Quelltext der Seite Ising-Modell

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[[Datei:Ising_betaC.gif|miniatur|Am kritischen Punkt (mit H=0)]]
[[Datei:Ising beta 1.gif|miniatur|Bei einer Temperatur deutlich unterhalb der kritischen Temperatur]]
Das '''Ising-Modell''' ist ein von [[Ernst Ising]] auf Anregung seines Doktorvaters [[Wilhelm Lenz (Physiker)|Wilhelm Lenz]] 1924<ref> [[Ernst Ising|E. Ising]], [http://link.springer.com/article/10.1007/BF02980577 ''Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus''], Zeitschrift für Physik, Band 31, 1925, S. 253–258</ref> erstmals genauer untersuchtes Modell in der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]]. Es beschreibt insbesondere den [[Magnetismus|Ferromagnetismus]] in [[Festkörper]]n ([[Kristall]]en). Das Ising-Modell zählt zu den meistuntersuchten Modellen der [[Statistische Physik|statistischen Physik]].

== Definition ==

In dem Modell wird angenommen, dass die [[Spin]]s, welche das [[Magnetisches Moment|magnetische Moment]] der Atome oder Ionen bestimmen,  nur zwei diskrete Zustände annehmen können (Spinwert <math>\pm 1</math>). Die Richtung im Raum bleibt aber offen; es handelt sich also um Vektoren (um im klassischen Bild zu bleiben, bzw. quantenmechanisch um Vektoroperatoren).

Der allgemeine Energieausdruck (oder [[Hamiltonoperator]]) für eine solche Situation ist durch das [[Heisenberg-Modell]] gegeben:

:<math>\hat{ \mathcal H} = -\frac{1}{2}\sum _{ij} J_{ij} \vec s_i \cdot \vec s_j - \vec H \cdot \sum_{i=1}^N \vec s_i\quad\text{(Heisenbergmodell)}</math>&nbsp;.&nbsp;<ref>Bezüglich der Mitnahme des Faktors 1/2 gibt es unterschiedliche Konventionen (oft wird er fortgelassen)</ref> 

Hierbei bezeichnet
* <math>\vec s_i</math> einen (mehrkomponentigen) Spin des Atoms am Platz <math>i</math> des Kristallgitters,
* <math>\vec H</math> das Magnetfeld,
* <math> \hat{\mathcal H}</math> den Hamiltonoperator und
* <math>J_{ij}</math> die [[Kopplungskonstante]] (Austauschkopplung) zwischen den Spins an den Plätzen <math>i</math> und <math>j</math>. Sie gibt die Wechselwirkungsstärke an.
Der Punkt kennzeichnet das [[Skalarprodukt]].

Beim Ising-Modell wird dagegen die Zahl der Spinkomponenten auf Eins reduziert (d.&nbsp;h. parallel oder antiparallel zu einer ausgezeichneten Achse – hier z-Achse).

:<math>s_i^z= \pm 1</math>:

:<math>\hat{\mathcal H} = -\frac{1}{2}\sum _{ij} J_{ij} s_i^z s_j^z - H_z \sum_{i=1}^N s_i^z\quad\text{(Isingmodell)}</math>&nbsp;.

Oft wird zusätzlich angenommen, dass <math>J_{ij}</math> nur für benachbarte Spins ungleich Null ist. Ist die Austauschkopplung positiv, so spricht man von einer ''[[ferromagnetisch]]en'' Kopplung; ist sie negativ, so wird sie ''[[Antiferromagnetismus|antiferromagnetisch]]'' genannt. Bei [[Ferromagnet]]en bzw. [[Antiferromagnet]]en dominiert das jeweilige [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]]; bei den sog. [[Spinglas|Spingläsern]] kommen beide Vorzeichen  gleich häufig vor.

