Quelltext der Seite Kruskal-Szekeres-Koordinaten

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[[Datei:KruskalKoords.jpg|mini|300px|Kruskal-Diagramm. In der [[Animation]] unten repräsentiert jede blaue Hyperbel eine Position bei konstantem Radius. Der [[Ereignishorizont]] entspricht den eingezeichneten Diagonalen. Dort ist die Metrik nicht [[Singularität (Astronomie)|singulär]]. Die Hyperbeln verschwinden vielmehr erst an den Grenzen des schraffierten Bereichs. Dem schraffierten Bereich oben entspricht in den [[Schwarzschild-Metrik|Schwarzschild-Koordinaten]] die gesamte Singularität eines sog.  [[Schwarzes Loch|Schwarzen Loches]] bei r=0. ]]
[[Datei:KruskalKoords.gif|mini|300px|Kruskal-Diagramm – Animation.]]

'''Kruskal-Szekeres-Koordinaten''', eingeführt von [[Martin Kruskal]] und [[George Szekeres]], sind Koordinaten für die [[Schwarzschild-Metrik]], die [[metrischer Raum|Metrik]], die den Außenraum einer kugelsymmetrischen, nicht rotierenden und elektrisch neutralen Massenverteilung beschreibt.

Im Gegensatz zu den hierfür oft verwendeten [[Schwarzschild-Koordinaten]] werden die Kruskal-Szekeres-Koordinaten am [[Ereignishorizont]] (<math>r = 2M</math>) nicht [[Koordinatensingularität|singulär]] und werden deswegen gerne für die Beschreibung [[Schwarzes Loch|Schwarzer Löcher]] eingesetzt (präziser: für die Beschreibung durch mitbewegte, ''interne'' Beobachter im Gegensatz zu ''externen'' Beobachtern, die zum Beispiel im Außenbereich an einen Stern „fixiert“ sind.).

== Darstellung ==
In den folgenden Formeln wird vereinfachend für die [[Gravitationskonstante]] <math>G</math> und die [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math> jeweils der Wert <math>1</math> angesetzt; <math>M</math> sei die Masse des Zentralkörpers. Das [[Linienelement]] der Schwarzschild-Metrik in Kruskal-Szekeres-Koordinaten lautet dann:

:<math>ds^2 = (32M^3/r)\,e^{-r/2M}\,(-dv^2 + du^2) + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)</math>.

<math>r</math> ist gleich dem <math>r</math> der Schwarzschild-Koordinaten und implizit gegeben durch:

:<math>\left( \frac{r}{2M} - 1 \right)\,e^{r/2M} = u^2 - v^2</math>

<math>u</math> und <math>v</math> ergeben sich aus den Schwarzschild-Koordinaten <math>t</math> und <math>r</math> durch:

:<math> u= x\,\cosh(t/4M)</math> und <math> v= x\,\sinh(t/4M) </math>, wobei <math> x= \sqrt{ \frac{r}{2M}-1} \, e^{r/4M} </math> für <math>r \ge 2M</math> (d.&nbsp;h. im Außenraum),

:<math> u= x\,\sinh(t/4M)</math> und <math> v= x\,\cosh(t/4M) </math>, wobei <math> x= \sqrt{ 1-\frac{r}{2M}} \, e^{r/4M} </math> für <math>r < 2M</math> (d.&nbsp;h. im Innenraum).

Außen- und Innenraum sind ersichtlich über die Diagonalen hinweg „nahtlos“ miteinander verbunden. Der Ausdruck <math>-ds^2/c^2</math> entspricht der mit einer mitgeführten Uhr gemessenen Eigenzeit.

== Forschungsgeschichte ==
Die Kruskal-Szekeres-Koordinaten wurden von Martin Kruskal Mitte der 1950er Jahre gefunden, aber erst um 1959 durch [[John Archibald Wheeler]] bekannt gemacht. George Szekeres fand sie 1961. Unabhängig wurden sie auch von [[Christian Fronsdal]] 1959 gefunden sowie von [[David Finkelstein]].<ref>{{Literatur |Autor=Werner Israel |Titel=Dark stars: the evolution of an idea |Herausgeber=Stephen Hawking, Werner Israel |Sammelwerk=300 years of Gravitation |Verlag=Cambridge University Press |Jahr=1987 |ISBN=978-0521379762}}</ref>

== Literatur ==
* [[Charles Misner]], [[Kip Thorne|Kip S. Thorne]], [[John Archibald Wheeler|John A. Wheeler]]: ''Gravitation''. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0

== Weblinks ==
* [https://www.wissenschaft-online.de/astrowissen/downloads/Web-Artikel/SchwarzeLoecher_AMueller2007.pdf Andreas Muller: ''Schwarze Löcher – Das dunkelste Geheimnis der Gravitation''] Seite 34 (PDF-Datei; 64 kB)
* Andreas Müller: [http://www.wissenschaft-online.de/astrowissen/astro_sl_schw.html Schwarze Löcher - Schwarzschild-Lösung]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie]]

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