Quelltext der Seite Laplace-Ebene

Du bist aus dem folgenden Grund nicht berechtigt, die Seite zu bearbeiten:
Diese Aktion ist auf Benutzer beschränkt, die der Gruppe „Benutzer“ angehören.
Du kannst den Quelltext dieser Seite betrachten und kopieren.
Die '''Laplace-Ebene''' bezeichnet in der [[Himmelsmechanik]] die über lange Zeiten gemittelte [[Bahnebene]] eines Körpers (z.&nbsp;B. eines [[Planet]]en oder [[Satellit (Astronomie)|Satellit]]en), der sich auf einer [[Umlaufbahn]] um ein Zentralobjekt (beispielsweise die [[Sonne]] oder einen Planeten) bewegt.

Die Laplace-Ebenen der meisten großen Monde unseres Sonnensystems, insbesondere die der großen [[Gasplanet]]en, orientieren sich an der [[Äquatorebene]] des jeweiligen Zentralplaneten. Eine Ausnahme bildet der [[Erdmond]], dessen Laplace-Ebene mit großer Genauigkeit in der [[Ekliptik]] liegt. Die Laplace-Ebenen künstlicher Satelliten im höheren Erdorbit und die einiger (überwiegend kleinerer) Monde anderer Planeten liegen zwischen der Bahnebene und der Äquatorebene ihres Zentralkörpers und müssen daher explizit berechnet werden.

[[Pierre-Simon Laplace]] hatte 1805 diese Bezugsebene als erster zur Beschreibung der Bahneigenschaften des Saturnmondes [[Iapetus (Mond)|Iapetus]] eingeführt, des größten Körpers des Sonnensystems, bei dem diese Ebene deutlich sowohl von der Äquatorebene als auch von der  Ekliptik abweicht.<ref>R. R. Allan, G. E. Cook: ''The Long-Period Motion of the Plane of a Distant Circular Orbit'', Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, Vol. 280, No. 1380 (Jul. 7, 1964), pp. 97-109</ref>

==Einleitung==
Bewegt sich ein Körper um ein Zentralobjekt, so kann ihm zu jedem Zeitpunkt eine Bahnebene zugeordnet werden, nämlich die Ebene, in der sowohl der Abstandsvektor vom Zentralobjekt zum Körper, als auch der Geschwindigkeitsvektor des sich bewegenden Körpers liegt. Der [[Drehimpuls|Bahndrehimpulsvektor]] des Körpers steht gerade senkrecht auf dieser ''momentanen'' Bahnebene. Unterliegt die Bewegung des Körpers keinem [[Drehmoment]], so ändert sich der Bahndrehimpuls des Körpers nicht und die Bahnebene des Körpers ist entsprechend zeitlich konstant. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn das Zentralobjekt exakt kugelsymmetrisch ist und keine äußeren Kräfte auf das System wirken.

In der Realität sind allerdings die Zentralobjekte weder exakt kugelsymmetrisch (die Planeten sind mehr oder weniger stark abgeplattet) noch ist die Bewegung frei von äußeren Kräften (durch die Sonne, andere Planeten etc.). Daher wirken auf die umlaufenden Körper Drehmomente, die zu einer Veränderung der Bahnebene führen, die in den meisten Fällen zwar gering im Laufe weniger Umläufe um das Zentralobjekt ist, aber im Laufe der Zeit zu einer [[Präzession]]sbewegung des Bahndrehimpulses führen. Im Falle der Planeten-, Mond- und Satellitenbahnen kann man diesen Effekt über längere Zeiträume durch die Wirkung eines konstanten Drehmoments auf einen sich schnell bewegenden [[Kreisel]] modellieren. Die Bahnebene schwankt dann mit einer gewissen zeitlichen Periode um eine ''über lange Zeiten gemittelte Bahnebene'' (Laplace-Ebene). Der Neigungswinkel der momentanen Bahnebene gegen die Laplace-Ebene bleibt dabei näherungsweise konstant, nur die Lage der Ebenen zueinander ändert sich.

== Beispiel: Iapetus ==
[[Datei:Laplace moons of saturn.svg|thumb|hochkant=1.8|Lage der Laplace-Ebenen wichtiger Saturnmonde in Bezug auf die Rotations- und Bahnebene des Saturn. Die Pole der verschiedenen Ebenen sind im Diagramm auf die Ekliptik projiziert, so dass der Pol der Ekliptik im Ursprung liegt. Der Frühlingspunkt liegt dabei in Richtung der x-Achse. Ebenfalls dargestellt sind die Pole der Bahnebenen der äußeren Planeten.]]