Durch geeignete Wahl der Wechselwirkungen können u.&nbsp;a. die schon erwähnten Spingläser (hierbei ist <math>J_{ij}</math> eine Zufallsgröße), verdünnte Magnete mit interessanten [[Phasenübergang|kritischen Eigenschaften]] oder auch räumlich modulierte magnetische Strukturen (hierbei liegen konkurrierende Kopplungen <math>J_{ij}</math> vor, siehe [[ANNNI-Modell]]<ref> [[Walter Selke|W.Selke]]: ''The ANNNI model.'' In: ''Physics Reports'' 170, 1988, S. 213–264, {{DOI|10.1016/0370-1573(88)90140-8}} </ref>) modelliert werden. Im Allgemeinen beschreibt das Ising-Modell die magnetischen Ordnungen bei tiefen [[Temperatur]]en, die bei höheren Temperaturen jedoch durch [[Ungeordnete Bewegung|thermische Fluktuationen]] aufgebrochen werden, wobei ein [[Phasenübergang]] stattfindet. Eine umfassende theoretische Analyse von Phasenübergängen liefert die [[Renormierungsgruppe]]ntheorie, für die [[Kenneth G. Wilson]] 1982 den Nobelpreis für Physik erhielt. 

Bei der eindimensionalen Ising-Kette mit hinreichend kurzreichweitigen Wechselwirkungen beobachtet man jedoch keinen Phasenübergang. Dies hatte schon Ernst Ising in seiner Doktorarbeit mit Bedauern feststellen müssen. Fälschlicherweise vermutete er, dass dies auch für zwei und mehr Dimensionen zutrifft, was allgemein akzeptiert wurde, bis [[Rudolf Peierls]] 1936 zeigte<ref>[[Rudolf Peierls|R.Peierls]], Ising´s model of ferromagnetism, Proc. Cambridge Phil. Soc., Band 32, 1936, S. 477–481</ref>, dass in zwei Dimensionen ein Phasenübergang vorlag. 1941 bestimmten [[Hendrik Anthony Kramers]] und [[Gregory Wannier]] <ref> [[Hendrik Anthony Kramers|H.A.Kramers]], [[Gregory Wannier|G.Wannier]], Statistics of the two dimensional Ferromagnet, 2 Teile, Phys. Rev., Band 60, 1941, S. 252–262, 263-276</ref> durch ein Dualitätsargument die kritische Temperatur. Die exakte Lösung des zweidimensionalen Ising-Modells mit Wechselwirkungen zwischen nächsten Nachbarn und bei verschwindendem Magnetfeld wurde erstmals 1944 von [[Lars Onsager]] berechnet<ref>[[Lars Onsager|L.Onsager]], Crystal Statistics I, Physical Review, Band 65, 1944, S. 117–149</ref>. Weitere Verbesserungen stammten von [[Bruria Kaufman]] (teilweise mit Onsager zusammen) und [[Chen Ning Yang]], der 1952 die spontane Magnetisierung exakt berechnete.<ref>[[Chen Ning Yang|C. N. Yang]], The spontaneous magnetization of the two dimensional Ising model, Phys. Rev., Band 85, 1952, S. 808–816</ref> Eine kombinatorische Behandlung stammt von [[Mark Kac]] und [[John Clive Ward]] (1952)<ref> [[Mark Kac|M. Kac]], [[John Clive Ward|J.C. Ward]], Physical Review Bd.88, 1952, S.1332</ref> und der Beweis der Äquivalenz zu einem Fermionenmodell von [[Elliott Lieb]], Theodore David Schultz und [[Daniel Mattis|Daniel Charles Mattis]] (1964).<ref>T.D. Schultz, [[Elliott Lieb|E. Lieb]], [[Daniel Mattis|D.C. Mattis]], Two dimensional Ising model as a soluble model of many fermions, Rev. Mod. Phys., Band 36, Juli 1964, S. 856–871</ref>

Für das dreidimensionale Ising-Modell mit Wechselwirkungen zwischen benachbarten Spins gibt es keine [[analytische Lösung|analytisch-exakte Lösung]]. Dessen Eigenschaften
kann man mit Hilfe der Molekularfeldnäherung (oder [[Landau-Theorie]]), [[Monte-Carlo-Simulation]]en, [[Reihenentwicklung]]en oder anderen [[Numerische Mathematik|numerischen]] Lösungsverfahren berechnen.

