Phasenraum

Der Phasenraum beschreibt die Menge aller möglichen Zustände eines dynamischen Systems. Dessen verschiedene mögliche Zustände werden je durch einen Punkt im Phasenraum eindeutig abgebildet. In der Mechanik besteht er aus (verallgemeinerten) Ortskoordinaten (Konfigurationsraum) und zugehörigen (verallgemeinerten) Impulsen (siehe Hamilton-Mechanik).

Hauptteil

Bei n Freiheitsgraden (Anzahl generalisierter Koordinaten oder Ortskoordinaten) ist der Phasenraum 2n-dimensional. Beispielsweise hat ein Gasteilchen im dreidimensionalen Raum $ n=3 $ Freiheitsgrade, mit den zugehörigen Impulsen sind das 6 Phasenraumkoordinaten. Ein System (Gas) von N Teilchen hat einen 6N-dimensionalen Phasenraum. Es werden aber auch Phasenräume in anderen Anwendungen außerhalb der Mechanik untersucht.

Die zeitliche Entwicklung eines Punktes im Phasenraum wird durch Differentialgleichungen beschrieben und durch Trajektorien (Bahnkurven, Orbit) im Phasenraum dargestellt. In der Hamilton-Mechanik sind dies Differentialgleichungen erster Ordnung in der Zeit (kanonische Gleichungen) und durch einen Anfangspunkt eindeutig festgelegt (ist die Hamilton-Funktion zeitunabhängig, sind dies autonome Differentialgleichungen). Dementsprechend kreuzen sich zwei Trajektorien im Phasenraum auch nicht,^[1] da an einem Kreuzungspunkt der weitere Verlauf nicht eindeutig ist. Geschlossene Kurven beschreiben oszillierende (periodische) Systeme.

Konstruktion eines Phasen(raum)portraits für ein mathematisches Pendel

Für Systeme mit bis zu drei Variablen kann der Phasenraum graphisch dargestellt werden. Insbesondere für zwei Variable kann man so die Bewegung (Trajektorien, Phasenraumfluss als Vektorfeld) in einem Phasenraumportrait oder Phasenportrait anschaulich darstellen und qualitativ analysieren (Phasenraumanalyse, Nullklinen und Fixpunkte).

Der historische Ursprung der Verwendung von Phasenräumen wird häufig auf Joseph Liouville zurückgeführt – wegen des Satzes von Liouville (1838), dass bei konservativen Systemen (mit Energieerhaltung) das Phasenraumvolumen benachbarter Trajektorien zeitlich konstant ist. Liouville hatte aber kein mechanisches System im Auge, sondern bewies den Satz für allgemeine gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung, die Verbindung zur Mechanik schlug erst Carl Gustav Jacobi vor.^[2] Das Phasenraumkonzept entstand erst, nachdem im weiteren Verlauf des 19. Jahrhunderts die Geometer zur Betrachtung höherdimensionaler Räume übergegangen waren und die erste Verwendung des Phasenraums im heutigen Sinn war bei Ludwig Boltzmann 1872^[3] im Rahmen seiner Untersuchungen der statistischen Mechanik, was 1879 von James Clerk Maxwell übernommen wurde^[4]. Das Konzept fand dann Verwendung in den Vorlesungen von Boltzmann und Josiah Willard Gibbs zur statistischen Mechanik, im Artikel zur statistischen Mechanik in der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften von 1911 von Paul Ehrenfest und Tatjana Ehrenfest (der die Bezeichnung $ \Gamma $ für den Phasenraum einführte) und in der qualitativen Theorie der Differentialgleichungen durch Henri Poincaré.

Ein dynamisches System, dessen Trajektorien den gesamten Phasenraum ausfüllen, also jedem Punkt im Phasenraum beliebig nahe kommen, nennt man ergodisch, siehe auch Ergodenhypothese. Bei konservativen mechanischen Systemen (abgeschlossene Systemen) ist nach dem Satz von Liouville das Phasenraumvolumen benachbarter Trajektorien zeitlich konstant, bei dissipativen Systemen nimmt es ab (offene Systeme).

Mathematisch ist der Phasenraum der Hamiltonschen Mechanik ein Beispiel für eine Symplektische Geometrie und die Hamiltonsche Mechanik nach den Worten von Wladimir Arnold ist die Geometrie des Phasenraums^[5]. Da die Impulse als Ableitungen der Hamiltonfunktion nach den generalisierten Koordinaten definiert sind ist der Phasenraum dort ein Kotangentialbündel über dem Konfigurationsraum.