Im Gegensatz zu den Satelliten der anderen Gasplaneten war mit der Entdeckung von Iapetus im Jahr 1671 schon frühzeitig ein Saturnmond bekannt, der seinen Zentralplaneten in recht großem Abstand (etwa 3,5 Mio. km) umkreist. Bei der Analyse der Bahn dieses Mondes stellte der französische Mathematiker Laplace fest, dass sie über ''kurze'' Zeiträume (wenige Jahre), wie die Bahn aller anderen Monde und Planeten, in einer Ebene verläuft. Über ''mittlere'' Zeiträume - im Fall von Iapetus mehrere Jahrzehnte - ist diese Bahnebene allerdings veränderlich: ein Effekt, der beim Erdmond seit der Antike bekannt ist, da sie eng mit dem jahreszeitlichen Auftreten der [[Sonnenfinsternis|Sonnen-]] und [[Mondfinsternis]]se zusammenhängt. Obwohl Iapetus 1805 erst 134 Jahre lang beobachtet worden war, sah Laplace, dass die Bahnebene des Mondes über ''lange'' Zeiträume (einige Jahrtausende) eine kreiselartige Trudelbewegung vollzieht. Für den Erdmond ist diese Drehung der so genannten [[Mondknoten]] damals wohl bekannt gewesen, wobei die Periode dieser Drehung 18,6 Jahre beträgt. Betrachtet man anstelle der Bahnebene den ''[[Himmelspol|Pol]]'' der Bahnebene, also den Punkt auf der [[Himmelssphäre]], an dem eine gedachte Linie, die senkrecht auf der Bahnebene steht, (die [[Normale]]) durch diese Sphäre sticht, so vollführt dieser ''Pol'' eine Kreisbewegung auf der Himmelssphäre. Beim Erdmond hat dieser Kreis einen Durchmesser von etwa 10° (die doppelte [[Bahnneigung]] des Mondes) und sein Mittelpunkt ist der [[Pol der Ekliptik]] (also der Erdbahnebene). Bei Iapetus hat der Kreis einen Durchmesser von etwa 15°, allerdings liegt in seinem Zentrum ''nicht'' der Pol der Saturnbahnebene. Stattdessen liegt der Mittelpunkt, wie man im nebenstehenden Diagramm sehen kann, etwa zwischen dem Pol der Saturnbahnebene und dem Pol der Äquatorebene des Saturn (also dem Durchstichpunkt der Drehachse des Planeten durch die Himmelssphäre). Alle ''anderen'' damals bekannten Monde (dies waren die vier [[Galileische Monde|Galileischen Monde]], sechs weitere [[Saturnmonde]], sowie zwei [[Uranusmonde]]) haben Bahnen, die sich kaum mehr als ein Grad gegen die Äquatorebene des Zentralplaneten neigen. Bei Messungen hoher Präzision stellt man fest, dass die Bahnpole dieser Monde ebenfalls kreisförmige Bewegungen und zwar um den Pol der Äquatorebene des Planeten vollführen.

Der Mittelpunkt des Kreises, auf dem sich der Bahnpol eines Mondes bewegt, ist der Pol der ''über lange Zeiträume gemittelten Bahnebene'', die selbst zeitlich unveränderlich ist: die Laplace-Ebene. Bei den planetennahen Monden der massereichen und sonnenfernen Gasplaneten fällt diese mit der Äquatorebene zusammen. Beim Erdmond fällt diese, ebenso wie beim 1888 entdeckten äußeren Saturnmond [[Phoebe (Mond)|Phoebe]] (Planetenabstand etwa 13 Mio. km), sehr genau mit dem Pol der Bahnebene des jeweiligen Planeten zusammen. Der Fall des Mondes Iapetus zeigt, dass es allerdings eine Zone mittleren Abstandes vom Planeten gibt, in der die Laplace-Ebene eine Zwischenform annimmt. Heute, im 21. Jahrhundert, sind hunderte Planetenmonde bekannt und künstliche Satelliten in Planetenorbits gestartet worden, deren exakte Bahndynamik den Spezialfall des Iapetus verallgemeinern. Diese Tatsache verlangt unmittelbar nach einer Klärung der Frage, wie die genaue Dynamik der Bahnebenen im allgemeinen Fall aussieht.