Das Ising-Modell gilt wegen seiner konzeptionellen Einfachheit und seinen vielfältigen Eigenschaften als „[[Drosophila]]“ der statistischen Physik. Es hat darüber hinaus Anwendungen in vielen Bereichen der Naturwissenschaften gefunden, bis hin zur Biologie und Hirnforschung. Die nahezu programmatische Aussage von [[Michael E. Fisher]] 'Ising models still thrive‘ (etwa: ‚Ising-Modelle sind noch im Wachsen‘) wird wohl noch für viele Jahre gültig bleiben. 

Eine Verallgemeinerung des Ising-Modells liefert das [[Potts-Modell|Potts-Modell]] oder das [[Markow-Netzwerk]].

== Vereinfachte Darstellung ==

Dieser Abschnitt diskutiert das einfachste Ising-Modell:
kein externes Magnetfeld, Wechselwirkung nur zwischen nächsten Nachbarn (links, rechts, oben, unten). Entgegengesetzte Nachbarspins liefern einen Energiebeitrag <math>J</math>, parallele Spins liefern keinen Beitrag.

Ziel ist die Darstellung der elementarsten Grundlagen für eine breitere Leserschaft.

=== Energie, Wärme, Wahrscheinlichkeit ===
[[Datei:Ising model 5x5 g.svg|rechts|miniatur|280px|Sehr kleines zweidimensionales Ising-Modell]]

Das Bild zeigt symbolisch einen winzigen „Magneten“ aus 25 „Eisen-Atomen“. Eisenatome verhalten sich wie kleine Magnete. Das Magnetfeld des Gesamtmagneten ist die Summe der Magnetfelder, die von den einzelnen Atomen ausgehen, wobei die Felder entgegengesetzt ausgerichteter Atome einander aufheben. 

Fünf der Atome (schwarz) sind hier in eine Richtung ausgerichtet, die restlichen 20 (weiß) in die andere Richtung. Die Nettomagnetisierung ist somit <math>5-20=-15</math> Einheiten. Ein bestimmtes Schwarz-Weiß-Muster bezeichnet man als den ''Zustand'' des Magneten.

Die 14 roten Kanten zeigen entgegengesetzt ausgerichtete Nachbarn. Jede rote Kante entspricht einer im Magneten gespeicherten Energiemenge, die <math>J</math> genannt wird (dies steht hier nicht für die Energieeinheit [[Joule]], sondern einfach für eine Kenngröße des jeweiligen Materials).

Jede rote Kante vermindert die Wahrscheinlichkeit, den Zustand in der Natur anzutreffen, und zwar umso mehr, je kälter es ist. Man berechnet dies, indem man die Wahrscheinlichkeit für den Zustand „alle Atome gleichgerichtet“ für jede rote Kante einmal mit <math>\exp(-J/T)</math> multipliziert. Dabei ist <math>T</math> das Produkt aus der Temperatur in [[Kelvin]] und der [[Boltzmann-Konstante]]n.

Beispiel: An einem warmen Sommertag (27 Grad Celsius) bewirkt in einem Material, dessen <math>J</math>-Wert 0,0595 [[Elektronenvolt]] beträgt, jede rote Kante eine Wahrscheinlichkeitsminderung um den Faktor 10. Bei Abkühlung auf minus 123 Grad Celsius ist der Faktor schon 100 und bei minus 173 Grad sogar 1000.

Das Gesagte betrifft die Wahrscheinlichkeit eines individuellen Zustandes. Sie ist meist sehr klein. Nun gibt es aber meist auch eine sehr große Zahl von Zuständen,
die eine bestimmte Magnetisierungsstärke des Magneten (Anzahl schwarzer Quadrate) herstellen (man denke an die zahlreichen Möglichkeiten, einen Lottoschein 
auszufüllen).

