Gaskonstante: Unterschied zwischen den Versionen

Physikalische Konstante
Name	Universelle Gaskonstante
Formelzeichen	$ R $
Wert
SI	8.31446261815324 $ \textstyle {\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {mol\,K} }} $
Unsicherheit (rel.)	(exakt)
Bezug zu anderen Konstanten
	$ R=N_{\mathrm {A} }\cdot k_{\mathrm {B} } $; $ N_{\mathrm {A} } $: Avogadro-Konstante; $ k_{\mathrm {B} } $: Boltzmann-Konstante
Quellen und Anmerkungen
	Quelle SI-Wert: CODATA 2018 (Direktlink)

Aktuelle Version vom 4. März 2022, 14:48 Uhr

Die Gaskonstante, auch molare, universelle oder allgemeine Gaskonstante $$ R $$ ist eine physikalische Konstante aus der Thermodynamik. Sie tritt in der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase auf.

Definition

Die thermische Zustandsgleichung idealer Gase stellt einen Zusammenhang zwischen Druck $$ p $$ , Volumen $$ V $$ , Temperatur $$ T $$ und Stoffmenge $$ n $$ eines idealen Gases her: Das Produkt von Druck und Volumen ist proportional zum Produkt von Stoffmenge und Temperatur. Die ideale Gaskonstante ist dabei die Proportionalitätskonstante^[2]

pV=nRT\quad \Leftrightarrow \quad R={\frac {pV}{nT}}.

Da die allgemeine Gasgleichung auch mit der Teilchenzahl $$ N $$ statt der Stoffmenge ausgedrückt werden kann und dann die Boltzmann-Konstante $k_{\mathrm {B} }$ als Proportionalitätskonstante auftritt, existiert ein einfacher Zusammenhang zwischen Gaskonstante, Boltzmann-Konstante und der Avogadro-Konstante $N_{\mathrm {A} }$ , die Teilchenzahl und Stoffmenge verknüpft:

R=N_{\mathrm {A} }k_{\mathrm {B} }

Da beide Konstanten seit der Revision des Internationalen Einheitensystems (SI) von 2019 per Definition vorgegeben sind, ist auch der Zahlenwert der Gaskonstante exakt:

R=8{,}314\;462\;618\;153\;24\ \mathrm {\frac {J}{mol\,K}}

Geschichte

Dass es eine universelle Gaskonstante gibt, wurde auf empirischem Weg ermittelt. Es ist keineswegs offensichtlich, dass die molare Gaskonstante für alle idealen Gase denselben Wert hat und dass es somit eine universelle beziehungsweise allgemeine Gaskonstante gibt. Man könnte vermuten, dass der Gasdruck von der Molekülmasse des Gases abhängt, was aber für ideale Gase nicht der Fall ist. Amadeo Avogadro stellte 1811 erstmals fest, dass die molare Gaskonstante für verschiedene ideale Gase gleich ist, bekannt als Gesetz von Avogadro.

Bedeutung

Die Gaskonstante als Produkt von Avogadro- und Boltzmann-Konstante tritt in diversen Bereichen der Thermodynamik auf, hauptsächlich in der Beschreibung idealer Gase. So ist die innere Energie $$ U $$ idealer Gase

U={\frac {1}{2}}fRT

mit der Anzahl der Freiheitsgrade des Gases $$ f $$ und davon abgeleitet die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen $C_{V}$

C_{V}={\frac {1}{2}}fR

und die molare Wärmekapazität bei konstantem Druck $C_{p}$

C_{p}=\left(1+{\frac {1}{2}}f\right)R\,.

Auch außerhalb der Thermodynamik von Gasen spielt die Gaskonstante eine Rolle, beispielsweise im Dulong-Petit-Gesetz für die Wärmekapazität von Festkörpern und Flüssigkeiten:

C_{p_{\,{\text{fest, flüssig}}}}\approx C_{V_{\,{\text{fest, flüssig}}}}\approx 3R

Spezifische Gaskonstante

Spezifische Gaskonstante und molare Masse^[3]
Gas	$R_{\mathrm {s} }$ in J·kg⁻¹·K⁻¹	$$ M $$ in g·mol⁻¹
Argon, Ar	208,1	39,950
Helium, He	2077,1	4,003
Kohlenstoffdioxid, CO₂	188,9	44,010
Kohlenstoffmonoxid, CO	296,8	28,010
trockene Luft	287,1	28,960
Methan, CH₄	518,4	16,040
Propan, C₃H₈	188,5	44,100
Sauerstoff, O₂	259,8	32,000
Schwefeldioxid, SO₂	129,8	64,060
Stickstoff, N₂	296,8	28,010
Wasserdampf, H₂O	461,4	18,020
Wasserstoff, H₂	4124,2	2,016

Division der universellen Gaskonstante durch die molare Masse $$ M $$ eines bestimmten Gases liefert die spezifische (auf die Masse bezogene) und für das Gas spezielle oder auch individuelle Gaskonstante, Formelzeichen:

R_{\rm {s}},R_{\rm {i}},R_{\rm {spez}}={\frac {R}{M}}.

