Eine dynamische Theorie des elektromagnetischen Feldes

„Eine dynamische Theorie des elektromagnetischen Feldes“ (Originaltitel: “A dynamical theory of the electromagnetic field”) ist die 1864 veröffentlichte dritte Schrift von James Clerk Maxwell zur Elektrodynamik.^[1] Es ist die Veröffentlichung in der die ursprünglichen vier Formeln der Maxwellsche Gleichungen das erste Mal vorkamen. Das Konzept des Verschiebungsstromes, welches er 1861 in seiner Veröffentlichung On physical lines of force eingeführt hatte, nutzte er zur Herleitung der elektromagnetischen Wellengleichung.^[2]

Maxwells ursprüngliche Gleichungen

In Teil III von Eine dynamische Theorie des elektromagnetischen Feldes mit dem Titel „Allgemeine Gleichungen des elektromagnetischen Feldes“ (Orig.: "General equations of the electromagnetic field") formulierte Maxwell zwanzig Gleichungen.^[1] Diese waren als die Maxwell’sche Gleichungen bekannt, bis der Begriff angewendet wurde für den Satz der vier vektorisierten Gleichungen von Oliver Heaviside, veröffentlicht 1884 in On physical lines of force.^[2]

Heavisides schrieb seine Version der Maxwell’schen-Gleichungen in moderner Vektor-Schreibung. Sie enthalten nur eine der ursprünglichen Gleichungen, das gaußsche Gesetz (G). Eine andere der vier Heaviside-Gleichungen ist eine Fusion der Maxwell’schen Gesetze des Total Currents (A) und Ampère’s circuital law (C). Diese Fusion, die Maxwell ursprünglich selbst in Gleichung 112 in On physical lines of force durchführte, fügt Ampère’s Circuital Law Maxwells Verschiebungsstrom hinzu.^[2]

18 der 20 ursprünglichen Maxwellschen Gleichungen können durch Vektorisierung in sechs Gleichungen zusammengefasst werden. Jede vektorisierte Gleichung entspricht drei ursprünglichen in Komponentenform. Zusammen mit den beiden anderen Gleichungen in moderner Vektornotierung bilden sie ein Set von acht Gleichungen:

(A) The law of total currents

$ \mathbf {J} _{\mathrm {tot} }=\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}} $

(B) Definition des magnetischen Potenzials

$ \mu \mathbf {H} =\nabla \times \mathbf {A} $

(C) Ampèresches Gesetz

$ \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {tot} } $

(D) Die Lorentz-Kraft

$ \mathbf {E} =\mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi $

(E) Die Gleichung der elektrischen Elastizität

$ \mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon }}\,\mathbf {D} $

(F) Ohm’sches Gesetz

$ \mathbf {E} ={\frac {1}{\sigma }}\,\mathbf {J} $

(G) Gaußsches Gesetz

$ \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho $

(H) Gleichung der Ladungserhaltung

$ \nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}} $

Notation

$ \mathbf {H} $ ist das magnetische Feld (von Maxwell genannt „magnetische Intensität“).

$ \mathbf {J} $ ist die elektrische Stromdichte (mit $ \mathbf {J} _{\mathrm {tot} } $ als der gesamte Strom inklusive des Verschiebungsstroms).

$ \mathbf {D} $ ist die magnetische Flussdichte (von Maxwell genannt „elektrische Verschiebung“).

$ \rho $ ist die freie Ladungsdichte („Menge der freien Elektrizität“ nach Maxwell).

$ \mathbf {A} $ ist das magnetische Vektorpotential („Drehimpuls“ bei Maxwell).

$ \mathbf {E} $ ist das elektrische Feld (bei Maxwell „Elektromotorische Kraft“).

$ \phi $ ist das elektrische Potential.

$ \sigma $ ist die elektrische Leitfähigkeit (Maxwell nannte den Kehrwert der Leitfähigkeit „spezifischen Widerstand“).