== Himmelsmechanische Erklärung ==
Der Idealfall eines kleinen Körpers, der sich um ein kugelförmiges Zentralobjekt bewegt, wird durch das Kepler'sche [[Zweikörperproblem]] oder das [[Einzentrenproblem]] beschrieben. Da das Gravitationsfeld des kugelförmigen Zentralobjekts radialsymmetrisch ist, wirkt kein [[Drehmoment]] auf den umlaufenden Körper und  der [[Bahndrehimpuls]] des Körpers ist in diesem Fall zeitlich konstant. Dies bedingt einerseits die Gültigkeit des zweiten Kepler'schen Gesetzes und andererseits, dass die Bewegung des kleinen Körpers in einer zeitlich unveränderlichen Ebene, der ''Bahnebene'', erfolgt.
[[Datei:Angular Parameters of Elliptical Orbit.png|thumb|Bahnneigung ''i'' und Knotenargument Ω einer Keplerellipse. Die ''Knotenlinie'' ist grün, die ''Referenzebene C'' ist als Schachbrett markiert.]]
Die Bahnen realer Körper im Orbit um ein Zentralobjekt, wie zum Beispiel Planeten im Umlauf um die Sonne, Monde im Umlauf um ihren Planeten, oder künstliche Satelliten, können nur annäherungsweise als Zweikörperproblem behandelt werden. Abweichungen von der Kugelgestalt des Zentralobjekts und die Anwesenheit anderer massiver Körper außerhalb des Systems führen zu einem ''gestörten Zweikörpersystem''.  Solch ein gestörtes System lässt sich über kurze Zeiträume zwar weiterhin durch die [[Bahnelemente]] einer Keplerellipse beschrieben, die Störungen führen aber zu einer zeitlichen Veränderung der Bahnelemente. Insbesondere führt ein Drehmoment, das auf den umlaufenden Körper wirkt, zur zeitlichen Veränderung der Bahnebene, die in der Himmelsmechanik im Allgemeinen durch die Bahnneigung (Inklination) ''i'' und den Positionswinkel (Argument) des [[Knoten (Astronomie)|aufsteigenden Knotens]] Ω in Bezug auf eine unveränderliche Referenzebene angegeben wird.

Die Natur der auftretenden Drehmomente ''T'' ist oft derart, dass diese recht klein im Verhältnis zum Bahndrehimpuls ''L'' sind, d.&nbsp;h., der Drehimpuls ändert sich sehr wenig während eines Umlaufs des Körpers um das Zentralobjekt, in Formeln: <math>T/L \ll \omega </math>, wobei ω die Kreisfrequenz des Körpers beim Umlauf ist. In diesem Fall kann man den Körper als ''schnellen [[Kreisel]]'' betrachten, dessen Rotationsachse in Richtung des Bahndrehimpulses zeigt. Durch das Drehmoment ändert die Rotationsachse ihre Richtung dergestalt, dass sie kurzperiodisch um eine ''mittlere Rotationsachse'' wandert, die ihrerseits langperiodisch um einen ''[[Präzession]]spol'' wandert. Die Ebene senkrecht zur Richtung des Präzessionspols kann langzeitlich als ''mittlere Bahnebene'' betrachtet werden und wird  als ''Laplace-Ebene'' bezeichnet.

Planeten, Monde und Satelliten bewegen sich oft auf Ellipsen relativ geringer [[Exzentrizität (Astronomie)|Exzentrizität]] um ihren Zentralkörper, und die Drehmomente, die auf den Körper wirken, sind meist von den in den drei folgenden Absätzen beschriebenen Mechanismen bewirkt.

=== Abweichungen des Zentralkörpers von der Kugelgestalt ===
Solange beide Körper in einem Zweikörpersystem exakt kugelsymmetrischen Aufbau besitzen, ist das Gravitationsfeld im resultierenden äquivalenten Einzentrenproblem exakt radialsymmetrisch und es wirkt kein Drehmoment zwischen den umlaufenden Körpern. ''Abweichungen'' von der Kugelgestalt führen jedoch zum Auftreten eines Drehmomentes und damit zur zeitlichen Veränderung der Bahnebene. Im himmelsmechanischen Kontext ist die dominante Quelle dieses Drehmoments das [[Multipolentwicklung|Quadrupolmoment]]<!-- gibt noch keinen wirklich passenden Artikel zum Verlinken --> <math>J_2</math> des Zentralkörpers, das sich zum großen Teil durch die [[Abplattung]] längs der Rotationsachse des Körpers ergibt. Das Drehmoment, das sich gemittelt über eine Umlaufperiode ergibt, steht senkrecht auf der Rotationsachse des Zentralkörpers und senkrecht auf dem momentanen Bahndrehimpuls des umlaufenden Körpers. Dadurch ändert sich der Betrag des Drehimpulses nicht, sondern nur die Richtung präzediert um die Rotationsachse des Zentralkörpers. Die Drehimpulserhaltung bedingt dabei im Übrigen eine Rückwirkung auf den Eigendrehimpuls des Zentralkörpers, der dadurch, im Allgemeinen aber sehr viel langsamer, um den Präzessionspol des umlaufenden Körpers präzediert. Diese Wirkung des Erdmondes ist zum Beispiel einer der Hauptgründe für die lunisolare [[Zyklus der Präzession|Präzession]] der Erdachse.

