Carnot-Wirkungsgrad: Unterschied zwischen den Versionen

Carnot-Wirkungsgrad (in %) in Abhängigkeit von T_k und T_h (jeweils in °C)

Der Carnot-Wirkungsgrad $ \eta _{c} $, auch Carnot-Faktor genannt, ist der höchste theoretisch mögliche Wirkungsgrad bei der Umwandlung von thermischer Energie in mechanische Energie.^[1] Er beschreibt den Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses, eines vom französischen Physiker Nicolas Léonard Sadi Carnot erdachten idealen Kreisprozesses.^[2]

Berechnung

Der Wert des Carnot-Wirkungsgrades hängt ab von den Kelvin-Temperaturen $ T_{h} $ (heiß) und $ T_{k} $ (kalt) der Reservoirs, zwischen denen die Wärmekraftmaschine arbeitet:^[1]

$ \eta _{c}={\frac {T_{h}-T_{k}}{T_{h}}}=1-{\frac {T_{k}}{T_{h}}} $

Der Carnot-Wirkungsgrad ist umso größer, je höher $ T_{h} $ und je tiefer $ T_{k} $ ist. Da $ T_{h} $ nach oben und $ T_{k} $ nach unten begrenzt sind, ist ein Wirkungsgrad von 100 % ausgeschlossen.

Beispiel

Der Carnot-Wirkungsgrad eines Prozesses, der zwischen 800 °C (1073,15 K) und 100 °C (373,15 K) abläuft, beträgt:

$ \eta _{c}=1-{\frac {373{,}15}{1073{,}15}}=0{,}652=65{,}2\ \% $

Theoretische Grundlage

Eine Wärmekraftmaschine entnimmt Energie in Form von Wärme $ Q_{h} $ aus einem Wärmespeicher hoher Temperatur $ T_{h} $ und gibt einen Teil davon als Nutzarbeit $ W $ (z. B. in Form von mechanischer Arbeit) ab. Der übrige Teil der entnommenen Energie fließt als Wärme $ Q_{k} $ in einen Wärmespeicher niedrigerer Temperatur $ T_{k} $. Der Wirkungsgrad $ \eta $ der Wärmekraftmaschine ist definiert als Verhältnis der abgegebenen Nutzarbeit zur aufgenommenen Wärmemenge:^[3]

$ \eta ={\frac {W}{Q_{h}}} $

Der Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine wird durch den Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik begrenzt: Bei der isothermen Entnahme der Wärme aus dem heißen Reservoir wird die Entropie $ S_{h}={\frac {Q_{h}}{T_{h}}} $ auf die Maschine übertragen; auf der kalten Seite der Maschine wird die Entropie $ S_{k}={\frac {Q_{k}}{T_{k}}} $ auf das kalte Reservoir übertragen.

Da in selbständig ablaufenden Prozessen die Entropie niemals abnimmt, muss gelten:

$ S_{k}\geq S_{h} $.

Entsprechend gilt für die Wärme:

$ \Rightarrow Q_{k}\geq Q_{h}\,{\frac {T_{k}}{T_{h}}} $

Berücksichtigt man außerdem, dass die gesamte Energiebilanz neutral ist

$ Q_{k}=Q_{h}-W $,

so folgt für die Nutzarbeit:

$ \Rightarrow W\leq Q_{h}(1-{\frac {T_{k}}{T_{h}}}) $

und entsprechend für den Wirkungsgrad:

$ \eta \leq \eta _{c} $.

In der Praxis sind isotherme Wärmeübergänge nicht realisierbar, und die Prozesstemperaturen weichen von den Reservoirtemperaturen ab. Technisch werden daher je nach Kreisprozess nur maximale Wirkungsgrade von über zwei Drittel des Carnot-Wirkungsgrades erreicht.

Analoge Größen für Wärmepumpen und Kältemaschinen

In Wärmepumpen und Kältemaschinen wird der entgegengesetzte Prozess betrieben: mechanische bzw. elektrische Energie wird aufgewendet, um thermische Energie von niedrigen auf höhere Temperaturen zu heben. Daher beschreibt der Carnot-Wirkungsgrad hier nicht die maximal erzielbare, sondern die mindestens aufzuwendende elektrische Energie:

• Wärmepumpe: $ W_{\mathrm {el} }>(1-{\frac {T_{k}}{T_{h}}})\,Q_{h} $
• Kältemaschine: $ W_{\mathrm {el} }>({\frac {T_{h}}{T_{k}}}-1)\,Q_{k} $.

Die Effizienz dieser Maschinen wird folglich nicht durch den Wirkungsgrad, sondern durch Leistungszahlen $ \epsilon $ beschrieben.

Bei einer Wärmepumpe (WP) wird die auf dem oberen Temperaturniveau von der Wärmepumpe abgegebene Wärme $ Q_{h} $ genutzt:

$ \epsilon _{\mathrm {WP} }={\frac {Q_{h}}{W_{\mathrm {el} }}}<\epsilon _{\mathrm {WP,c} } $

mit

$ \epsilon _{\mathrm {WP,c} }={\frac {1}{\eta _{c}}}={\frac {T_{h}}{T_{h}-T_{k}}}>1 $.

Bei einer Kältemaschine (KM) ist die bei der niedrigen Temperatur durch die Kältemaschine aufgenommene Wärme $ Q_{k} $ die Nutzgröße:

$ \epsilon _{\mathrm {KM} }={\frac {Q_{k}}{W_{\mathrm {el} }}}<\epsilon _{\mathrm {KM,c} } $

mit:

$ \epsilon _{\mathrm {KM,c} }={\frac {1}{\eta _{c}}}-1={\frac {T_{k}}{T_{h}-T_{k}}} $.

Weblinks

• Interaktive Berechnung des Carnot-Wirkungsgrads. In: GeoGebra. Abgerufen am 31. August 2021 

Einzelnachweise

en:Carnot efficiency