Heisenbergsche Bewegungsgleichung

Die Heisenbergsche Bewegungsgleichung, auch Heisenberg-Bewegungsgleichung oder Heisenberg-Gleichung, bestimmt die zeitliche Entwicklung eines quantenmechanischen Systems in der Matrixdarstellung. Sie wurde von Werner Heisenberg in den 1920er Jahren entwickelt und ist Teil des Heisenberg-Bildes der Quantenmechanik. Der wesentliche Unterschied zur Formulierung der Quantenmechanik über die Schrödingergleichung ist, dass in diesem Fall die Zustände die zeitliche Dynamik tragen und die Operatoren konstant sind, hingegen in der Heisenberg-Darstellung die Operatoren die zeitliche Dynamik tragen, während der Zustandsvektor, auf den die Operatoren wirken, zeitlich konstant ist. Daher ist die heisenbergsche Formulierung näher an der klassischen Mechanik, was sich auch durch die formale Ähnlichkeit der klassischen Bewegungsgleichungen, ausgedrückt mit Hilfe der Poisson-Klammern zeigt.

Die Heisenbergsche Bewegungsgleichung ersetzt im Heisenberg-Bild der Quantenmechanik die Schrödinger-Gleichung des Schrödinger-Bildes.

Die Bewegungsgleichung selbst lautet:

$ {\frac {\mathrm {d} A_{\rm {H}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\left[H_{\rm {H}},A_{\rm {H}}\right]+\left(\partial _{t}A_{\rm {S}}\right)_{\rm {H}} $

wobei $ H_{\rm {H}} $ der Hamilton-Operator des Systems im Heisenberg-Bild und $ \left[H_{\rm {H}},A_{\rm {H}}\right]\equiv H_{\rm {H}}A_{\rm {H}}-A_{\rm {H}}H_{\rm {H}} $ ein Kommutator ist. Zur Kennzeichnung des Bildes wird jeweils der Index "H" für das Heisenbergbild und "S" für das Schrödingerbild eingefügt.

Wenn eine Observable $ A $ im Schrödingerbild nicht explizit zeitabhängig ist $ {\tfrac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}=0 $ und zudem mit dem Hamiltonoperator vertauscht, sind die Eigenwerte des Operators eine Erhaltungsgröße.

Bewegungsgleichung für Erwartungswerte

Da im Heisenbergbild die Zustände zeitunabhängig sind $ {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|\psi _{\rm {H}}\rangle =0 $

$ \left\langle {\frac {\mathrm {d} A_{\rm {H}}}{\mathrm {d} t}}\right\rangle =\langle \psi _{\rm {H}}|{\frac {\mathrm {d} A_{\rm {H}}}{\mathrm {d} t}}|\psi _{\rm {H}}\rangle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle \psi _{\rm {H}}|A_{\rm {H}}|\psi _{\rm {H}}\rangle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle A_{\rm {H}}\rangle $

kann man sofort die Heisenberggleichung der Erwartungswerte angeben:

$ {\frac {\mathrm {d} \langle A_{\rm {H}}\rangle }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\left\langle \left[H_{\rm {H}},A_{\rm {H}}\right]\right\rangle +\left\langle \left(\partial _{t}A_{\rm {S}}\right)_{\rm {H}}\right\rangle $

Aufgrund der Invarianz des Skalarprodukts unter Bildwechsel (die Erwartungswerte eines Operators sind in allen Bildern gleich), kann man die Gleichung bildunabhängig schreiben:

$ {\frac {\mathrm {d} \langle A\rangle }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\left\langle \left[H,A\right]\right\rangle +\left\langle \partial _{t}A\right\rangle $

Diese Gleichung ist als Ehrenfest-Theorem bekannt.

Äquivalenz zwischen Schrödinger- und Heisenberg-Gleichung

Im Folgenden wird ausgehend von der Schrödingergleichung die Heisenbergsche Bewegungsgleichung abgeleitet. Die umgekehrte Richtung ist ebenfalls möglich.

