Quelltext der Seite Hellmann-Feynman-Theorem

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Das '''Hellmann-Feynman Theorem''' ist ein Theorem in der [[Quantenmechanik]], welches die Energieeigenwerte eines zeitunabhängigen [[Hamiltonoperator]]s mit den Parametern, die er enthält, in Bezug setzt. Es ist nach seinen Entdeckern [[Hans Hellmann (Physiker)|Hans Hellmann]] (1936)<ref>Hellmann ''Einführung in die Quantenchemie'', Deuticke, Leipzig und Wien 1937 (Übersetzung aus dem Russischen)</ref> und [[Richard Feynman]] (1939)<ref>Richard Feynman ''Forces in molecules'', Physical Review, Band 56, 1939, S. 340-343</ref>  benannt.

Im Allgemeinen besagt das Theorem:

:<math>\frac{\partial {E_n}}{\partial {\lambda}}=\int{\psi_n^*\frac{\partial{\hat{H}}}{\partial{\lambda}}\psi_nd\tau}</math>


<math>\hat{H}</math> ist der parametrisierte [[Hamiltonoperator]],

<math>E_n</math> ist der n'te Eigenwert des Hamiltonoperators,

<math>\psi_n</math> ist der n'te Eigenvektor des Hamiltonoperators,

<math>\lambda</math> ist der Parameter, der interessiert

und <math>d\tau</math> bedeutet eine komplette Integration über den gesamten Definitionsbereich der Eigenvektoren.

==Der Beweis==

Der Beweis ist, wenn man rein formal vorgeht, recht einfach. In der Dirac'schen [[Bra-Ket-Notation]] kann geschrieben werden:


:<math>
\begin{align}
\frac{\partial E_{\lambda}}{\partial\lambda} &= \frac{\partial}{\partial\lambda}\langle\psi(\lambda)|\hat{H}_{\lambda}|\psi(\lambda)\rangle \\
&=\langle\frac{\partial\psi(\lambda)}{\partial\lambda}|\hat{H}_{\lambda}|\psi(\lambda)\rangle + \langle\psi(\lambda)|\hat{H}_{\lambda}|\frac{\partial\psi(\lambda)}{\partial\lambda}\rangle + \langle\psi(\lambda)|\frac{\partial\hat{H}_{\lambda}}{\partial\lambda}|\psi(\lambda)\rangle \\
&=E_{\lambda}\langle\frac{\partial\psi(\lambda)}{\partial\lambda}|\psi(\lambda)\rangle + E_{\lambda}\langle\psi(\lambda)|\frac{\partial\psi(\lambda)}{\partial\lambda}\rangle + \langle\psi(\lambda)|\frac{\partial\hat{H}_{\lambda}}{\partial\lambda}|\psi(\lambda)\rangle \\
&=E_{\lambda}\frac{\partial}{\partial\lambda}\langle\psi(\lambda)|\psi(\lambda)\rangle + \langle\psi(\lambda)|\frac{\partial\hat{H}_{\lambda}}{\partial\lambda}|\psi(\lambda)\rangle \\
&=\langle\psi(\lambda)|\frac{\partial\hat{H}_{\lambda}}{\partial\lambda}|\psi(\lambda)\rangle.
\end{align}
</math>

da gilt:

:<math>\hat{H}_{\lambda}|\psi(\lambda)\rangle = E_{\lambda}|\psi(\lambda)\rangle,</math>
:<math>\langle\psi(\lambda)|\psi(\lambda)\rangle = 1 \Rightarrow \frac{\partial}{\partial\lambda}\langle\psi(\lambda)|\psi(\lambda)\rangle = 0.</math>

Für eine kritische, mathematische Betrachtung dieses Beweises, siehe <ref>{{cite journal|last=Carfì|first=David|date=2010|title=The pointwise Hellmann–Feynman theorem|journal=AAPP Physical, Mathematical, and Natural Sciences|volume=88|issue=1|doi=10.1478/C1A1001004|issn=1825-1242 }}</ref>.

== Einzelnachweise ==
 <references />

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Theoretische Chemie]]
[[Kategorie:Richard Feynman]]

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