Maxwell bezog nicht allgemeine Materialieneigenschaften mit ein; seine ursprüngliche Formulierung setzte lineare, isotrope und nicht-dispersive ε (Permittivität) und μ (Permeabilität)voraus. Allerdings diskutierte er die Möglichkeit von anisotropen Materialien.

Es ist von besonderem Interesse, das Maxwell den Term $ \mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} $ in seiner Gleichung (D) für die „elektromotorische Kraft“ einfügte. Dieser entspricht der magnetischen Kraft pro Ladungseinheit die auf einen mit der Geschwindigkeit $ \mathbf {v} $ bewegten Leiter wirkt. Die Gleichung (D) beschreibt damit effektiv die Lorentzkraft. Diese Gleichung kommt das erste Mal vor bei Gleichung (77) in der Veröffentlichung On physical lines of force einige Zeit bevor Lorentz diese Gleichung fand.^[2] Heute wird die Lorentzkraft neben den Maxwell-Gleichungen aber nicht als deren Bestandteil behandelt.

Als Maxwell in seinem Paper von 1864 die elektromagnetische Wellengleichung herleitete, nutzte er die Gleichung (D) anstatt des Faradayschen Gesetzes der elektromagnetischen Induktion, wie es heute in Lehrbüchern steht. Allerdings ließ Maxwell bei der Herleitung in Gleichung (D) den Term $ \mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} $ fallen.

Licht als elektromagnetische Welle

James Clerk Maxwell: Vater der Theorie des Elektromagnetismus

Eine Postkarte von Maxwell an Peter Tait.

In A dynamical theory of the electromagnetic field nutzt Maxwell die Korrektur am Ampèreschen Gesetz aus Teil III von On physical lines of force.^[1] In Teil VI seiner Publikation Electromagnetic theory of light von 1864 kombinierte er den Verschiebungsstrom mit anderen Gleichungen des Elektromagnetismus und erhielt eine Wellengleichung mit einer Geschwindigkeit, die der Lichtgeschwindigkeit entsprach. Dies kommentierte er:

Maxwells Herleitung der elektromagnetischen Wellengleichung wurde in der modernen Physik durch eine weniger mühsame Methode ersetzt, mit einer korrigierten Version des Ampèreschen Gesetzes und dem Faradayschen Gesetz der elektromagnetischen Induktion.

Die moderne Herleitung der elektromagnetischen Wellengleichung in Vakuum beginnt mit der Heaviside-Form der Maxwellschen Gleichung. In Si-Einheiten geschrieben sind dies:

$ \nabla \cdot \mathbf {E} =0 $

$ \nabla \times \mathbf {E} =-\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}} $

$ \nabla \cdot \mathbf {H} =0 $

$ \nabla \times \mathbf {H} =\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}} $

Nehmen wir die Rotation der Rotationsgleichungen erhalten wir:

$ \nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {H} =-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}} $

$ \nabla \times \nabla \times \mathbf {H} =\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {E} =-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {H} }{\partial t^{2}}} $

Mit der Identität der Vektorgleichungen

$ \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} $

mit $ \mathbf {V} $ als jede der räumlichen Vektorfunktion, erhalten wir die Wellengleichungen

$ {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\ -\ c^{2}\cdot \nabla ^{2}\mathbf {E} \ =\ 0 $

$ {\frac {\partial ^{2}\mathbf {H} }{\partial t^{2}}}\ -\ c^{2}\cdot \nabla ^{2}\mathbf {H} \ =\ 0 $

mit

$ c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2{,}99792458\times 10^{8} $ Meter pro Sekunde

als Vakuumlichtgeschwindigkeit.

Literatur

• James C. Maxwell, Thomas F. Torrance: A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field. Wipf and Stock, Eugene, OR March 1996, ISBN 1-57910-015-5.
• W. D. Niven: The Scientific Papers of James Clerk Maxwell, Band Vol. 1. Dover, New York 1952.
• Kevin Johnson: The electromagnetic field. In: James Clerk Maxwell – The Great Unknown. May 2002. Abgerufen im Sept. 7, 2009.

Einzelnachweise