Transkritische Bifurkation: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 30. September 2021, 15:22 Uhr

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Datei:Transcritical bif potential.png

Illustration der transkritischen Bifurkation. Die stabile (rot) Ruhelage wird instabil (blau) und umgekehrt.

Bifurkationsdiagramm einer Transkritischen Bifurkation. Stabile Fixpunkte sind rot, instabile blau dargestellt.

Die transkritische Bifurkation beschreibt einen Vorgang, bei dem die Stabilität („anziehend“ oder „abstoßend“) zweier Ruhelagen eines Systems vertauscht wird. Sie ist damit ein bestimmter Typ einer Bifurkation eines nichtlinearen Systems.

Die Normalform der transkritischen Bifurkation ist:

{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=\mu x-x^{2},

wobei $\mu$ der Bifurkationsparameter ist.^[1]

Die transkritische Bifurkation hat folgende Gleichgewichtspunkte:

x_{1}^{*}=0

x_{2}^{*}=\mu

Setzt man $x=(x_{1/2}^{*}+\delta )$ mit $\delta \ll 1$ in die Normalform ein (d. h. man stört den Fixpunkt) und vernachlässigt alle Terme der Ordnung $\delta ^{2}$ , erhält man

{\frac {\mathrm {d} \delta }{\mathrm {d} t}}={\begin{cases}\;\;\mu \delta \;\;\;\mathrm {bei} \;x_{1}^{*}\\-\mu \delta \;\;\;\mathrm {bei} \;x_{2}^{*}\end{cases}}

für die zeitliche Entwicklung der Störung $\delta$ .

Für $\mu <0$ ist also $x_{1}^{*}$ ein stabiler Fixpunkt (d. h. die Störung nimmt mit der Zeit ab) und $x_{2}^{*}$ ein instabiler (die Störung wächst). Für $\mu >0$ ist es umgekehrt. Bei dem kritischen Wert des Bifurkationsparameters $\mu =0$ ist der (in diesem Fall einzige) Fixpunkt $x^{*}=0$ indifferent stabil.

Diskretes System

Die diskrete logistische Abbildung

x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})

folgt ebenfalls einer transkritischen Bifurkation. Sie besitzt die Fixpunkte $x_{1}^{*}=0$ und $x_{2}^{*}=1-{\frac {1}{r}}$ . Der Ursprung $x_{1}^{*}$ ist hier stabil für $$ r<1 $$ und instabil für $$ r>1 $$ , während $x_{2}^{*}$ für $$ 1<r<3 $$ stabil ist und diese Stabilität für $$ r>3 $$ verliert.^[1]

Die logistische Gleichung kann aus der kontinuierlichen Normalform durch den Übergang $\mathrm {d} x/\mathrm {d} t\rightarrow x_{n+1}-x_{n}$ und die Transformation $x_{n}/(1+\mu )\rightarrow x_{n},\,r=1+\mu$ gewonnen werden.

Beispiel

Bei einem logistischen Wachstum ist die zeitliche Änderung einer Ressource $$ R $$ proportional zu ihrem derzeitigen Wert und zur Differenz dieses Werts von einer Schranke $$ S $$ , zum Beispiel bei der Anzahl an Tieren in einem bestimmten Gebiet. Die Proportionalitätskonstante sei $$ p $$ . Tritt zusätzlich ein Konsum dieser Ressource proportional zu ihrer momentanen Verfügbarkeit mit Proportionalitätskonstante $$ k $$ auf, beispielsweise durch Bejagung, dann lautet die Differentialgleichung

{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}=pR(S-R)-kR=(pS-k)R-pR^{2}

Dies lässt sich durch die Variablentransformation $$ x=pR $$ in die Normalform überführen und man identifiziert $\mu =pS-k$ . Für $$ k>pS $$ ist also $R_{1}=0$ ein stabiler Fixpunkt: Würde ein Tier in das Gebiet ausgesetzt, würden die Jäger dieses sofort schießen und ein Anwachsen unterbinden. Der Fixpunkt $R_{2}=S-k/p$ ist hingegen instabil: Schießen die Jäger auch nur kurzzeitig zu viel Wild, kann es sich nicht erholen und stirbt bei gleichbleibender Bejagung aus (strebt gegen $R_{1}$ ). Für $$ k<pS $$ ändert sich das Verhalten der Fixpunkte: $R_{1}$ wird instabil, bei kurzzeitiger Erhöhung der Population wird nicht genügend Wild geschossen, um ein Anwachsen auf den Fixpunkt $R_{2}$ zu verhindern. Dieser ist stabil, das heißt, sowohl bei kurzzeitig zu viel als auch zu wenig geschossenem Wild schwankt die Population nur um $R_{2}$ .

