mathrm{ein} s_\mathrm{vor}) = p_\mathrm{vor} V_\mathrm{vor}

am System aufgewendet.

Entsprechend wendet das System an seiner Austrittsfläche die Arbeit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W_\mathrm{aus} = p_\mathrm{nach} V_\mathrm{nach}

auf, um die Stoffmenge aus dem System zu transportieren.

Die Differenz der beiden Arbeiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W_\mathrm{ein}-W_\mathrm{aus} = p_\mathrm{vor} V_\mathrm{vor} - p_\mathrm{nach} V_\mathrm{nach} ist somit die Arbeit, die notwendig ist, um die Stoffmenge durch das System zu transportieren.

Zusammenhang mit Prozessgrößen

Die Änderung der Verschiebearbeit hängt zusammen mit Prozessgrößen wie der Volumenänderungsarbeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W_\mathrm{v} oder der technischen Arbeit $ W_{\mathrm {t} } $ (z. B. Wellenarbeit).^[3] Dies wird deutlich mit dem totalen Differential von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W = p \, V :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathrm{d}(p\,V) = &~ V \mathrm{d}p + p\, \mathrm{d} V \\ \Rightarrow \int_\mathrm{vor}^\mathrm{nach} \mathrm{d}(p\,V) = &\int_\mathrm{vor}^\mathrm{nach} V \mathrm{d}p + \int_\mathrm{vor}^\mathrm{nach} p\, \mathrm{d} V \end{align}

Die Differenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_\mathrm{nach} \, V_\mathrm{nach} - p_\mathrm{vor} \, V_\mathrm{vor} der Verschiebarbeiten entspricht also der technischen Arbeit abzüglich der Volumenänderungsarbeit $ W_{\mathrm {v} }=-\int p\cdot \mathrm {d} V $:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Leftrightarrow p_\mathrm{nach} \, V_\mathrm{nach} - p_\mathrm{vor} \, V_\mathrm{vor} = W_{\mathrm{t,nach - vor}} - W_{\mathrm{v,nach - vor}}

Am Beispiel des Verdichters wird dem System also zum einen Volumenänderungsarbeit zur Kompression des Gasstroms zugeführt, zum anderen muss die Differenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W_\mathrm{nach} - W_\mathrm{vor} der Verschiebearbeiten überwunden werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Leftrightarrow W_{\mathrm{t},\mathrm{nach} - \mathrm{vor}} = W_{\mathrm{v},\mathrm{nach} - \mathrm{vor}} + W_\mathrm{nach} - W_\mathrm{vor},

wobei die technische Arbeit z. B. über einen Elektromotor bereitgestellt wird.

Beispiel

Ein aus der Praxis bekannter Effekt, der auf die Verschiebearbeit zurückgeht, tritt beim Entleeren oder Befüllen einer Gasflasche auf. Zunächst sei die Gasflasche mit dem Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V über ein Ventil verschlossen. Das Gas im Inneren, mit der indiv. Gaskonstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R und der spez. isochoren Wärmekapazität $ c_{v} $, steht unter dem Druck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p und weist die Umgebungstemperatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T_1 auf. In diesem Fall sind auch die Energie und die Masse für das Gas bekannt. Mit der thermischen Zustandsgleichung gilt für die Gasmasse

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_1=\frac{p\,V}{R\,T_1}

und für die innere Energie gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U_1=m_1\,c_v\,T_1 =\frac{c_v}{R}\,p\,V

In diesem Fall tritt trotz des Ausdruckes „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): pV “ keine Verschiebearbeit auf, da diese nur an der Systemgrenze definiert ist und somit nur bei offenen Systemen vorkommt. Das Produkt aus Volumen und Druck äußert sich hierbei als innere Energie (für ein ideales Gas nach der thermischen Zustandsgleichung).

Öffnet man nun das Ventil und ist der Druck im Inneren größer als der Umgebungsdruck, tritt das Gas aus. Für die Massenbilanz des offenen Systems gilt hierbei

$ {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=-{\dot {m}} $

wobei der Massenstrom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{m} über die Systemgrenze strömt. Gleichzeitig wird auch die Energie innerhalb der Gasflasche abnehmen. Die spezifische innere Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_v\,T wird zunächst mit dem Massenstrom abgeführt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}=&-\dot{m} \,c_v\,T \\[0,1cm] \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\,c_v\,T+ m\, c_v \, \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} =&~\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} \,c_v\,T \\[0,1cm] \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} =&~0 \\ \end{align}

Man erkennt: Bei dieser Änderung der Energie bleibt die Temperatur konstant. Dies entspricht aber nicht der Erfahrung, denn tatsächlich muss das Gas zusätzlich Verschiebearbeit verrichten, was sich in einer Änderung der Temperatur äußert. Unter Berücksichtigung der spezifischen Verschiebearbeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p\,v gilt weiterhin:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}=&-\dot{m} \,c_v\,T -\dot{m} \,p\,v \\[0,1cm] \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\,c_v\,T+ m\, c_v \, \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} =&~\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} \,c_v\,T+\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} \,R\,T \\[0,1cm] \frac{c_v}{R}\,\frac{1}{T}\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} =&~\frac{1}{m}\,\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} \\[0,1cm] \frac{c_v}{R}\,\int_1^2 \frac{\mathrm{d}T}{T} =&~\int_1^2 \frac{\mathrm{d}m}{m} \\ \end{align}

Mit Integration über der Änderung der Masse innerhalb der Gasflaschen, im Intervall [1,2], wird ein Zusammenhang für die Gastemperatur erhalten:

$ T_{2}=T_{1}\left({\frac {m_{2}}{m_{1}}}\right)^{\frac {R}{c_{v}}} $

Damit zeigt sich: Nur durch die Verschiebearbeit kühlt sich das Gas im Inneren der Flasche beim Entleeren ab.

Siehe auch

• Gay-Lussac-Versuch
• Joule-Thomson-Effekt

Literatur

• E. Hahne: Technische Thermodynamik: Einführung und Anwendung. Oldenbourg Verlag, München 2010, ISBN 978-3-486-59231-3.
• W. Schneider, St. Haas, K. Ponweiser: Repetitorium Thermodynamik. Oldenbourg Verlag, München 2012, ISBN 978-3-486-70779-3.

Einzelnachweise