Quelltext der Seite De-Sitter-Raum

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In [[Mathematik]] und [[Physik]] ist ein ''n''-dimensionaler '''De-Sitter-Raum''' (nach [[Willem de Sitter]]), notiert <math>dS_n</math>, die [[lorentzsche Mannigfaltigkeit]] analog zu einer ''n''-[[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] (mit ihrer [[kanonische Basis|kanonischen]] [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeit]]); er ist maximal [[Symmetrie (Geometrie)|symmetrisch]], hat eine konstante positive [[Krümmung]] und ist [[Zusammenhängender Raum#Einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]] für <math>n \geq 3</math>.

Im vierdimensionalen [[Minkowski-Raum]] (3&nbsp;Raumdimensionen plus die Zeit) bzw. in der [[Raumzeit]] ist der De-Sitter-Raum das Analogon zu einer [[Kugel]] im gewöhnlichen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]].

In der Sprache der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] ist der De-Sitter-Raum die maximal symmetrische [[Vakuumlösung]] der [[Einsteinsche Feldgleichungen|einsteinschen Feldgleichungen]] mit einer positiven (repulsiven) [[Kosmologische Konstante|kosmologischen Konstanten]] <math>\Lambda</math> (entsprechend einer positiven [[Vakuumenergie]]<nowiki />dichte und negativem Druck) und damit ein [[Kosmologie|kosmologisches]] Modell für das physikalische [[Universum]]; siehe [[De-Sitter-Modell]].

Der De-Sitter-Raum wurde 1917 von Willem de Sitter entdeckt und gleichzeitig – unabhängig von de Sitter – von [[Tullio Levi-Civita]].

== Definition ==
[[File:HyperboloidDeSitter.png|thumb|300px|2-dimensionaler De-Sitter-Raum. Radius und Volumen erreichen am Zeitpunkt t = 0 ihren Minimalwert.]]
Der De-Sitter-Raum kann definiert werden als [[Untermannigfaltigkeit]] eines Minkowski-Raumes einer höheren [[Dimension (Mathematik)|Dimension]].

Betrachtet man also den Minkowski-Raum <math>\R^{1,n}</math> mit dem üblichen [[Metrischer Tensor|metrischen Tensor]]

:<math>ds^2 = -dx_0^2 + \sum_{i=1}^n dx_i^2.</math>

Dann ist der De-Sitter-Raum die Untermannigfaltigkeit, die durch das einschalige [[Hyperboloid]]

:<math>\alpha^2 = -x_0^2 + \sum_{i=1}^n x_i^2 ,</math>

beschrieben wird, wobei <math>\alpha</math> eine positive Konstante ist mit der Dimension einer Länge. Der metrische Tensor des De-Sitter-Raumes ist derjenige, der vom metrischen Tensor des Minkowski-Raumes erzeugt wird. Man kann überprüfen, dass die erzeugte Metrik nicht-entartet ist und eine [[Signatur (lineare Algebra)|Signatur]] der Form (1,k,0) hat. (Wenn in obiger Definition <math>\alpha^2</math> durch <math>-\alpha^2</math> ersetzt wird, erhält man ein zweischaliges Hyperboloid. In diesem Fall ist die erzeugte Metrik [[positiv definit]], und jede der beiden Schalen ist eine Kopie einer [[Hyperbolische Geometrie|hyperbolischen ''n''-Geometrie]].)

Der De-Sitter-Raum kann auch definiert werden als Quotient <math>\tfrac{\mathrm O(1,n)}{\mathrm O(1,n-1)}</math> zweier [[Lorentz-Gruppe]]n, was zeigt, dass er ein nicht-[[Riemannscher Raum|Riemannscher]] [[R0-Raum|symmetrischer Raum]] ist.

[[Topologie (Mathematik)|Topologisch]] ist der De-Sitter-Raum von der Form <math>\R \times S^{n-1}</math>.

== Eigenschaften ==
Die [[Isometrie]]<nowiki />gruppe des De-Sitter-Raumes ist die Lorentz-Gruppe <math>\mathrm O(1,n)</math>. Daher hat die Metrik <math>\tfrac{n(n+1)}{2}</math> unabhängige [[Killing-Vektorfeld|Killing-Vektoren]] und ist maximal symmetrisch. Jeder maximal symmetrische Raum hat konstante Krümmung. Der [[Riemannscher Krümmungstensor|Riemannsche Krümmungstensor]] <math>R_{\rho\sigma\mu\nu}</math> des De-Sitter-Raumes ist

:<math>R_{\rho\sigma\mu\nu} = {1\over \alpha^2}(g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu} - g_{\rho\nu}g_{\sigma\mu}).</math>

Der De-Sitter-Raum ist eine [[Einstein-Mannigfaltigkeit]], da der [[Ricci-Tensor]] <math>R_{\mu\nu}</math> proportional zur Metrik <math>g_{\mu\nu}</math> ist:

:<math>R_{\mu\nu} = \frac{n-1}{\alpha^2} \cdot g_{\mu\nu}.</math>

Das heißt, der De-Sitter-Raum ist eine Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen mit kosmologischer Konstante

:<math>\Lambda = \frac{n-1}{\alpha^2} \cdot \frac{n-2}{2}.</math>

Das [[Riemannscher Krümmungstensor#Skalarkrümmung|Krümmungsskalar]] dieses Raumes ist

:<math>R = \frac{n(n-1)}{\alpha^2} = \frac{2n}{n-2}\Lambda.</math>

Für ''n'' = 4 ergibt sich Λ = 3/α<sup>2</sup> und ''R'' = 4Λ = 12/α<sup>2</sup>.

== Statische Koordinaten ==
Für den De-Sitter-Raum lassen sich statische Koordinaten (Zeit <math>t</math>, Radius <math>r</math>, …) wie folgt [[Parametrierung|einführen]]:

:<math>x_0 = \sqrt{\alpha^2-r^2} \cdot \sinh(t/\alpha)</math>
:<math>x_1 = \sqrt{\alpha^2-r^2} \cdot \cosh(t/\alpha)</math>
:<math>x_i = r z_i</math> mit <math>2 \le i \le n ,</math>

wobei <math>z_i</math> die Standard-[[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]] der Sphäre <math>S^{n-2}</math> in '''R'''<sup>''n''−1</sup> darstellt.

In diesen Koordinaten nimmt die De-Sitter-Metrik folgende Form an:

:<math>ds^2 = -\left(1-\frac{r^2}{\alpha^2}\right)dt^2 + \left(1-\frac{r^2}{\alpha^2}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega_{n-2}^2.</math>

Zu beachten: es gibt einen [[Beobachtbares Universum|kosmologischen Horizont]] bei <math>r = \alpha</math>.

== Slicing-Koordinaten ==
=== Flach ===
Ansatz:
:<math>x_0 = \alpha \sinh(t/\alpha) + r^2 e^{t/\alpha}/2\alpha</math>
:<math>x_1 = \alpha \cosh(t/\alpha) - r^2 e^{t/\alpha}/2\alpha</math>
:<math>x_i = e^{t/\alpha}y_i</math> mit <math>2 \leq i \leq n,</math>
wobei <math>r^2 = \sum_i y_i^2.</math>

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes in <math>(t,y_i)</math>-Koordinaten:

:<math>ds^{2} = -dt^{2} + e^{2t/\alpha} \cdot dy^{2}</math>

mit <math>dy^2 = \sum_i dy_i^2</math> der flachen Metrik auf <math>y_i</math>.

=== Geschlossen ===
Ansatz:
:<math>x_0 = \alpha \sinh(t/\alpha)</math>
:<math>x_i = \alpha \cosh(t/\alpha) \cdot z_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n,</math>

wobei die <math>z_i</math> eine <math>S^{n-1}</math>-Sphäre beschreiben.

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes:

:<math>ds^2 = -dt^2 + \alpha^2 \cosh^2(t/\alpha) \cdot d\Omega_{n-1}^2.</math>

[[File:Penrose Diagramm des De-Sitter-Raums.png|thumb|300px|Penrose-Diagramm des De-Sitter-Raums. Die η-Koordinate kompaktifiziert die Zeit τ auf das Intervall [-π/2,π/2]. Der Winkel θ beschreibt im Intervall [-π/2,π/2] einen beliebigen Halbkreis zwischen zwei beliebigen Antipoden S und N (der zweite Halbkreis ist nicht dargestellt). Licht bewegt sich überall im Diagramm in diagonaler Richtung nach links oder rechts oben. Ein Beobachter am Nordpol (N) empfängt kein Signal von der linken oberen Hälfte (grau dargestellt).]]
Wird die Zeit-Variable <math>t</math> geändert in die konforme Zeit <math>\eta</math>:

::<math>\begin{align}
                \tanh(t/\alpha) & = \tan(\eta)\\
\Leftrightarrow \cosh(t/\alpha) & = 1/\cos(\eta),
\end{align}</math>

so erhält man eine Metrik, die [[Konforme Abbildung#Konforme Abbildungen auf (semi-) riemannschen Mannigfaltigkeiten|konform äquivalent]] zum statischen [[Friedmann-Modell#Einstein-Kosmos|Einstein-Universum]] ist:

:<math>ds^2 = \frac{\alpha^2}{\cos^2\eta}(-d\eta^2 + d\Omega_{n-1}^2).</math>

Der De-Sitter-Raum und das Einstein-Universum haben deshalb das gleiche [[Penrose-Diagramm]].

