Quelltext der Seite Mathematische Struktur der Quantenmechanik

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Dieser Artikel stellt die '''mathematische Struktur der [[Quantenmechanik]]''' dar.

== Formulierung durch von Neumann ==

Die wesentlichen Grundlagen für die [[Mathematische Strenge|mathematisch strenge]] Formulierung der Quantenmechanik wurden im Jahr 1932 durch [[John von Neumann]] formuliert.
Demnach lässt sich ein [[physikalisches System]] allgemein durch drei wesentliche Bestandteile beschreiben: Seine [[Quantenmechanischer Zustand|Zustände]], seine [[Observable]]n und seine [[Dynamik (Physik)|Dynamik]] (das heißt durch seine zeitliche Entwicklung). Die von Neumannschen Postulate werden hier in leicht aktualisierter Form (Spin, Pauli-Prinzip, siehe unten) dargestellt:

=== Postulate der Quantenmechanik (Kopenhagener Interpretation) ===

Im Rahmen der [[Kopenhagener Interpretation]] basiert die quantenmechanische Beschreibung eines Systems auf folgenden Postulaten:

# Zustand: Der Zustand eines physikalischen Systems zu einem Zeitpunkt <math>t_0</math> wird durch die Angabe eines zum Zustandsraum <math>\mathcal{H}</math> gehörenden komplexen Zustandsvektors <math>|\psi(t_0)\rangle</math> definiert. Vektoren, die sich nur um einen von 0 verschiedenen Faktor <math>c \in\mathbb C</math> unterscheiden, beschreiben denselben Zustand. Der Zustandsraum des Systems ist ein ''[[Hilbertraum]].''
# Observable: Jede Größe <math>A</math>, die physikalisch „gemessen“ werden kann, ist durch einen im Zustandsraum wirkenden [[Hermitescher Operator|hermiteschen Operator]] <math>\hat A</math> beschrieben. Dieser Operator wird als ''[[Observable]]'' bezeichnet und hat ein reelles Spektrum mit einer vollständigen sogenannten Spektralschar, bestehend aus einem „diskreten“ Anteil mit ''[[Eigenvektor]]en'' und Eigenwerten (Punktspektrum) und aus einem Kontinuum.
# Messresultat: Resultat der Messung einer physikalischen Größe <math>A</math> kann nur einer der ''[[Eigenwert]]e'' der entsprechenden Observablen <math>\hat A</math> sein oder bei kontinuierlichem Spektrum des Operators eine messbare Menge aus dem Kontinuum.
# Messwahrscheinlichkeit im Fall eines diskreten nichtentarteten Spektrums: Wenn die physikalische Größe <math>A</math> an einem System im Zustand <math>|\psi\rangle</math> gemessen wird, ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(a_n)</math>, den nichtentarteten Eigenwert <math>a_n</math> der entsprechenden Observable <math>\hat A</math> zu erhalten (mit dem zugehörigen Eigenvektor <math>|u_n\rangle</math>) <math>P(a_n) = |\langle u_n|\psi \rangle|^2</math>. Dabei seien <math>\psi</math> und <math>u_n</math> normiert.
<!--
# Sog. „Zustandsreduktion“: Wenn die Messung der physikalischen Größe <math>A</math> an einem System, das sich vor der Messung im Zustand <math>|\psi\rangle</math> befand, das Messresultat a<sub>n</sub> ergibt, ist der Zustand des Systems unmittelbar nach der Messung die zugehörige normierte ''[[Projektion]]'' <math>\frac{\hat P_n|\psi\rangle}{\sqrt{\langle \psi|\hat P_n|\psi \rangle}}</math> von <math>|\psi\rangle</math> auf den mit a<sub>n</sub> assoziierten Eigenunterraum (analog bei kontinuierlichem Spektrum).
-->
# Die Zeitentwicklung des Zustandsvektors <math>|\psi(t)\rangle</math> ist gegeben durch die ''[[Schrödingergleichung]]:''
#: <math>i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = \hat H(t)|\psi(t)\rangle</math>,
:: wobei <math>\hat H(t)</math> die der totalen Energie des Systems zugeordnete Observable ist.