Beispiel an Luft

Die molare Masse für trockene Luft beträgt 0,028 964 4 kg/mol^[4]. Somit ergibt sich für die spezifische Gaskonstante von Luft:

R_{\mathrm {s,Luft} }={\frac {8{,}314\;46\;\mathrm {J} /(\mathrm {mol} \cdot \mathrm {K} )}{0{,}028\;964\;4\ \mathrm {kg} /\mathrm {mol} }}=287{,}058\ \mathrm {\frac {J}{kg\cdot K}}

Die thermische Zustandsgleichung für ideale Gase ist dann:

p\,V=m\,R_{\mathrm {s} }\,T

wobei $$ m $$ die Masse ist.

Einzelnachweise

↑ Der Wert ist exakt bekannt und ist hier mit 15 Dezimalstellen exakt angegeben. Bei CODATA wird er nur mit den ersten zehn geltenden Ziffern, gefolgt von Punkten angegeben.
↑ Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme. 6. Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-25465-9, S. 266.
↑ Langeheinecke: Thermodynamik für Ingenieure. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0418-1
↑ Günter Warnecke: Meteorologie und Umwelt: Eine Einführung. Google eBook, S. 14, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.

[1] Der Wert ist exakt bekannt und ist hier mit 15 Dezimalstellen exakt angegeben. Bei CODATA wird er nur mit den ersten zehn geltenden Ziffern, gefolgt von Punkten angegeben.

[2] Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme. 6. Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-25465-9, S. 266.

[3] Langeheinecke: Thermodynamik für Ingenieure. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0418-1