Weist man der Rotationsachse des Zentralkörpers einen [[Richtungsvektor]] <math>\vec{n}</math> zu, der unter Vernachlässigung der gerade beschriebenen Rückwirkung über nicht allzu lange Zeiträume als konstant angesehen werden kann, so zeigt eine genaue Rechnung, dass die Winkelgeschwindigkeit <math>\vec{\omega}</math> der Umlaufbewegung<ref name="omega group=A">Die ''Richtung'' der vektoriellen Winkelgeschwindigkeit ist parallel zum Bahndrehimpuls.</ref> um die Rotationsachse <math>\vec{n}</math> präzediert.
<ref name="TUM">Satellitenbahnen Projekt [http://tau.fesg.tu-muenchen.de/~iapg/web/lehre/veranstaltungen/veranstaltungen/vertiefung/ProjSatBahnen_Kap51_0607.pdf TU-München]</ref>
<ref name="oblat group=A">Setzt man eine Bahn geringer Exzentrizität voraus, führt genauere Rechnung auf eine Änderung der vektoriellen mittleren Winkelgeschwindigkeit des umlaufenden Körpers von
:<math>\dot{\vec{\omega}}=-\frac{3 J_2 R^2}{2 a^2} \langle \vec{\omega},\vec{n}\rangle \vec{n}\times\vec{\omega},</math>
wobei <math>J_2</math> das dimensionslose Quadrupolmoment, <math>\vec{n}</math> der Richtungsvektor der Rotationsachse des Zentralobjekts, ''R'' dessen Radius und ''a'' die große Halbachse der Umlaufbahn bezeichnet (die spitzen Klammern stellen das [[Skalarprodukt]] dar). Durch das [[Vektorprodukt]] steht die Änderung der Winkelgeschwindigkeit senkrecht auf der Winkelgeschwindigkeit, so dass diese ihren Betrag zeitlich nicht ändert.</ref> 
Dabei ändert sich das Skalarprodukt <math>\langle \vec{\omega},\vec{n}\rangle=:\omega \cos i</math> zeitlich nicht, d.&nbsp;h., die Bahnneigung ''i'' gegenüber der ''Äquatorebene des Zentralobjekts'', die somit die Laplace-Ebene ist, ändert sich nicht.  Das Knotenargument der Umlaufbahn wandert dann mit einer Winkelgeschwindigkeit von 
:<math>\dot{\Omega}=-\frac{3 J_2 R^2 \omega}{2  a^2} \cos i ,</math>
mit dem Radius ''R'' des Zentralkörpers und der großen Halbachse ''a'' der Umlaufbahn.

Für Planeten, die man im Allgemeinen als [[Rotationsellipsoid]]e annehmen kann, lässt sich das Quadrupolmoment durch <math>J_2=I \cdot f /(M R^2)</math> aus dem [[Trägheitsmoment]] ''I'' und der Abplattung ''f'' berechnen.<ref name="quadrupol group=A">Das Quadrupolmoment eines homogenen Rotationsellipsoids beträgt <math>J_2=\frac{2}{5} f,</math> wobei ''f'' die Abplattung des Körpers ist. Reale Planeten sind hingegen nicht homogen; ihre Dichte nimmt mit wachsender Entfernung vom Mittelpunkt ab. Nimmt man an, dass der Körper aus Schichten gleicher Dichte aufgebaut ist, ist das Quadrupolmoment durch <math>J_2=\frac{I}{M R^2} f</math> gegeben, wobei ''I'' das Trägheitsmoment bezeichnet.</ref>
Zum Beispiel gilt für die Erde ''f'' ≈ 1/298 und ''I'' ≈ 0,33 ''M R<sup>2</sup>'' also ''J''<sub>2</sub> ≈ 0,0011 in guter Übereinstimmung mit dem genaueren Wert<ref name="daten">NASA [http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/earthfact.html Earth Fact Sheet]</ref> ''J<sub>2</sub>'' = 0,001082.

Setzen wir dies in die Formel oben ein und berechnen die Periode der Knotendrehung für einen Satelliten auf erdnahem, fast äquatorialem Orbit, so erhalten wir eine Knotenwanderung von etwa 10° pro Tag entgegen der Umlaufrichtung des Satelliten, d.&nbsp;h., der Knoten läuft in etwa 36 Tagen einmal um den Äquator der Erde.