Der Darstellungswechsel eines Operators vom Schrödinger- ins Heisenbergbild geschieht über

$ A_{\rm {H}}(t)=U^{\dagger }(t)\,A_{\rm {S}}(t)\,U(t) $

wobei $ U(t) $ der Zeitentwicklungsoperator und $ U^{\dagger }(t) $ sein adjungierter Operator ist.

Durch Anwenden des Zeitentwicklungsoperators $ U(t) $ auf einen Zustandsvektor im Schrödingerbild zum Zeitpunkt $ t_{0}=0 $ erhält man den Zustandsvektor zum Zeitpunkt $ t $. Im Folgenden wird stets die abkürzende Schreibweise $ U(t,0)=U(t) $ verwendet:

$ |\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =U(t)|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle $

Einsetzen der zeitabhängigen Wellenfunktion in die Schrödingergleichung $ \mathrm {i} \hbar {\tfrac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =H_{\rm {S}}(t)|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle $ liefert:

$ \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}U(t)|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle =H_{\rm {S}}(t)U(t)|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle $

Man bekommt eine zur Schrödingergleichung äquivalente Operatorgleichung:

$ \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}U(t)=H_{\rm {S}}(t)U(t) $

Vom Operator $ A_{\rm {H}}(t) $

$ A_{\rm {H}}(t)=U^{\dagger }(t)\,A_{\rm {S}}(t)\,U(t) $

wird die Zeitableitung gebildet, wobei die Produktregel angewandt wird:

$ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}A_{\rm {H}}=\left({\frac {\partial }{\partial t}}U^{\dagger }\right)A_{\rm {S}}\,U+U^{\dagger }\,A_{\rm {S}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}U\right)+U^{\dagger }\left({\frac {\partial }{\partial t}}A_{\rm {S}}\right)U $

Nun werden obige Operatorgleichungen und deren adjungierte

$ {\frac {\partial }{\partial t}}U=-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}H_{\rm {S}}U $   und   $ {\frac {\partial }{\partial t}}U^{\dagger }={\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}U^{\dagger }H_{\rm {S}} $

eingesetzt:

$ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}A_{\rm {H}}=\left({\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}U^{\dagger }H_{\rm {S}}\right)A_{\rm {S}}\,U+U^{\dagger }\,A_{\rm {S}}\left(-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}H_{\rm {S}}U\right)+U^{\dagger }\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)U $

Zusammenfassen:

$ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}A_{\rm {H}}={\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\left(U^{\dagger }H_{S}A_{\rm {S}}U-U^{\dagger }A_{\rm {S}}H_{S}U\right)+U^{\dagger }\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)U $

Nun schiebt man geschickt eine $ 1=UU^{\dagger } $ zwischen $ H_{\rm {S}}A_{\rm {S}} $ und zwischen $ A_{\rm {S}}H_{\rm {S}} $ ein:

$ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}A_{\rm {H}}={\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}(\underbrace {U^{\dagger }H_{\rm {S}}U} _{H_{\rm {H}}}\underbrace {U^{\dagger }A_{\rm {S}}{\hat {U}}} _{A_{\rm {H}}}-\underbrace {U^{\dagger }A_{\rm {S}}U} _{A_{\rm {H}}}\underbrace {U^{\dagger }H_{\rm {S}}U} _{H_{\rm {H}}})+\underbrace {U^{\dagger }\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)U} _{\left(\partial _{t}A_{\rm {S}}\right)_{\rm {H}}}={\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}(H_{\rm {H}}A_{\rm {H}}-A_{\rm {H}}H_{\rm {H}})+\left(\partial _{t}A_{\rm {S}}\right)_{\rm {H}} $

Mit dem Kommutator lässt sich die Heisenbergsche Bewegungsgleichung kompakt schreiben:

$ {\frac {\mathrm {d} A_{\rm {H}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\left[H_{\rm {H}},A_{\rm {H}}\right]+\left(\partial _{t}A_{\rm {S}}\right)_{\rm {H}} $

Literatur

• Franz Schwabl: Quantenmechanik. (QM I). Eine Einführung. 7. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-73674-5.