Wärmewiderstand

Der (absolute) Wärmewiderstand (auch Wärmeleitwiderstand, thermischer Widerstand) $ R_{th} $ ist ein Wärmekennwert und ein Maß für die Temperaturdifferenz, die in einem Objekt beim Hindurchtreten eines Wärmestromes (Wärme pro Zeiteinheit oder Wärmeleistung) entsteht. Der Kehrwert des Wärmewiderstands ist der Wärmeleitwert $ \lambda $ des Bauteils.

Definition

Der thermische Widerstand $ R_{th} $ bzw. der thermische Leitwert λ ist definiert als das Verhältnis von Temperaturdifferenz zu Wärmefluss durch einen Körper:

$ R_{\mathrm {th} }={\frac {\Delta T}{\dot {Q}}}\quad $ bzw. $ \quad \lambda ={\frac {\dot {Q}}{\Delta T}} $

mit

• $ \Delta T $ – Temperaturdifferenz (z. B. zwischen Außen- und Innenseite einer Thermosflasche oder zwischen einer Kühlfläche und der Umgebungsluft)
• $ {\dot {Q}} $ – Wärmestrom (z. B. die Verlustleistung durch ein Fenster oder der Wärmestrom im Wärmeübertrager)

Die Einheit des Wärmewiderstands ist K/W, die des Wärmeleitwertes dementsprechend W/K.

Analogie zum ohmschen Gesetz

Thermische Größen haben Analogien zu denen des elektrischen Widerstandes, die sich auch in ihren Namen zeigen.

Es treten Analogien zum elektrischen Strom auf, die die Anwendung des ohmschen Gesetzes und der kirchhoffschen Regeln bei der Wärmeübertragung ermöglichen. Diese sind:

Anwendungsbeispiele

Für einen Körper mit konstanter Querschnittsfläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A senkrecht zum Wärmestrom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q lässt sich der Wärmewiderstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_\mathrm{th} bei homogenen Material über dessen Wärmeleitfähigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda und die Länge (bzw. Dicke) $ l $ berechnen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_\mathrm{th} = \frac{l}{\lambda \cdot A}

Das Hantieren mit Widerständen ist praktischer in Situationen, in denen Widerstände in Reihe auftreten, wie der Wärmeübergang auf einen Kühlkörper, die Wärmeleitung im Kühlkörper und schließlich der Wärmeübergang an die Luft. Mit Leitwerten lassen sich parallal aufgebaute Widerstände leicht zusammenfassen (z. B. eine Wand, bei der ein Teil aus Beton, Ziegelmauerwerk und Fenster besteht), da sich die einzelnen Leitwerte zum Leitwert des gesamten Bauteils addieren.

Bauphysik

Wenn bei einer Styroporplatte mit einem Wärmewiderstand von 1 K/W zwischen den beiden Seiten ein Temperaturunterschied von 20 K herrscht, dann ergibt sich ein Wärmestrom durch die Platte von:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot{Q} = \frac{\Delta T}{R_\mathrm{th}} = \mathrm{\frac{20\;K}{1\;\frac{K}{W}}= 20\;W} \,

Saison-Wärmespeicher

Ein Wärmespeicher mit konstanter Umgebungstemperatur entlädt sich durch die eigene Wärmedämmung. Der Verlauf der Temperaturdifferenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta T zur Umgebung über der Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta T = \Delta T_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}

analog zum Spannungsverlauf bei einem Kondensator, der über einen Widerstand entladen wird:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}.

Die Zeitkonstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau , mit der sich Wärmespeicher und Kondensator entladen, ist

$ \tau =R\cdot C\;. $

Jetzt als Zahlenbeispiel, die meisten Ergebnisse sind gerundet: Wärmespeichermedium sei Wasser mit 45 % Ethylenglycol, 7 m breit, 7 m lang, 4 m hoch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V = 7 \cdot 7 \cdot 4 \; \mathrm{m}^3 = 196 \; \mathrm{m}^3

Die spezifische Wärmekapazität der Wasser-Glycol-Mischung ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_\mathrm v = 3{,}5 \; \frac{\mathrm{MJ}}{\mathrm{m}^3 \mathrm{K}}

Die Wärmekapazität ist das Produkt aus volumenbezogener spezifischer Wärmekapazität und Volumen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C_\mathrm{th} = c_v \cdot V = 686 \; \mathrm{\frac{MJ}{K}}

Wärmedämmung sei Schaumglas-Schotter mit einer Schichtdicke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): l = 0{,}5\,\mathrm{m} . Als Oberfläche der Wärmedämmung wird die Oberfläche des Wassertanks eingesetzt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A = (2 \cdot 7 \cdot 7 + 4 \cdot 4 \cdot 7) \; \mathrm{m}^2 = 210 \; \mathrm{m}^2

Die spezifische Wärmeleitfähigkeit von Schaumglas-Schotter ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda = 0{,}08 \; \mathrm{\frac{W}{m\ K}}

Das ergibt als Wärmewiderstand

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_\mathrm{th} = \frac{l}{\lambda \cdot A} = 0{,}03 \; \mathrm{\frac{K}{W}}

Jetzt lässt sich die Zeitkonstante der Selbstentladung berechnen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau = R_\mathrm{th} \cdot C_\mathrm{th} = 20{,}6 \cdot 10^6 \; \mathrm{s} = 238 \; \text{Tage}

Nach 238 Tagen ist die Differenz zwischen Temperatur im Wasser und in der Umgebung also auf 37 % (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): = e^{-1} ) des Anfangswerts gesunken.

Elektronik

Bei der Auslegung der Kühlung von Halbleitern oder anderen Schaltungselementen in elektronischen Schaltungen ist der Wärmewiderstand eines konkreten Kühlkörpers die maßgebliche Kenngröße zu dessen Auswahl. Sie wird vom Kühlkörperhersteller angegeben, z. B. für freie Konvektion und ist möglichst klein zu halten.

Der Wärmewiderstand eines Bauelements ohne Kühlkörper zur Umgebung kann zur Kontrolle herangezogen werden, ob eine Kühlkörpermontage überhaupt erforderlich ist – er wird vom Bauteil-Hersteller mit R_thJ/A (von engl. Junction/Ambient) angegeben.

Im Halbleiterbauteil selbst tritt ein Wärmewiderstand zwischen Chip und Gehäuse-Kühlfläche auf. Er wird vom Hersteller mit R_thJ/C (von engl. Junction/Case) angegeben.

Die Montage selbst und möglicherweise ein Wärmeleitpad verursachen weitere Wärmewiderstände. Befindet sich der Kühlkörper innerhalb eines Gehäuses oder eines Baugruppenträgers, so ist zu beachten, dass er die Wärme an Luft abgibt, deren Temperatur möglicherweise deutlich über der Temperatur der Umgebung liegt.

Aus der Verlustleistung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_{\,} \ und der Summe aller Wärmewiderstände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_\mathrm{th}\ kann die Temperaturdifferenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta T \ zwischen Chip und der Umgebung des Kühlkörpers berechnet werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta T = P \cdot R_\mathrm{th}

Ist der Wert zu groß, so ist der Wärmewiderstand des Kühlkörpers zu verringern, z. B. durch einen Kühlkörper mit Lüfter oder Wärmerohr, oder das Gehäuse zu belüften.

Siehe auch

• Wärmeübergangskoeffizient (Trocknungstechnik)
• Wärmedurchgangskoeffizient (Bauphysik)