Für [[Jupiter (Planet)|Jupiter]] findet man<ref name="jupiter">NASA [http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/jupiterfact.html Jupiter Fact Sheet]</ref> ''J''<sub>2</sub> ≈ 0,0147 und einen Radius von ''R'' ≈ 71.500&nbsp;km. Der Mond [[Io (Mond)|Io]] kreist in einem Abstand von etwa ''a'' ≈ 421.000&nbsp;km um den Planeten und der Bahnknoten wandert entsprechend um etwa 47° pro Jahr und braucht rund 7,6 Jahre für eine volle Umdrehung, in guter Übereinstimmung mit den gemessenen 7,42 Jahren.<ref name="JPL">[http://ssd.jpl.nasa.gov/?sat_elem Planetary Satellite Mean Orbital Parameters vom JPL]</ref> Die ohnehin geringe Bahnneigung gegenüber Jupiters Äquatorebene von 0,05° bleibt in guter Übereinstimmung mit dem hier vorgestellten Modell konstant, eine Tatsache, die weder für künstliche Satelliten im Erdorbit noch für den Erdmond gilt.

Für den Erdmond schwankt die Neigung gegenüber dem Erdäquator mit einer Periode von 18,6 Jahren zwischen 18° und 28,5°. Die Abplattung der Erde würde allerdings nur eine ''Drehung'' der Knoten von etwa 2,1° pro ''Jahrtausend'' bei gleichbleibender Neigung verursachen, sodass die Dynamik der Mondknoten eine andere Ursache besitzen muss; sie wird nun vorgestellt.

=== Äußere Störungen ===
[[Datei:Precession_node_moon.svg|thumb|hochkant=1.5|Illustration zur Wanderung des Bahnknotens einer durch einen äußeren Körper gestörten Umlaufbahn. Es bezeichnet:     E: Zentralobjekt (z.&nbsp;B. Erde)
    M: Umlaufender Körper (z.&nbsp;B. Mond)
    O: Umlaufbahn von M (der oberhalb der Laplace-Ebene liegende Teil ist dicker)
    R: Richtung der vektoriellen Winkelgeschwindigkeit
    P: Präzessionskegel von R
    S: Störkörper (z.&nbsp;B. Sonne)
    B: Relative Bahn von S (z.&nbsp;B. Ekliptik)
    L: Laplace-Ebene (z.&nbsp;B. Ekliptik-Ebenen) ]]
Wird ein Zweikörpersystem in eine Umgebung eingebracht, in der andere Objekte mit den beiden Körpern wechselwirken, so lässt sich unter gewissen Bedingungen die Bewegung der beiden Körper [[Störungstheorie (Klassische Physik)|störungstheoretisch]] behandeln. Man geht bei diesem Ansatz davon aus, dass sich das Zweikörpersystem über kurze Zeiten weiterhin in der Form beschrieben lässt, die aus dem ungestörten Problem bekannt ist. Über mittlere und längere Zeiträume werden sich jedoch eigentlich konstante Bahnparameter dynamisch entwickeln.  In diesem Abschnitt soll ein gewisser Spezialfall der Störung einer Keplerellipse beschrieben werden, wobei das Interesse wiederum bei den Bahnelementen ''Inklination i'' und ''Argument des aufsteigenden Knotens'' Ω liegt. Wir gehen zu diesem Zweck von den Annahmen aus, dass sich der umlaufende Körper wieder als ''schneller Kreisel'' beschreiben lässt und dass sich die störenden Körper schnell bewegen im Verhältnis zur Änderungsrate der Bahnelemente. Als Beispiel für ein solches Modell sei der Erdmond gewählt, der sich mit etwa der 13-fachen Winkelgeschwindigkeit um die Erde bewegt, mit der sich der Hauptstörkörper, nämlich die [[Sonne]], relativ zum Erde-Mond-System bewegt. Die Änderung des relevanten Bahnelements Ω vollzieht sich mit nochmal etwa 18-fach kleinerer Winkelgeschwindigkeit.

Man erhält in solchen Fällen ein akzeptables Resultat, wenn man ein solches System als schnellen Kreisel betrachtet, auf den eine Kraft wirkt, die von einer Masseverteilung ausgeht, die aus einer zeitlichen Mittelung der Störmassen über ihre Bahnen relativ zum Zweikörpersystem hervorgeht. Handelt es sich dabei um einen einzelnen dominanten Störkörper, der sich relativ zum System mit konstantem Abstand und konstanter Geschwindigkeit bewegt, kann man also von einem eindimensionalen Massering mit entsprechender Masse ''M'' und Radius ''R'' ausgehen. Das Drehmoment, das dieser Massering auf den umlaufenden Körper bewirkt, erzeugt eine Änderung der Richtung des Drehimpulses und damit der Bahnebene.<ref name="stoer group=A">
Das Drehmoment, das dieser Massering auf den umlaufenden Körper bewirkt, erzeugt eine Änderung der vektoriellen mittleren Winkelgeschwindigkeit des umlaufenden Körpers von:
:<math>\dot{\vec{\omega}}=-\frac{3 G M }{4 r^3  \omega^2} \langle \vec{\omega},\vec{n}\rangle \vec{n}\times\vec{\omega},</math>
wobei ''M'' die Masse des Störkörpers, <math>\vec{n}</math> der Richtungsvektor der Winkelgeschwindigkeit des Störkörpers und ''r'' sein Abstand zum System ist.</ref>