[4] Günter Warnecke: Meteorologie und Umwelt: Eine Einführung. Google eBook, S. 14, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 | Name          = Universelle Gaskonstante
 | Formelzeichen = <math>R</math>
-| WertSI        = <math>\mathrm{ 8{,}314\;459\;8\ \frac{kg\ m^2}{s^2\,mol\,K } } </math>
+| WertSI        = {{ZahlExp|8,31446261815324|post=<math>\textstyle \frac{\mathrm J}{\mathrm{mol\,K}}</math>}}<ref>Der Wert ist exakt bekannt und ist hier mit 15 Dezimalstellen exakt angegeben. Bei CODATA wird er nur mit den ersten zehn geltenden Ziffern, gefolgt von Punkten angegeben.</ref>
-| Genauigkeit   = <math> 5{,}7 \cdot 10^{-7}</math>
+| Genauigkeit   = (exakt)
-| WertCgs       =
+| Formel        = <math>R = N_\mathrm{A} \cdot k_\mathrm{B}</math><br /> <math>N_\mathrm A</math>: [[Avogadro-Konstante]]<br /> <math>k_\mathrm B</math>: [[Boltzmann-Konstante]]
-| WertPlanck    =
+| Anmerkung     = Quelle SI-Wert: [[CODATA]] 2018 ([https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?r Direktlink])
-| Formel        =
-| Anmerkung     = Quelle SI-Wert: [[CODATA]] 2014 ([http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?r Direktlink])
 }}
-__NOTOC__
+Die '''Gaskonstante''', auch '''molare''', '''universelle''' oder '''allgemeine Gaskonstante''' <math>R</math> ist eine [[physikalische Konstante]] aus der [[Thermodynamik]]. Sie tritt in der [[Thermische Zustandsgleichung idealer Gase|thermischen Zustandsgleichung idealer Gase]] auf.
-Die '''Gaskonstante''' ist der Unterschied der [[Wärmekapazität]] eines idealen Gases zwischen isobarer (gleicher Druck) und isochorer (gleiches Volumen) Zustandsänderung, bezogen auf die [[Stoffmenge]] [[Mol]].
-:<math> R = C_\mathrm{p(mol)} - C_\mathrm{V(mol)} </math>
+== Definition ==
+Die thermische Zustandsgleichung idealer Gase stellt einen Zusammenhang zwischen [[Druck (Physik)|Druck]] <math>p</math>, [[Volumen]] <math>V</math>, [[Temperatur]] <math>T</math> und [[Stoffmenge]] <math>n</math> eines [[Ideales Gas|idealen Gases]] her: Das Produkt von Druck und Volumen ist proportional zum Produkt von Stoffmenge und Temperatur. Die ideale Gaskonstante ist dabei die [[Proportionalitätskonstante]]<ref>{{Literatur |Autor=Wolfgang Demtröder |Titel=Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme |Auflage=6 |Verlag=Springer |Datum=2013 |ISBN=978-3-642-25465-9 |Seiten=266}}</ref>
+:<math>pV = nRT \quad \Leftrightarrow \quad R = \frac{pV}{nT}.</math>
-Deshalb wird sie auch '''[[molare Größe|molare]]''' Gaskonstante genannt. Gängig sind auch die Begriffe '''universelle''',  oder auch '''allgemeine''' Gaskonstante ([[Formelzeichen]]: <math>R_\mathrm m, R_\mathrm u, R_\mathrm n</math>).
+Da die allgemeine Gasgleichung auch mit der [[Teilchenzahl]] <math>N</math> statt der Stoffmenge ausgedrückt werden kann und dann die [[Boltzmann-Konstante]] <math>k_\mathrm B</math> als Proportionalitätskonstante auftritt, existiert ein einfacher Zusammenhang zwischen Gaskonstante, Boltzmann-Konstante und der [[Avogadro-Konstante]] <math>N_\mathrm A</math>, die Teilchenzahl und Stoffmenge verknüpft:
+:<math>R = N_\mathrm A k_\mathrm B</math>
+Da beide Konstanten seit der [[Internationales Einheitensystem#Neudefinition2019|Revision des Internationalen Einheitensystems (SI) von 2019]] per Definition vorgegeben sind, ist auch der Zahlenwert der Gaskonstante exakt:
+:<math>R = 8{,}314\;462\;618\;153\;24\ \mathrm{\frac{J}{mol\,K}}</math>
-Die Gaskonstante ist auch das Produkt aus [[Avogadro-Konstante]] (<math>N_\mathrm A</math>) und [[Boltzmann-Konstante]] (<math>k_\mathrm B</math>):
+== Geschichte ==
+Dass es eine universelle Gaskonstante gibt, wurde auf [[Empirik|empirischem]] Weg ermittelt. Es ist keineswegs offensichtlich, dass die molare Gaskonstante für alle idealen Gase denselben Wert hat und dass es somit eine universelle beziehungsweise allgemeine Gaskonstante gibt. Man könnte vermuten, dass der [[Gasdruck]] von der [[Molekülmasse]] des Gases abhängt, was aber für ideale Gase nicht der Fall ist. [[Amadeo Avogadro]] stellte 1811 erstmals fest, dass die molare Gaskonstante für verschiedene ideale Gase gleich ist, bekannt als [[Gesetz von Avogadro]].