Die große Zahl von Zuständen kann die kleine Wahrscheinlichkeit des einzelnen Zustandes ausgleichen. Tatsächlich gibt es in der Regel bei gegebener Temperatur eine bestimmte Magnetisierungsstärke, die alle anderen an Wahrscheinlichkeit deutlich übertrifft. Diese Magnetisierung wird fast ausschließlich angetroffen. Mit zunehmender Temperatur verschiebt sie sich von „voll magnetisiert“ zu „entmagnetisiert“.

=== Extreme Temperaturen ===
Um ein Gefühl für die Bedeutung des oben gesagten zu finden, betrachte man zuerst die Grenzfälle sehr hoher und sehr geringer Temperatur.  Entgegen der Intuition werden die Berechnungen dabei nicht etwa durch große Zahlen erschwert, sondern sogar so einfach, dass man schon durch „Kopfrechnung“ zu Ergebnissen kommt.

Bei extrem tiefen Temperaturen (Temperatur nähert sich dem [[Absoluter Nullpunkt|absoluten Nullpunkt]]) wird der Wahrscheinlichkeitsfaktor <math>\exp (-J/T)</math> so klein, dass kein Zustand außer „alle schwarz“ oder „alle weiß“ jemals angetroffen werden kann. Der Magnet nimmt somit seine volle Magnetisierung an.

Bei extrem hohen Temperaturen hingegen wird der Wahrscheinlichkeitsfaktor <math>\exp (-J/T)</math> der Zahl 1 immer ähnlicher, so dass er zu keiner
Wahrscheinlichkeitsminderung führt und alle Zustände gleich wahrscheinlich werden. Dann gilt für jede Magnetisierung die reine Anzahl der sie realisierenden Zustände, und die ist eben für „50 % weiß – 50 % schwarz“ am allerhöchsten. Der Magnet ist effektiv entmagnetisiert.

=== Moderate Temperatur ===
[[Datei:Ising model 5x5 1.svg|rechts|miniatur|120px|Ein Atom ist entgegengesetzt zu den anderen ausgerichtet]]

Der abgebildete Zustand mit einem abweichenden Atom weist vier rote Kanten auf. Bei einem <math>J</math>-Wert von 0,0017&nbsp;eV ist dieser eine Zustand zehnmal weniger
wahrscheinlich als die Vollmagnetisierung (bei 27 Grad Celsius). Allerdings gibt es 25 Möglichkeiten, genau ein Atom abweichen zu lassen, und so ist eine Magnetisierung von 23 Einheiten (24 − 1 entgegengesetzt) 2,5 mal so wahrscheinlich wie die Vollmagnetisierung.

=== Kritische Temperatur ===
Der Zusammenbruch des Magnetismus tritt schon bei einer endlichen Temperatur, der sogenannten kritischen Temperatur <math>T_C</math>, auf. Dies zu begründen erfordert umfangreiche mathematische Analysen, die hier nicht ausgeführt werden können.

Nahe der kritischen Temperatur treten jedoch „interessante“ Muster (bezüglich der Schwarz-Weiß-Verteilung) auf.

=== Strukturbildung ===

[[Datei:Ising model 5x5 4.svg|rechts|miniatur|120px|Kompakte Struktur]]
[[Datei:Ising model 5x5 13.svg|rechts|miniatur|120px|Aufgelockerte Struktur]]

Auf dem Weg vom absoluten Nullpunkt zu unendlicher Temperatur gelangt man von perfekter Ordnung zu perfektem Rauschen.

Dazwischen findet man „interessante“ Muster. Dafür wird hier eine qualitative Begründung gegeben.

Bezüglich des Magnetisierungswertes bildet sich ein Kompromiss heraus zwischen geringer Zustandwahrscheinlichkeit
und großer Zustandszahl. Analog kann man, wenn Temperatur ''und'' Magnetisierung gegeben sind, bezüglich der ''Streuung'' schwarzer und weißer Quadrate argumentieren.