Der aufsteigende Knoten der Umlaufbahn wandert daher mit einer Winkelgeschwindigkeit von<ref name="TUM" /><ref name="schneider1">M. Schneider: ''Himmelsmechanik'', Kap. 26, Bd.2, BI Wiss. Verlag, Mannheim (1993), S. 542--550</ref>
:<math>\dot{\Omega}=-\frac{3 G M}{4 r^3   \omega} \cos i,</math> 
wobei ''M'' die Masse des Störkörpers und ''r'' sein Abstand zum System ist. ''i'' bezeichnet  nun die Bahnneigung (<math>\cos i=\langle \vec{\omega},\vec{n}\rangle/\omega</math>) gegenüber der ''Bahnebene des Störkörpers'', die hier die Laplace-Ebene ist und deren Normale <math>\vec{n}</math> senkrecht auf ihr steht. Wie im vorigen Abschnitt gilt auch hier, dass Betrag der Winkelgeschwindigkeit und Bahnneigung zeitlich konstant sind.

Wenn der Störkörper, wie im Falle des Erde-Mond-Systems, der Zentralkörper eines größeren Gesamtsystems (z.&nbsp;B. [[Sonnensystem]]) ist, kann in der obigen Formel die Masse und der Abstand dieses Körpers durch das dritte Kepler'sche Gesetz eliminiert werden und man erhält 
:<math>\dot{\Omega}=-\frac{3  \omega_0^2}{4  \omega} \cos i,</math>
wobei ω<sub>0</sub> hier die Winkelgeschwindigkeit des Störkörpers (Sonne) ist. Für den Fall des Erdmondes kann man nun direkt ablesen, dass (unter Vernachlässigung  der Bahnneigung) die Mondknoten mit einer Winkelgeschwindigkeit wandern, die etwa 4/3 · ω/ω<sub>0</sub> ≈ 1,33 · 13,4 ≈ 17,8 mal langsamer ist als die relative Winkelgeschwindigkeit der Sonne – in anderen Worten: Die Knoten drehen sich alle 17,8 Jahre um volle 360°. Der beobachtete Wert von 18,6 Jahren ergibt sich erst durch genauere Berechnung der Mondbahn.<ref name="schneider1" /> Die Bahnneigung des Mondes ist bei dieser Wanderung der Knoten, abgesehen von kurzperiodischen Schwankungen, gegenüber der Ekliptik (Laplace-Ebene) konstant etwa 5°. Setzt man allerdings zum Beispiel die Daten des Jupitermondes Io ein, so erhält man, dass die Knoten fast 40.000 Jahre für einen vollen Umlauf bräuchten - ein Effekt, der um fast vier Zehnerpotenzen kleiner ist als der durch die Abplattung des Zentralplaneten hervorgerufene.