-:<math>R = N_\mathrm{A} \cdot k_\mathrm{B}</math>
+== Bedeutung ==
+Die Gaskonstante als Produkt von Avogadro- und Boltzmann-Konstante tritt in diversen Bereichen der Thermodynamik auf, hauptsächlich in der Beschreibung idealer Gase. So ist die [[innere Energie]] <math>U</math> idealer Gase
+:<math>U = \frac 12 f RT</math>
+mit der Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e des Gases <math>f</math> und davon abgeleitet die [[molare Wärmekapazität]] bei konstantem Volumen <math>C_V</math>
+:<math>C_V = \frac 12 fR</math>
+und die molare Wärmekapazität bei konstantem Druck <math>C_p</math>
+:<math>C_p = \left(1 + \frac 12 f \right)R\,.</math>
-Die Gaskonstante hat den Wert:<ref>{{internetquelle |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?r |hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=26. Juli 2015}} Wert für die universelle Gaskonstante.</ref>
+Auch außerhalb der Thermodynamik von Gasen spielt die Gaskonstante eine Rolle, beispielsweise im [[Dulong-Petit-Gesetz]] für die Wärmekapazität von [[Festkörper]]n und [[Flüssigkeit]]en:
-:<math>R = 8{,}314\;459\;8\;(48) \ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol\ K}} </math>
+:<math>C_{p_{\,\text{fest, flüssig}}} \approx C_{V_{\,\text{fest, flüssig}}} \approx 3R</math>
-wobei die eingeklammerten Ziffern die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes bezeichnen, diese Unsicherheit ist als [[CODATA#Standardunsicherheiten von CODATA-Werten|geschätzte Standardabweichung]] des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.
-Die allgemeine Gaskonstante wurde auf [[Empirik|empirischem]] Weg als [[Proportionalität]]skonstante der [[Thermische Zustandsgleichung idealer Gase|allgemeinen Gasgleichung]] idealer Gase
-:<math>p\;V = n\;R\;T</math>
-ermittelt. Hier dient sie der Verknüpfung der [[Zustandsgröße]]n [[Temperatur]] <math>T</math>, [[Stoffmenge]] <math>n</math>, [[Druck (Physik)|Druck]] <math>p</math> und [[Volumen]] <math>V</math>, wird jedoch auch in zahlreichen weiteren Anwendungen und Formeln genutzt.
-Es ist hierbei jedoch alles andere als offensichtlich, dass die molare Gaskonstante für alle [[Ideales Gas|idealen Gase]] denselben Wert hat und dass es in der Folge eine ''universelle'' bzw. ''allgemeine'' Gaskonstante gibt. Man könnte vermuten, dass der [[Gasdruck]] von der [[Molekülmasse]] des Gases abhängt, was aber für ideale Gase ''nicht'' der Fall ist. Die Feststellung, dass die molare Gaskonstante für verschiedene ideale Gase identisch ist, folgt aus dem [[Gesetz von Avogadro]], das 1811 erstmals von [[Amadeo Avogadro]] postuliert wurde.
-Das Produkt <math>n \cdot R</math> aus Stoffmenge und allgemeiner Gaskonstante wurde früher als '''Regnaultsche Zahl''' oder '''Regnaultsche Konstante''' (nach [[Henri Victor Regnault]]) bezeichnet.
 == Spezifische Gaskonstante ==
 {| class="wikitable float-right sortable"
-|+ Spezifische Gaskonstante und molare Masse<ref>Langeheinecke: ''Thermodynamik für Ingenieure.'' Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0418-1 </ref>
+|+Spezifische Gaskonstante und molare Masse<ref>Langeheinecke: ''Thermodynamik für Ingenieure.'' Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0418-1</ref>
 |-
-! class="unsortable" | Gas!! <math> R_\mathrm{s} </math> <br /> in J·kg<sup>−1</sup>·K<sup>−1</sup>!! <math> M </math> <br /> in g·mol<sup>−1</sup>
+!class="unsortable"| Gas!! <math> R_\mathrm{s} </math><br /> in J·kg<sup>−1</sup>·K<sup>−1</sup>!! <math> M </math><br /> in g·mol<sup>−1</sup>
 |-
-|[[Argon]], Ar || 208,1 || 39,95
+|[[Argon]], Ar || style="border-right:2em;text-align:right" | 208,1 || style="border-right:2em;text-align:right" | 39,95{{0}}
 |-
-|[[Kohlenstoffdioxid]], CO<sub>2</sub> || 188,9 || 44,01
+|[[Helium]], He  || style="border-right:2em;text-align:right"  | 2077,1 || style="border-right:2em;text-align:right" | 4,003
 |-
-|[[Kohlenstoffmonoxid]], CO || 296,8 || 28,01
+|[[Kohlenstoffdioxid]], CO<sub>2</sub> || style="border-right:2em;text-align:right"  | 188,9 || style="border-right:2em;text-align:right" | 44,01{{0}}
 |-
-|[[Helium]], He  || 2077,1 || 4,003
