Zyklotronfrequenz

Die Zyklotronfrequenz (auch Gyrationsfrequenz) ist die Umlauffrequenz geladener Teilchen (meist Elektronen) im homogenen Magnetfeld. Ein mit der Zyklotronfrequenz schwingendes elektrisches Wechselfeld wird in der Teilchenphysik zur Beschleunigung der Teilchen in Zyklotronen verwendet.^[1]

Allgemeines

Die Zyklotronfrequenz ist proportional zur magnetischen Flussdichte $$ B $$ und hängt von der Masse $$ m $$ und der Ladung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q des Teilchens folgendermaßen ab:^[2]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f = \frac{|q|\cdot B}{2\pi\cdot m} .

Die Zyklotronfrequenz ist unabhängig vom Bahnradius und der Geschwindigkeit der Teilchen. Das führt überall zu einer charakteristischen Absorption elektromagnetischer Wellen (siehe Zyklotronresonanz), wo sich geladene freie Teilchen in einem Magnetfeld bewegen. Da für Teilchen mit einem magnetischen Moment auch die Larmorfrequenz proportional zum Magnetfeld ist, ist der Quotient beider Frequenzen konstant und gleich dem halben Landé-Faktor.

Der Name Zyklotronfrequenz stammt vom Teilchenbeschleuniger Zyklotron. Hier wird die Unabhängigkeit der Umlauffrequenz von der Geschwindigkeit ausgenutzt, um geladene Teilchen im Magnetfeld mit einem elektrischen Wechselfeld fester Frequenz zu beschleunigen.

Herleitung

Im Magnetfeld wirkt die Lorentzkraft als Zentripetalkraft und lenkt geladene Teilchen auf eine Kreisbahn ab. Ihre Gesamtgeschwindigkeit wird dabei nicht verändert, somit bleibt auch der Betrag der Lorentzkraft gleich. Es entsteht eine gleichförmige Kreisbewegung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F_\mathrm{Lorentz} = F_\mathrm{Zentripetal}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |q| v B = \frac{m v^2}{r}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left. |q| B = \frac{m v}{r} \qquad\right| v = \omega r = 2\pi fr

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Relativistische Effekte

Die obige Beziehung gilt nur, wenn $$ v $$ vernachlässigbar klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c ist. Die relativistische, für alle Geschwindigkeiten gültige Formel lautet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f = \frac{1}{\gamma} \frac{|q| B}{2\pi m_0} = \sqrt{1 - \left(\frac{v^2}{c^2}\right)} \cdot \frac{|q| B}{2\pi m_0} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma der Lorentzfaktor ist.

Weiteres

Als Zyklotron-Energie bezeichnet man

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mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hbar - Plancksches Wirkungsquantum und

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Abhandlungen, die das Gaußsche CGS-System mit der Flussdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B in der Einheit Gauß, die Ladung $$ q $$ in der Einheit Franklin und die Masse m in der Einheit Gramm verwenden, definieren die Zyklotronfrequenz üblicherweise als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega_c=\frac{|q|\cdot B}{m\cdot c}

Die Landau’sche magnetische Länge beträgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ell_B=\sqrt{\hbar c/|q|B}

Häufig werden auf diese Weise Gleichungen, in denen das Magnetfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hbar\omega_c und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ell_B ausgedrückt ist, formal identisch mit den entsprechenden Gleichungen im Internationalen Einheitensystem (SI):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega_c=\frac{|q|\cdot B}{m}

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Einzelnachweise

↑ Harry Pfeifer, Herbert Schmiedel, Ralf Stannarius: Kompaktkurs Physik: Mit virtuellen Experimenten und Übungsaufgaben. Springer DE, 2004, S. 246 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Charles Kittel, Walter D. Knight, Malvin A. Ruderman, A Carl Helmholz, Burton J Moyer: Mechanik, Berkeley Physik Kurs 1. Springer, 2001 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[1] Harry Pfeifer, Herbert Schmiedel, Ralf Stannarius: Kompaktkurs Physik: Mit virtuellen Experimenten und Übungsaufgaben. Springer DE, 2004, S. 246 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[2] Charles Kittel, Walter D. Knight, Malvin A. Ruderman, A Carl Helmholz, Burton J Moyer: Mechanik, Berkeley Physik Kurs 1. Springer, 2001 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

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