Einzelnachweise

↑ ^1,0 ^1,1 Steven H. Strogatz: Nonlinear Dynamics and Chaos. Westview Press, Boulder, CO 2000, ISBN 978-0-7382-0453-6, S. 50 f., 357 f.

[Strogatz-1] 1,0 ^1,1 Steven H. Strogatz: Nonlinear Dynamics and Chaos. Westview Press, Boulder, CO 2000, ISBN 978-0-7382-0453-6, S. 50 f., 357 f.

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+{{Quellen}}
-[[Datei:Transcritical_bif_potential.png|miniatur|hochkant=1.00|Illustration der transkritischen Bifurkation. Die stabile (rot) Ruhelage wird instabil (blau) und umgekehrt.]]
+[[Datei:Transcritical bif potential.png|mini|hochkant=1.00|Illustration der transkritischen Bifurkation. Die stabile (rot) Ruhelage wird instabil (blau) und umgekehrt.]]
-[[Datei:Transcritical Bifurcation.gif|miniatur|hochkant=1.70|[[Bifurkationsdiagramm]] einer Transkritischen Bifurkation. Stabile [[Kritischer Punkt (Dynamik)|Fixpunkte]] sind rot, instabile blau dargestellt.]]
+[[Datei:Transcritical Bifurcation.gif|mini|hochkant=1.70|[[Bifurkationsdiagramm]] einer Transkritischen Bifurkation. Stabile [[Kritischer Punkt (Dynamik)|Fixpunkte]] sind rot, instabile blau dargestellt.]]
-Die '''transkritische Bifurkation''' beschreibt einen Vorgang, bei dem die [[Stabilität]] („anziehend“ oder „abstoßend“) zweier [[Kritischer Punkt (Dynamik)|Ruhelagen]] eines Systems vertauscht wird.
+Die '''transkritische Bifurkation''' beschreibt einen Vorgang, bei dem die [[Gleichgewicht (Systemtheorie)#stabil|Stabilität]] („anziehend“ oder „abstoßend“) zweier [[Kritischer Punkt (Dynamik)|Ruhelagen]] eines Systems vertauscht wird. Sie ist damit ein bestimmter Typ einer [[Bifurkation (Mathematik)|Bifurkation]] eines [[Nichtlineare Systeme|nichtlinearen Systems]].
-Sie ist damit ein bestimmter Typ einer [[Bifurkation (Mathematik)|Bifurkation]] eines [[Nichtlineare Systeme|nichtlinearen Systems]].
 Die Normalform der transkritischen Bifurkation ist:
+:<math>\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} = \mu x - x^2,</math>
-:<math>\frac{dx}{dt} = \mu x - x^2</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;(I)
+wobei <math>\mu</math> der Bifurkationsparameter ist.<ref name="Strogatz">{{Literatur |Titel=Nonlinear Dynamics and Chaos |Autor=Steven H. Strogatz |Verlag=Westview Press |Ort=Boulder, CO |Datum=2000-12-29 |ISBN=9780738204536 |Seiten=50 f.,  357 f.}}</ref>
-wobei <math>\mu</math> der Bifurkationsparameter ist.
 Die transkritische Bifurkation hat folgende Gleichgewichtspunkte:
+:<math>x_1^* = 0</math>
-:<math>{x_1}^* = 0</math>
+:<math>x_2^* = \mu</math>
-:<math>{x_2}^* = \mu</math>
+Setzt man <math>x=(x^*_{1/2}+\delta)</math> mit <math>\delta\ll 1</math> in die Normalform ein (d.&nbsp;h. man stört den Fixpunkt) und vernachlässigt alle Terme der Ordnung <math>\delta^2</math>, erhält man
+:<math>\frac{\mathrm d\delta}{\mathrm dt}=\begin{cases}\;\;\mu\delta\;\;\;\mathrm{bei}\;x^*_1\\-\mu\delta\;\;\;\mathrm{bei}\;x^*_2\end{cases}</math>
-Setzt man <math>x=(x^*_{1/2}+\delta)</math> mit <math>\delta\ll 1</math> in die Normalform ein (d.&nbsp;h. man stört den Fixpunkt) und vernachlässigt den <math>\delta^2</math>-Term, erhält man
-:<math>\frac{d\delta}{dt}=\begin{cases}\;\;\mu\delta\;\;\;\mathrm{bei}\;x^*_1\\-\mu\delta\;\;\;\mathrm{bei}\;x^*_2\end{cases}</math>
 für die zeitliche Entwicklung der Störung <math>\delta</math>.
-Für <math>\mu<0</math> ist also <math>x^*_1</math> ein stabiler Fixpunkt (d.&nbsp;h. die Störung nimmt mit der Zeit ab) und <math>x^*_2</math> ein instabiler (die Störung wächst). Für <math>\mu>0</math> ist es umgekehrt.