+|[[Kohlenstoffmonoxid]], CO || style="border-right:2em;text-align:right" | 296,8 || style="border-right:2em;text-align:right" | 28,01{{0}}
 |-
-|[[Wasserstoff]], H<sub>2</sub>  || 4124,2 || 2,016
+|[[trockene Luft]] || style="border-right:2em;text-align:right" | 287,1 || style="border-right:2em;text-align:right" | 28,96{{0}}
 |-
-|[[Methan]], CH<sub>4</sub> || 518,4 || 16,04
+|[[Methan]], CH<sub>4</sub> || style="border-right:2em;text-align:right"  | 518,4 || style="border-right:2em;text-align:right" | 16,04{{0}}
 |-
-|[[Stickstoff]], N<sub>2</sub> || 296,8 || 28,01
+|[[Propan]], C<sub>3</sub>H<sub>8</sub> || style="border-right:2em;text-align:right"  | 188,5 || style="border-right:2em;text-align:right" | 44,10{{0}}
 |-
-|[[Sauerstoff]], O<sub>2</sub> || 259,8 || 32,00
+|[[Sauerstoff]], O<sub>2</sub> || style="border-right:2em;text-align:right" | 259,8 || style="border-right:2em;text-align:right" | 32,00{{0}}
 |-
-|[[Propan]], C<sub>3</sub>H<sub>8</sub> || 188,5 || 44,10
+|[[Schwefeldioxid]], SO<sub>2</sub> || style="border-right:2em;text-align:right" | 129,8 || style="border-right:2em;text-align:right" | 64,06{{0}}
 |-
-|[[Schwefeldioxid]], SO<sub>2</sub> || 129,8 || 64,06
+|[[Stickstoff]], N<sub>2</sub> || style="border-right:2em;text-align:right" | 296,8 || style="border-right:2em;text-align:right" | 28,01{{0}}
 |-
-|[[trockene Luft]] || 287,1 || 28,96
+|[[Wasserdampf]], H<sub>2</sub>O || style="border-right:2em;text-align:right" | 461,4 || style="border-right:2em;text-align:right" | 18,02{{0}}
 |-
-|[[Wasserdampf]], H<sub>2</sub>O || 461,4 || 18,02
+|[[Wasserstoff]], H<sub>2</sub>  || style="border-right:2em;text-align:right" | 4124,2 || style="border-right:2em;text-align:right" | 2,016
 |}
-Bezieht man die universelle Gaskonstante durch Division auf die [[molare Masse]] <math>M</math> eines bestimmten Gases erhält man die '''[[spezifische Größe|spezifische]]''' oder auch '''individuelle Gaskonstante''' ([[Formelzeichen]]: <math>R_{\rm s}, R_{\rm i}, R_{\rm{spez}}=\frac{R}{M}</math>)
+Division der universellen Gaskonstante durch die [[molare Masse]] <math>M</math> eines bestimmten Gases liefert die [[Spezifische Größe|spezifische]] (auf die [[Masse (Physik)|Masse]] bezogene) und für das Gas [[Spezies (Chemie)|spezielle]] oder auch ''individuelle'' Gaskonstante, [[Formelzeichen]]:
+:<math>R_{\rm s}, R_{\rm i}, R_{\rm{spez}} = \frac R M.</math>
 === Beispiel an Luft ===
-Die molare Masse für [[trockene Luft]] beträgt 0,028&nbsp;964&nbsp;4&nbsp;kg/mol<ref>Günter Warnecke: ''Meteorologie und Umwelt: Eine Einführung (Google eBook)'' S. 14. [https://books.google.de/books?id=cJHKBgAAQBAJ&pg=PA14&lpg=PA14 Vorschau bei Google Books] (abgerufen am 1. April 2015).</ref>. Somit ergibt sich für die spezifische Gaskonstante von Luft:
+Die molare Masse für [[trockene Luft]] beträgt 0,028&nbsp;964&nbsp;4&nbsp;kg/mol<ref>Günter Warnecke: ''Meteorologie und Umwelt: Eine Einführung.'' Google eBook, S.&nbsp;14, {{Google Buch|BuchID=cJHKBgAAQBAJ|Seite=14}}.</ref>. Somit ergibt sich für die spezifische Gaskonstante von Luft:
-:<math>R_\mathrm{s,Luft} = \frac{8{,}314\;459\;8\ \mathrm{J}/(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K})}{0{,}028\;964\;4\ \mathrm{kg}/\mathrm{mol}} = 287{,}058\ \mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>
+:<math>R_\mathrm{s,Luft} = \frac{8{,}314\;46\;\mathrm{J}/(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K})}{0{,}028\;964\;4\ \mathrm{kg}/\mathrm{mol}} = 287{,}058\ \mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>
 Die thermische Zustandsgleichung für ideale Gase ist dann:
-:<math>p\;V = m\;R_\mathrm{s}\;T</math>
+:<math>p\,V = m\,R_\mathrm{s}\,T</math>
-wobei m die [[Masse_(Physik)|Masse]] ist.
+wobei <math>m</math> die Masse ist.
 == Einzelnachweise ==

Physikalische Konstante
Name	Universelle Gaskonstante
Formelzeichen	$$ R $$
Wert
SI	8.31446261815324 $\textstyle {\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {mol\,K} }}$ ^[1]
Unsicherheit (rel.)	(exakt)
Bezug zu anderen Konstanten
$R=N_{\mathrm {A} }\cdot k_{\mathrm {B} }$ $N_{\mathrm {A} }$ : Avogadro-Konstante $k_{\mathrm {B} }$ : Boltzmann-Konstante
Quellen und Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA 2018 (Direktlink)