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Die '''Kepler-Konstante''' <math>C</math> ist ein aus dem [[Drittes Keplersches Gesetz|3. Keplerschen Gesetz]] resultierender [[Parameter]]. Sie | Die '''Kepler-Konstante''' <math>C</math> ist ein aus dem [[Drittes Keplersches Gesetz|3. Keplerschen Gesetz]] resultierender [[Parameter (Mathematik)|Parameter]], der für alle um dasselbe [[Zentralgestirn]] kreisenden [[Himmelskörper]] gilt. Sie berechnet sich als der [[Quotient]] des [[Quadratzahl|Quadrates]] der [[Umlaufzeit]] <math>T</math> des Himmelskörpers und der dritten [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] der [[Große Halbachse|großen Halbachse]] <math>a</math> seiner [[Umlaufbahn]]:<ref>Rudolf Pitka: ''Physik- der Grundkurs.'' Harri Deutsch Verlag, 2009, ISBN 978-3817118526, S. 127.</ref> | ||
:<math>C = \frac{T^2}{a^3}</math> | :<math>C = \frac{T^2}{a^3}</math> | ||
So gilt mit der Sonne als [[Zentralgestirn]] (d. h. für die sie umkreisenden [[Planet]]en usw.) folgender Wert, der oft in [[Formelsammlung]]en gegeben ist:<ref name=":0" /> | |||
:<math>C_\mathrm{s} = 2{,}97 \cdot 10^{-19} \,\frac{\mathrm{s}^2}{\mathrm{m}^3}</math> | :<math>C_\mathrm{s} = 2{,}97 \cdot 10^{-19} \,\frac{\mathrm{s}^2}{\mathrm{m}^3}</math> | ||
Die Kepler-Konstante setzt dabei wie das [[Drittes Keplersches Gesetz|3. Keplersche Gesetz]] voraus, dass die Masse des Zentralkörpers deutlich größer ist als die Masse der umlaufenden Körper. | |||
Mit Hilfe dieser Kepler-Konstante lässt sich die Umlaufzeit oder die große Halbachse der Umlaufbahn eines Planeten berechnen, wenn der jeweils andere Wert bekannt ist. Oft werden dabei [[Planetenbahn]]en vereinfacht als [[Kreis (Geometrie)|Kreisbahnen]] betrachtet und die große Halbachse mit dem [[Radius]] gleichgesetzt. | Mit Hilfe dieser Kepler-Konstante lässt sich die Umlaufzeit oder die große Halbachse der Umlaufbahn eines Planeten berechnen, wenn der jeweils andere Wert bekannt ist. Oft werden dabei [[Planetenbahn]]en vereinfacht als [[Kreis (Geometrie)|Kreisbahnen]] betrachtet und die große Halbachse mit dem [[Radius]] gleichgesetzt. | ||
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:<math>C \approx \frac{4 \pi^2}{G \, M}</math> | :<math>C \approx \frac{4 \pi^2}{G \, M}</math> | ||
== Erde als | == Andere Zentralkörper == | ||
=== Erde === | |||
Mit der Erde als Zentralgestirn gilt für die Kepler-Konstante folgender Wert:<ref name=":0">{{Internetquelle |url=https://www.leifiphysik.de/mechanik/weltbilder-keplersche-gesetze/grundwissen/drittes-keplersches-gesetz |titel=Drittes KEPLERsches Gesetz |werk=LEIFIPhysik |hrsg=Joachim Herz Stiftung |abruf=2021-04-18}}</ref> | |||
:<math>{C}_{e} = 9{,}83 \cdot {10^{ -14}}\rm{\frac{{{s^2}}}{{{m^3}}}}</math> | |||
Dieser Wert beruht ebenfalls darauf, dass die Masse des Zentralkörpers deutlich größer ist als die Masse der umlaufenden Körper (z. B. Satellit um Erde). Da die Erde und der Mond aufgrund ihrer Massen um einen [[Erde-Mond-Schwerpunkt|gemeinsamen Schwerpunkt]] kreisen, ergibt sich aus der Berechnung über den Mond mit der obigen Formel ein leicht anderer Wert, von<ref group="A">Verwendete Parameter: Große Halbachse: 384.400 km, Umlaufzeit: 27,3217 d. Somit Quadrat von 2.360.594,88 s durch 3. Potenz von 384.400.000 m.</ref> | |||
:<math>C_{\rm{e}} = 9{,}81 \cdot {10^{ -14}}\rm{\frac{{{s^2}}}{{{m^3}}}}</math>, | |||
der allerdings nur näherungsweise das [[Drittes Keplersches Gesetz|3. Keplersche Gesetz]] repräsentiert. Weiteres siehe unter [[Satellitenbahnelement]]. | |||
=== Jupiter === | |||
Mit dem Jupiter als Zentralgestirn gilt für die Kepler-Konstante folgender Wert:<ref name=":0" /> | |||
:<math>C_{\rm{j}} = 3{,}1 \cdot {10^{ -16}}\rm{\frac{{{s^2}}}{{{m^3}}}}</math> | |||
== Anmerkungen == | |||
<references group="A" /> | |||
== Einzelnachweise == | == Einzelnachweise == | ||
Die Kepler-Konstante $ C $ ist ein aus dem 3. Keplerschen Gesetz resultierender Parameter, der für alle um dasselbe Zentralgestirn kreisenden Himmelskörper gilt. Sie berechnet sich als der Quotient des Quadrates der Umlaufzeit $ T $ des Himmelskörpers und der dritten Potenz der großen Halbachse $ a $ seiner Umlaufbahn:[1]
So gilt mit der Sonne als Zentralgestirn (d. h. für die sie umkreisenden Planeten usw.) folgender Wert, der oft in Formelsammlungen gegeben ist:[2]
Die Kepler-Konstante setzt dabei wie das 3. Keplersche Gesetz voraus, dass die Masse des Zentralkörpers deutlich größer ist als die Masse der umlaufenden Körper.
Mit Hilfe dieser Kepler-Konstante lässt sich die Umlaufzeit oder die große Halbachse der Umlaufbahn eines Planeten berechnen, wenn der jeweils andere Wert bekannt ist. Oft werden dabei Planetenbahnen vereinfacht als Kreisbahnen betrachtet und die große Halbachse mit dem Radius gleichgesetzt.
Die Kepler-Konstante kann auch ohne Kenntnis der Halbachse und der Umlaufdauer eines Planeten bestimmt werden. Aus dem dritten Keplerschen Gesetz ergibt sich nämlich unter Zuhilfenahme des Gravitationsgesetzes:
wobei
Hieran erkennt man, dass die Kepler-„Konstante“ prinzipiell vom betrachteten Planeten abhängt. Da aber in der Regel $ M\gg m $ ist, kann die Planetenmasse m in der Regel vernachlässigt werden:
Mit der Erde als Zentralgestirn gilt für die Kepler-Konstante folgender Wert:[2]
Dieser Wert beruht ebenfalls darauf, dass die Masse des Zentralkörpers deutlich größer ist als die Masse der umlaufenden Körper (z. B. Satellit um Erde). Da die Erde und der Mond aufgrund ihrer Massen um einen gemeinsamen Schwerpunkt kreisen, ergibt sich aus der Berechnung über den Mond mit der obigen Formel ein leicht anderer Wert, von[A 1]
der allerdings nur näherungsweise das 3. Keplersche Gesetz repräsentiert. Weiteres siehe unter Satellitenbahnelement.
Mit dem Jupiter als Zentralgestirn gilt für die Kepler-Konstante folgender Wert:[2]