Gaußsche Vektoren

Die Gaußschen Vektoren dienen in der Astronomie und in der Raumfahrt als Spaltenvektoren einer Matrix als Hilfe zur Koordinatentransformation zwischen Koordinaten des rotierenden äquatorialen Koordinatensystems und Koordinaten der Bahnebene. Mit ihnen ist ein eindeutiger Bezug zwischen den Koordinaten eines Himmelskörpers auf seiner Bahn um einen Planeten und der Lage im raumfesten rotierenden äquatorialen Koordinatensystem gegeben. Mit Hilfe der 3 Bahnelemente Inklination $ i $, dem Argument des Knotens (Knotenlänge) $ \Omega $ und dem Argument der Periapsis $ \omega $ können die 3 Einheitsvektoren $ P $, $ Q $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W gebildet werden.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P = \begin{pmatrix} +\cos\omega \cdot \cos\Omega - \sin\omega \cdot \cos i \cdot \sin\Omega \\ +\cos\omega \cdot \sin\Omega + \sin\omega \cdot \cos i \cdot \cos\Omega \\ +\sin\omega \cdot \sin i \end{pmatrix}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q = \begin{pmatrix} -\sin\omega \cdot \cos\Omega - \cos\omega \cdot \cos i \cdot \sin\Omega \\ -\sin\omega \cdot \sin\Omega + \cos\omega \cdot \cos i \cdot \cos\Omega \\ +\cos\omega \cdot \sin i \end{pmatrix}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W = \begin{pmatrix} +\sin i \cdot \sin\Omega \\ -\sin i \cdot \cos\Omega \\ +\cos i \end{pmatrix}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P zeigt vom Zentrum des Planeten zum Perizentrum der Bahn des Himmelskörpers, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q zeigt vom Planetenzentrum in Richtung der wahren Anomalie bei 90° und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W steht senkrecht auf beiden Vektoren. Dabei definieren die 3 Vektoren das System der Bahnebene des Himmelskörpers und sind die Spaltenvektoren der Matrix

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,(P, Q, W) = R_{z}(-\Omega) R_{x}(-i) R_{z}(-\omega) .

Über den Ausdruck

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = R_{z}(-\Omega) R_{x}(-i) R_{z}(-\omega) r \begin{pmatrix} \cos \vartheta \\ \sin \vartheta \\ 0 \end{pmatrix} \!\,

können die drei Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z des rotierenden äquatorialen Koordinatensystems wiedergegeben werden, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vartheta die wahre Anomalie ist.

Literatur

• Oliver Montenbruck, Eberhard Gill: Satellite orbits: models, methods, and applications. Springer, Berlin 2000, ISBN 978-3540672807, S. 24–27.