=== Offen ===
Ansatz:
:<math>x_0 = \alpha \sinh(t/\alpha) \cosh\xi</math>
:<math>x_1 = \alpha \cosh(t/\alpha)</math>
:<math>x_i = \alpha \sinh(t/\alpha) \sinh\xi \cdot z_i</math> mit <math>2 \leq i \leq n,</math>
wobei <math>\sum_i z_i^2 = 1</math> eine Sphäre <math>S^{n-2}</math> formt mit der Standard-Metrik <math>\sum_i dz_i^2 = d\Omega_{n-2}^2.</math>

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes

:<math>ds^2 = -dt^2 + \alpha^2 \sinh^2(t/\alpha) \cdot dH_{n-1}^2,</math>

mit <math>dH_{n-1}^2 = d\xi^2 + \sinh^2\xi \cdot d\Omega_{n-2}^2</math> der Metrik eines hyperbolischen euklidischen Raumes.

=== DS ===
Ansatz:

:<math>x_0 = \alpha \sinh(t/\alpha) \cosh\xi \sin(\chi/\alpha)</math>
:<math>x_1 = \alpha \cos(\chi/\alpha)</math>
:<math>x_2 = \alpha \cosh(t/\alpha) \sin(\chi/\alpha)</math>
:<math>x_i = \alpha \sinh(t/\alpha) \sinh\xi \sin(\chi/\alpha) z_i</math> mit <math>3 \leq i \leq n</math>

wobei die <math>z_i</math> eine <math>S^{n-3}</math>-Sphäre beschreiben.

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes:

:<math>ds^2 = d\chi^2 + \sin^2(\chi/\alpha) \cdot ds_{dS,\alpha,n-1}^2,</math>

wobei
:<math>ds_{dS,\alpha,n-1}^2 = -dt^2 + \alpha^2 \sinh^2(t/\alpha) \cdot dH_{n-2}^2</math>
die Metrik eines <math>n-1</math>-dimensionalen De-Sitter-Raumes in offenen Slicing-Koordinaten ist, mit Krümmungsradius <math>\alpha</math>.

Die hyperbolische Metrik lautet:

:<math>dH_{n-2}^2 = d\xi^2 + \sinh^2\xi \cdot d\Omega_{n-3}^2.</math>

Dies ist die analytische Fortsetzung der offenen Slicing-Koordinaten

:<math>(t,\xi,\theta,\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{n-3}) \to (i\chi,\xi,it,\theta,\phi_1,\cdots,\phi_{n-4})</math>

und außerdem der Tausch von <math>x_0</math> und <math>x_2</math>, weil sie ihre zeit- bzw. [[raumartig]]en Eigenschaften verändern.

== Sonstiges ==
Einige Autoren schlugen im Rahmen von Theorien der Quantengravitation anstelle des Minkowski-Raumes den De-Sitter-Raum als grundlegenden Raum für die [[spezielle Relativitätstheorie]] vor und nannten dies ''De-Sitter-Relativität''.<ref>[http://arxiv.org/abs/0711.2274 R. Aldrovandi, J. G. Pereira, de Sitter Relativity: a New Road to Quantum Gravity?, arxiv.org, 2007]</ref>

== Siehe auch ==
* [[Anti-de-Sitter-Raum]]
* [[Einstein-de-Sitter-Modell]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=W. de Sitter |Titel=On the relativity of inertia: Remarks concerning Einstein's latest hypothesis |Sammelwerk=Proc. Kon. Ned. Acad. Wet. |Band=19 |Datum=1917 |Seiten=1217–1225}}
* {{Literatur |Autor=W. de Sitter |Titel=On the curvature of space |Sammelwerk=Proc. Kon. Ned. Acad. Wet. |Band=20 |Datum=1917 |Seiten=229–243}}
* {{Literatur |Autor=[[Tullio Levi-Civita]] |Titel=Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi |Sammelwerk=Rendiconti, Reale Accademia Dei Lincei |Band=26 |Datum=1917 |Seiten=519–31}}
* {{Literatur |Autor=K. Nomizu |Titel=The Lorentz-Poincaré metric on the upper half-space and its extension |Sammelwerk=Hokkaido Mathematical Journal |Band=11 |Nummer=3 |Datum=1982 |Seiten=253–261}}
* {{Literatur |Autor=[[Harold Scott MacDonald Coxeter|H. S. M. Coxeter]] |Hrsg=Mathematical Association of America |Titel=A geometrical background for de Sitter's world |Sammelwerk=[[American Mathematical Monthly]] |Band=50 |Nummer=4 |Datum=1943 |Seiten=217–228 |DOI=10.2307/2303924 |JSTOR=2303924}}
* {{Literatur |Autor=[[Leonard Susskind|L. Susskind]], J. Lindesay |Titel=An Introduction to Black Holes, Information and the String Theory Revolution: The Holographic Universe |Datum=2005 |Seiten=119 (11.5.25)}}
* {{Literatur |Autor=Qingming Cheng |Titel=De Sitter space |Verlag=Springer |Datum=}}

== Nachweise ==
<references />

[[Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie]]
[[Kategorie:Kosmologie (Physik)]]
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