Eine beliebig herausgegriffene kompakte Struktur weist zwar weniger rote Kanten auf (und ist daher wahrscheinlicher) als eine beliebig herausgegriffene aufgelockerte Struktur; weil es aber mehr aufgelockerte Strukturen gibt, kann die Eigenschaft „aufgelockert“ insgesamt wahrscheinlicher sein.
Man wird also einen Kompromiss vorfinden, der weder ganz kompakt noch ganz zerrissen ist, eben eine „interessante“ Struktur.

==Anwendungen und Interpretationen==
Bekannt ist also die „[[Magnetismus|magnetische]]“ Interpretation des Isingmodells: Die Spinwerte zeigen nach „oben“ bzw. nach „unten“. Aber auch für andere ''[[binär]]e'' Probleme bietet sich das Isingmodell an: Ein prominentes Beispiel ist das sog. „Ising-Gittergas“,  das zur Modellierung von [[Flüssigkeit]]en benutzt werden kann: Man betrachtet hierbei ein Gitter, dessen Plätze entweder „besetzt“ oder „unbesetzt“ sein können, je nachdem, ob der dem Gitterplatz zugeordnete Isingspin den Wert +1 oder −1 hat. Es ist auch klar, dass man mit dem Isingmodell sog. [[Spinglas|Spingläser]] beschreiben kann, nämlich mit der Energie <math>\hat H=-\sum s_i\,J_{i,k}\,s_k</math>, wobei die ''s''-Variablen die Ising-Spins bedeuten und die ''J<sub>i,k</sub>'' feste, aber zufällige Werte annehmen. Sehr wenig bekannt ist aber, dass dieser Hamiltonoperator auch eine [[Elementarteilchenphysik|Elementarteilcheninterpretation]] besitzt, die ein stark vereinfachtes Modell der [[Quantenchromodynamik]] abgibt: Man kann nämlich die ''s''-Variablen als „[[Quark_(Physik)|Quarks]]“ und die ''J<sub>i,k</sub>''  als „[[Gluon]]en“ interpretieren, wenn man beide Größen fluktuieren lässt. Allerdings muss man in diesem Fall zum Hamiltonoperator noch die als [[Wilson-Loop]]-Variablen bezeichneten Gluon-Gluon-Kopplungen der Form <math>\,J_{i,k}J_{k,l}J_{l,m}J_{m,i}</math> hinzufügen. Man erhält dann  „eichinvariante Modelle“, welche mit unkorrelierten binären Größen <math>\epsilon_i =\pm 1</math> und <math>\epsilon_k =\pm 1</math> den gekoppelten sog. [[Eichtransformation]]en <math>s_i\to s_i\epsilon_i</math>&nbsp;, <math>s_k\to s_k\epsilon_k</math>&nbsp;, <math>J_{i,k}\to \epsilon_i J_{i,k}\epsilon_k</math> genügen; d.&nbsp;h. der Hamiltonoperator bleibt bei diesen Transformationen invariant, so wie die Lagrangefunktion der Quantenchromodynamik gegenüber Transformationen mit den Elementen der Gruppe [[SU(3)]] invariant bleibt, die hier durch die &epsilon;-Variablen ersetzt sind. Mit diesem Modell – einer Art „Ising Lattice QCD“ – wurde die später so genannte [[Gittereichtheorie]] eingeführt. Die relevante Veröffentlichung dazu stammt von [[Franz Wegner]].&nbsp;<ref>[[Franz Wegner|F. Wegner]], ''Duality in Generalized Ising Models and Phase Transitions without Local Order Parameter'', J. Math. Phys. '''12''' (1971) 2259-2272. Reprinted in [[Claudio Rebbi]] (ed.), ''Lattice Gauge Theories and Monte Carlo Simulations'', World Scientific, Singapore (1983), p. 60-73. ([http://www.tphys.uni-heidelberg.de/~wegner/Abstracts.html#12 Abstract])</ref>

[[File:Homogeneous Nucleation Ising Model.png|thumb|Homogene Nukleation (ein gerade kritischer Nukleationskern und ein bereits (weit) überkritischer Nukleationskern (Oligonukleation))]]
Eine weitere Anwendungsmöglichkeit ist die Simulation von [[Phasenübergang|Phasenübergängen]] durch [[Nukleation]]. Homogene Nukleation entspricht bei der Modellierung ziemlich exakt dem Ferromagnetismus - für heterogene Nukleation müssen einige kleine Änderungen vorgenommen werden.