In der Quantenmechanik drückt die Heisenbergsche Unschärferelation eine Quantisierung des Phasenraums aus. In der älteren Quantentheorie erfolgt dies durch die Bohr-Sommerfeld Quantisierung. Übergänge von Verteilungsfunktionen vom klassischen zum quantenmechanischen Phasenraum (und umgekehrt) liefern die Wigner-Funktion und Weyl-Quantisierung.

Beispiel einer Phasenraumanalyse

Phasenportrait des gedämpften Feder-Masse-Schwingers mit Vektorfeld und Trajektorie

Phasenportrait des van-der-Pol-Oszillators mit Vektorfeld und typischen Trajektorien

Das Phasenraumportrait gibt eine Möglichkeit, die zeitlichen Entwicklungen dynamischer Systeme graphisch zu analysieren. Dazu werden nur die dynamischen Gleichungen des Systems benötigt, eine explizite Darstellung der Zeitentwicklung, etwa durch analytisches Lösen einer Differentialgleichung, ist nicht nötig.

Als Beispiel folgen einige Elemente der Phasenraumanalyse in einem zweidimensionalen System $ {x,y} $, das durch die Differentialgleichungen ($ x'={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}} $, $ y'={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}} $)

$ x'=f(x,y) $

$ y'=g(x,y) $

beschrieben ist:

• Einzeichnen des Vektorfelds der Dynamik: Für ein Raster von Punkten wird die Richtung der Bewegung im Phasenraum durch Pfeile dargestellt. Folgt man nun ausgehend von einem bestimmten Startpunkt dem Pfeil, kommt man zu einem neuen Punkt, wo man dieses Vorgehen wiederholen kann. So kann man anhand des Vektorfelds zusätzlich typische Trajektorien in das Phasenraumportrait einzeichnen, die das qualitative Verhalten der zeitlichen Entwicklung einzuschätzen helfen. Beim van-der-Pol-Oszillator zum Beispiel laufen alle Trajektorien auf einen Grenzzyklus zu, was sich anhand von Beispieltrajektorien innerhalb und außerhalb des Zyklus illustrieren lässt. Für einfache dynamische Systeme kann man Vektorfeld und Beispieltrajektorien oft mit der Hand einzeichnen, bei komplexeren Systemen kann dies durch Computerprogramme geschehen.

• Einzeichnen der Nullklinen: Eine Nullkline bezeichnet eine Kurve im Phasenraum, entlang der sich eine der dynamischen Variablen nicht ändert. Im Fall des obigen zweidimensionalen Systems ist die x-Nullkline durch die Bedingung $ x'=f(x,y)=0 $ und die y-Nullkline durch $ y'=g(x,y)=0 $ definiert. Diese Gleichungen lassen sich häufig auch dann nach einer der Variablen auflösen, wenn die Gesamtdynamik nicht analytisch integriert werden kann.

• Bestimmen von Fixpunkten und ihrer Stabilität: Als Fixpunkte werden Zustände bezeichnet, die sich mit der Zeit nicht ändern. Solche Fixpunkte entsprechen den Kreuzungspunkten der Nullklinen im Phasenraum. Im obigen zweidimensionalen System erklärt sich das dadurch, dass an so einem Kreuzungspunkt die Bedingung $ g(x,y)=f(x,y)=0 $ erfüllt ist. Durch eine lineare Stabilitätsanalyse kann auch bestimmt werden, ob Trajektorien in der Nähe dieser Punkte angezogen oder abgestoßen werden.

• Finden von Separatrizen: Als Separatrix (abgeleitet von lat. {{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Multilingual:149: attempt to index field 'data' (a nil value) „trennen“) wird eine Kurve bzw. (Hyper-) Fläche bezeichnet, die Phasenraumgebiete mit unterschiedlichem (Langzeit-) Verhalten voneinander trennt.^[6] Gibt es beispielsweise zwei Fixpunkte, die Trajektorien anziehen, gibt es unter Umständen eine Separatrix, die die beiden Einzugsbereiche voneinander trennt. Mit den Orten und der Stabilität aller Fixpunkte bzw. mit dem Vektorfeld der Dynamik können in geeigneten Fällen die Separatrizen ohne weitere Berechnungen gefunden werden.

Einzelnachweise

Siehe auch

• Zustandssumme
• Siehe auch die Diskussion von Fixpunkten bei Autonome Differentialgleichung
• Impulsraum

Literatur

• Y. S. Kim: The physics of phase space. Springer, Berlin 1987, ISBN 3-540-17894-5.
• Cosmas K. Zachos: Quantum mechanics in phase space – an overview with selected papers. World Scientific, Singapore 2005, ISBN 978-981-238-384-6.
• V. Arnold: Mathematical methods of classical mechanics. Springer 1989.

Weblinks

• State space. In: Scholarpedia.org. (Englisch, inkl. Literaturangaben).