+Für <math>\mu<0</math> ist also <math>x^*_1</math> ein stabiler Fixpunkt (d.&nbsp;h. die Störung nimmt mit der Zeit ab) und <math>x^*_2</math> ein instabiler (die Störung wächst). Für <math>\mu>0</math> ist es umgekehrt. Bei dem kritischen Wert des Bifurkationsparameters <math>\mu=0</math> ist der (in diesem Fall einzige) Fixpunkt <math>x^*=0</math> [[Indifferentes Gleichgewicht|indifferent stabil]].
-Bei dem kritischen Wert des Bifurkationsparameters <math>\mu=0</math> ist der (in diesem Fall einzige) Fixpunkt <math>x^*=0</math> [[Indifferentes Gleichgewicht|indifferent stabil]].
 == Diskretes System ==
+Die diskrete [[Logistische Gleichung|logistische Abbildung]]
+:<math> x_{n+1} = r x_n(1-x_n)</math>
+folgt ebenfalls einer transkritischen Bifurkation. Sie besitzt die Fixpunkte <math>x^*_1=0</math> und <math>x^*_2=1-\frac{1}{r}</math>. Der Ursprung <math>x^*_1</math> ist hier stabil für <math>r<1</math> und instabil für <math>r>1</math>, während <math>x^*_2</math> für <math>1<r<3</math> stabil ist und diese Stabilität für <math>r > 3</math> verliert.<ref name="Strogatz" />
-Für ein diskretes System wird aus (I):
+Die logistische Gleichung kann aus der kontinuierlichen Normalform durch den Übergang <math>\mathrm dx/\mathrm dt\rightarrow x_{n+1}-x_n</math> und die Transformation <math>x_n/(1+\mu)\rightarrow x_n,\,r=1+\mu</math> gewonnen werden.
-:<math>x_{t+1} = x_t + \mu \cdot x_t - x_t^2</math>
-Die Lage der Fixpunkte bleibt gegenüber dem kontinuierlichen System unverändert.
-== Siehe auch ==
+== Beispiel ==
-* [[Pitchfork-Bifurkation]]
+Bei einem [[Logistische Funktion|logistischen Wachstum]] ist die zeitliche Änderung einer Ressource <math>R</math> proportional zu ihrem derzeitigen Wert und zur Differenz dieses Werts von einer Schranke <math>S</math>, zum Beispiel bei der Anzahl an Tieren in einem bestimmten Gebiet. Die Proportionalitätskonstante sei <math>p</math>. Tritt zusätzlich ein Konsum dieser Ressource proportional zu ihrer momentanen Verfügbarkeit mit Proportionalitätskonstante <math>k</math> auf, beispielsweise durch Bejagung, dann lautet die Differentialgleichung
-* [[Hopf-Bifurkation]]
+:<math>\frac{\mathrm dR}{\mathrm dt} = pR(S-R) - kR = (pS - k)R - pR^2 </math>
-* [[Sattel-Knoten-Bifurkation]]
+Dies lässt sich durch die Variablentransformation <math>x = pR</math> in die Normalform überführen und man identifiziert <math>\mu = pS - k</math>. Für <math> k > pS</math> ist also <math>R_1 = 0</math> ein stabiler Fixpunkt: Würde ein Tier in das Gebiet ausgesetzt, würden die Jäger dieses sofort schießen und ein Anwachsen unterbinden. Der Fixpunkt <math>R_2 = S - k/p</math> ist hingegen instabil: Schießen die Jäger auch nur kurzzeitig zu viel Wild, kann es sich nicht erholen und stirbt bei gleichbleibender Bejagung aus (strebt gegen <math>R_1</math>). Für <math>k < pS</math> ändert sich das Verhalten der Fixpunkte: <math>R_1</math> wird instabil, bei kurzzeitiger Erhöhung der Population wird nicht genügend Wild geschossen, um ein Anwachsen auf den Fixpunkt <math>R_2</math> zu verhindern. Dieser ist stabil, das heißt, sowohl bei kurzzeitig zu viel als auch zu wenig geschossenem Wild schwankt die Population nur um <math>R_2</math>.
+== Einzelnachweise ==
+<references />
 [[Kategorie:Theorie dynamischer Systeme]]
 [[Kategorie:Nichtlineare Dynamik]]