=== Kombination beider Fälle ===
In vielen himmelsmechanisch relevanten Fällen sind die beiden eben beschriebenen Effekte von vergleichbarer Größenordnung. Sind in einem solchen Fall die Rotationsachse des Zentralkörpers und der Bahndrehimpuls des äußeren Störkörpers ''parallel'', so addieren sich beide Effekte und man erhält:<ref name="kombination group=A">Die entsprechende  Differentialgleichung für die Winkelgeschwindigkeit lautet
:<math>\dot{\vec{\omega}} = -(A+B) \langle \vec{\omega},\vec{n}\rangle \vec{n}\times\vec{\omega}</math>
mit <math>A:=3 J_2 R^2/(2  a^2)</math> und <math>B:=3 G M/(4 r^3  \omega^2)</math>.</ref>
:<math>\dot{\Omega}=-\left(\frac{3 G M}{4 r^3 \omega}+\frac{3 J_2 R^2 \omega}{2  a^2}\right) \cos i.</math> 
Die Präzession erfolgt dabei wiederum kreisförmig um die gemeinsame Richtung von Rotationsachse des Zentralkörpers und Bahndrehimpuls des Störkörpers. Entsprechendes gilt auch für die Überlagerung mehrerer äußerer Störungen, die alle in derselben Ebene auftreten.
Während diese Annahme für äußere Störungen oft gerechtfertigt ist - Sonne und Mond stören Satelliten im Erdorbit beide etwa in der Ekliptik, die kleinen äußeren Jupitermonde werden durch Sonne und Saturn ebenfalls etwa in der Ekliptik gestört etc. - weichen die Äquatorebenen der Planeten oft ''wesentlich'' von der Ekliptikebene ab. Der Erdäquator ist zum Beispiel 23,5°, der Saturnäquator 26,8° gegen die Ekliptik geneigt und bei Uranus stehen die Ebenen fast senkrecht aufeinander, wodurch zum Beispiel sowohl künstliche Satelliten im Erdorbit, als auch  der große Saturnmond Iapetus, für die beide Effekte von vergleichbarer Größenordnung sind, nicht durch die obige Gleichung beschrieben werden können. Stattdessen führt die Überlagerung i. Allg. zu einer komplizierten Dynamik mit einer Präzession und einem Pol, der ''zwischen'' Rotationsachse des Zentralkörpers und Bahndrehimpuls des Störkörpers liegt.
<ref name="DGLkombi1 group=A">Die Differentialgleichung  nimmt  die Form
:<math>\dot{\vec{\omega}} = -\left(A\langle \vec{\omega},\vec{n}_z\rangle \vec{n}_z+B \langle \vec{\omega},\vec{n}_s\rangle \vec{n}_s\right)\times\vec{\omega}</math>
an. <math>\vec{n}_z</math> bezeichnet hierbei den Richtungsvektor der Rotationsachse des Zentralobjekts, <math>\vec{n}_s</math> den Richtungsvektor der Winkelgeschwindigkeit des Störkörpers.

Man sieht dieser Differentialgleichung an, dass der Betrag der Winkelgeschwindigkeit weiterhin konstant ist, da die ''Änderung der Winkelgeschwindigkeit'' <math>\dot{\vec{\omega}}</math> immer senkrecht auf der Winkelgeschwindigkeit selbst steht (wiederum bedingt durch das Kreuzprodukt in der Differentialgleichung). Dadurch ist auch die Größe <math>B</math> weiterhin konstant. Allerdings ist der Winkel der Bahnebene nun weder zur Rotationsachse des Zentralkörpers <math>\vec{n}_z</math> noch zur Richtung der Winkelgeschwindigkeit des Störkörpers <math>\vec{n}_s</math> konstant. Die Winkelgeschwindigkeit wandert stattdessen um einen Präzessionspol, der zwischen <math>\vec{n}_z</math> und <math>\vec{n}_s</math> liegt. Die Präzession um diesen Pol ist auch nicht mehr kreisförmig, sondern ellipsenförmig (genauer gesagt, handelt es sich bei der Kurve um eine auf eine Kugel projizierte Ellipse).</ref> 
Dies führt weiterhin dazu, dass die Bahnneigung auch in Bezug auf die Laplace-Ebene ''nicht'' konstant ist, sondern periodisch zwischen einem minimalen und einem maximalen Wert schwankt.<ref name="eigenwerte group=A">Betrachtet man die obige DGL genauer, sieht man, dass die Gleichung, da ''A'' und ''B'' konstant sind, quadratisch in <math>\vec{\omega}</math> ist. Man kann die DGL als
:<math>\dot{\vec{\omega}} = \vec{\omega}\times (M \vec{\omega})</math>
schreiben, wobei die Matrix 
:<math>M:= A |\vec{n}_z\rangle \langle\vec{n}_z|+B |\vec{n}_s\rangle \langle\vec{n}_s|</math> ([[Bra-Ket]]-Schreibweise),
Rang 2 hat. Die beiden Eigenvektoren der Matrix sind [[Linearkombination]]en der Richtungsvektoren  <math>\vec{n}_z</math> und  <math>\vec{n}_s</math>. Der eine Eigenvektor gibt die Richtung der Normalen zur Laplace-Ebene an, der andere die Richtung der großen Halbachse der ellipsenförmigen Kurve, die die vektorielle Winkelgeschwindigkeit um diesen Pol beschreibt.
</ref> 
Wie stark diese Schwankung der Bahnneigung ist, hängt neben den Größen der beiden Drehmomente wesentlich auch vom Winkel zwischen diesen beiden ab. Besonders gravierend ist dieser Effekt daher beim Planeten Uranus, dessen Äquatorebene fast senkrecht auf seiner Bahnebene steht.<ref name="DGLkombi2 group=A">Vernachlässigt man diesen Effekt, kommt man zu einer Näherung obiger Differentialgleichung für kleine Winkel zwischen den Ebenen:
:<math>\dot{\vec{\omega}} = -(A+B) \langle \vec{\omega},\vec{n}_L\rangle \vec{n}_L\times\vec{\omega},</math>
wobei <math>\vec{n}_L:=(A \vec{n}_z+B \vec{n}_S)/(A+B)</math> die Normale auf der ''Laplace-Ebene'' ist, die also gerade das gewichtete Mittel aus den Normalen auf Äquator- und Störbahnebene ist.</ref>