:<math>\hat{ \mathcal H} = -J\cdot\sum _{ij}  \vec s_i \cdot\vec s_j - \vec H \cdot\sum_{i=1}^N \vec s_i -J_s\cdot\sum_{ij}^{\text{Wand}}\vec s_i\cdot\vec s_j</math><ref>A. J. Page, R. P. Sear: ''Heterogeneous nucleation in and out of pores.'' In: ''Physical review letters.'' Band 97, Nummer 6, August 2006, S.&nbsp;065701, {{DOI|10.1103/PhysRevLett.97.065701}}, PMID 17026175. (Variablennamen und Vorzeichen angepasst um Konsistenz auf der Seite zu gewährleisten)</ref>

[[File:Nucleation in the Ising Model (2D).png|thumb|Heterogene Nukleation in und aus Poren (grau = Wand, weiß = Spin -1, rot = Spin 1)<ref>Berechnet mit [https://github.com/oerpli/Ising2D GitHub]</ref>]]
Die erste Summe ist in diesem Fall wieder die Interaktion zwischen Nachbarn - die zweite Summation über "i,j" steht jedoch für die Interaktion mit einer Begrenzungsfläche.<ref>Sofern die Begrenzungsfläche Nukleation nicht direkt begünstigt (<math>J_s = 0</math>) ist die einzige Änderung die man für die derart geänderte Hamiltonfunktion durchführen muss, den Spin aller Atome die zur Wand gehören auf 0 zu ändern.</ref>
Es zeigt sich, dass im Bereich von derartigen Begrenzungsflächen ein Kern kritischer Größe um ein Vielfaches schneller entsteht - basierend darauf wurden auch Simulationen zur Nukleation auf poröser Oberfläche durchgeführt, deren Ergebnis war, dass eine bestimmte Größe der Poren gegeben sein muss um schnellstmögliche Nukleation zu gewährleisten (in der Regel ist dies bei unregelmäßigen Poren am ehesten gegeben). Bei großen Poren ist der Anteil an Begrenzungsflächen kleiner - dadurch entsteht länger kein Nukleationskern kritischer Größe in der Pore - wenn die Pore hingegen klein ist, so ist die Initiation eines Phasenübergangs vom oberen Rand weg weniger wahrscheinlich.<ref>[[Daan Frenkel|D.Frenkel]]: ''Physical chemistry: Seeds of phase change.'' In: ''Nature.'' 443, 2006, S.&nbsp;641, {{DOI|10.1038/443641a}}.</ref>

==Einzelnachweise und Fußnoten==
<references />

== Literatur ==
*Barry Cipra: ''An introduction to the Ising model'', American Mathematical Monthly, Band 94, 1987, S. 937–959,  [http://www.ww.amc12.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Hasse/00029890.di991727.99p0087h.pdf pdf]
*[[Barry McCoy]], [[Tai Tsun Wu]]: ''The two dimensional Ising model'', Harvard University Press 1973
*[[John Kogut]]: ''An introduction to lattice gauge theory and spin systems'', Rev. Mod. Phys., Band 51, 1979, S. 659–713
*[[Richard Feynman]]: ''Statistical mechanics'', Benjamin 1972
*[[Kerson Huang]]: ''Statistical mechanics'', Wiley 1987
*[[Stephen G. Brush]]: ''History of the Lenz-Ising model'', Rev. Mod. Phys., Band 39, 1967, S. 883–893
[[Kategorie:Festkörperphysik]]
[[Kategorie:Magnetismus]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:Modellierung und Simulation]]
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