== Beispiele ==

=== Jupitermonde ===
[[Datei:Laplace moons of jupiter.svg|thumb|hochkant=1.8|Lage der Laplace-Ebenen wichtiger Jupitermonde in Bezug auf die Rotations- und Bahnebene des Jupiter. Die Pole der verschiedenen Ebenen sind im Diagramm auf die Ekliptik projiziert, so dass der Pol der Ekliptik im Ursprung liegt. Der Frühlingspunkt liegt dabei in Richtung der x-Achse. Ebenfalls dargestellt sind die Pole der Bahnebenen der äußeren Planeten.]]

Im System der zahlreichen Jupitermonde können die verschiedenen oben beschriebenen Effekte beispielhaft nachvollzogen werden.<ref name="JPL" /> Wie man in nebenstehender Grafik erkennen kann, ordnen sich die Pole der Laplace-Ebenen der inneren Monde alle in der Nähe der Rotationsachse des Zentralplaneten unten links im Diagramm an. Die Laplace-Ebene von [[Kallisto (Mond)|Kallisto]] (IV), die einen Abstand von knapp 1,9 Mio. km zum Jupiter hat, ist dabei schon deutlich in die Richtung der Bahnebene des Jupiters und damit der Ebene, in der die Sonne als Störkörper wirkt, gezogen.

Der nächstäußere Mond [[Themisto (Mond)|Themisto]] (XVIII), der etwa 7,5 Mio. km Abstand vom Jupiter hat, hat eine Laplace-Ebene, die schon vornehmlich von der Bahnebene und kaum noch von der Äquatorebene beeinflusst wird (oben rechts im Diagramm). In diesem Bereich ordnen sich auch alle anderen äußeren Monde des Jupiters an. Allerdings wird unmittelbar deutlich, dass allein das Wechselspiel von Äquator- und Bahnebene des Jupiters nicht zur Erklärung der Laplace-Ebenen dieser Monde ausreicht. Diese liegen vielmehr in einer großen Wolke um die Bahnebene des Jupiters. Grund dafür sind die Drehmomente, die in Richtung der Bahnpole der drei weiter außen liegenden großen Planeten Saturn, Uranus und Neptun wirken, die daher ebenfalls eingezeichnet sind. Dieser Effekt lässt sich auch sehr schön im [[#Beispiel: Iapetus|ersten Diagramm dieses Artikels]] für den Saturnmond Iapetus erkennen, dessen Laplace-Ebene deutlich aus der Verbindungslinie zwischen Rotationsachse und Bahnpol in Richtung der Bahnpole der weiter außen gelegenen Planeten gezogen wird.

Ein besonders extremer Fall ist die Laplace-Ebene von [[Ananke (Mond)|Ananke]] (XII), die fast drei Grad über die Bahnebene des Jupiters hinaus geneigt ist und auch jenseits der Bahnebene des Saturns im Diagramm liegt. Unter allen bekannten Jupitermonden stellt Ananke damit einen krassen Ausreißer dar, der nur durch speziell hier auftretende Bahnstörungen erklärt werden kann.

=== Erdmond ===
Die Laplace-Ebene des Erdmonds fällt recht genau mit der Bahnebene der Erde zusammen und nicht mit der Äquatorebene. Der Grund dafür liegt darin, dass – aufgrund der relativen Massen von Sonne und Erde und ihrer relativen Abstände vom Mond – die Anziehungskraft der Sonne auf den Mond zu jedem Zeitpunkt, also auch bei größter Annäherung des Mondes an die Erde, größer ist als die Anziehungskraft der Erde auf den Mond. Genau genommen kreist der Mond nicht um die Erde, sondern um die Sonne, die Erde verursacht lediglich Bahnstörungen. Das Zentrum der Bahndrehung des Mondes ist nicht etwa die Erde, sondern ebenfalls die Sonne. Erde und Erdmond umkreisen die Sonne wie ein Doppelplanet. Die Laplace-Ebene des Mondes ist daher die gleiche wie die der Erde.

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Himmelsmechanik]]
Zurück zur Seite Laplace-Ebene.
Abgerufen von „https://www.cosmos-indirekt.de/Physik-Schule/Laplace-Ebene“