Dazu kommen Aussagen über [[Spin]] und [[Pauli-Prinzip]], die zwar erst in einer relativistischen Erweiterung der Quantenmechanik begründet werden können, aber bereits für die nichtrelativistische Quantenmechanik wesentlich sind und zum Beispiel das [[Periodensystem der Elemente]] entscheidend bestimmen.

=== Quantenmechanische Zustände ===

In der klassischen Mechanik wird der Zustand eines physikalischen Systems mit <math>f</math> [[Freiheitsgrad]]en und dessen zeitliche Entwicklung durch die Angabe von <math>f</math> Paaren kanonisch konjugierter Variablen <math>(q_i, \,p_i)</math> vollständig bestimmt. Weil in der Quantenmechanik zwei entsprechend zueinander konjugierte Observablen prinzipiell nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmbar sind, stellt sich die grundsätzliche Frage, inwiefern eine entsprechende Definition des Zustands eines quantenphysikalischen Systems sinnvoll ist. Der fundamentale Ansatz im Rahmen der Quantenmechanik, dass ein physikalisches System ''ausschließlich'' über ''gleichzeitig messbare'' Observablen zu definieren ist, ist einer ihrer wesentlichen Unterschiede zur klassischen Mechanik. Erst durch die konsequente Umsetzung einer solchen Zustandsdefinition lässt sich eine Vielzahl quantenphysikalischer Phänomene theoretisch beschreiben.

Im Rahmen der Quantenmechanik wird ein physikalischer Zustand <math>|\psi\rangle</math> über einen maximalen Satz <math>\{O_1, O_2, \dotsc, O_f\}</math> gleichzeitig messbarer Observablen definiert, man spricht in diesem Zusammenhang auch von einem [[Vollständiger Satz kommutierender Observabler|vollständigen Satz kommutierender Observabler]] (VSKO). Observablen können bei einer Messung ganz bestimmte Werte annehmen, deren jeweiliges Spektrum in der Regel vom betrachteten System und von den jeweiligen Observablen abhängt. Die jeweils möglichen Messwerte <math>n</math> bilden das Spektrum der Observablen. Sie können sowohl diskret als auch kontinuierlich verteilt sein. Im diskreten Fall werden sie ''[[Eigenwert]]e'' der Observablen genannt. Meist wird der Einfachheit halber angenommen, dass das Spektrum rein diskret ist, obwohl wichtige Observable existieren, deren Spektrum rein-kontinuierlich ist (zum Beispiel Orts- und Impulsoperator).

Die zu den Eigenwerten zugehörigen Zustände <math>|n\rangle</math> werden als ''[[Eigenzustand|Eigenzustände]]'' der Observablen bezeichnet. Bei kontinuierlichem Spektrum spricht man von ''verallgemeinerten Eigenfunktionen.'' Dabei handelt es sich um [[Distribution (Mathematik)|Distributionen]] wie die [[Delta-Distribution|Dirac-Funktion]] <math>\psi_{\mathbf r'}(\mathbf r):=\delta (\mathbf r-\mathbf r')</math> oder monochromatische, ebene Wellen, <math>\psi_{\mathbf p}(\mathbf r):=\frac{1}{(2\pi\hbar )^{3/2}}\,e^{{\rm i}\mathbf p\cdot\mathbf r/\hbar}</math>, die eigentlich nicht zum Zustandsraum gehören, weil sie nicht quadrat-integrierbar sind, aus denen sich aber durch Integration erlaubte Zustände superponieren lassen (Wellenpaket-Bildung, vgl. [[Fourier-Reihe#Verallgemeinerte Fourier-Reihe|verallgemeinerte Fourier-Reihe]]). Im Folgenden wird, falls nicht anders vermerkt, nur der diskrete Fall betrachtet.

Da sich Messungen bezüglich der Observablen eines VSKO nicht gegenseitig beeinflussen, lässt sich durch die Verwendung geeigneter Filter ein gegebenes quantenphysikalisches System zu einem Zustand ''präparieren,'' der Eigenzustand zu jeder der Observablen des VSKO ist:
: <math>|\psi\rangle = \left|n^{(O_1)},\ldots,n^{(O_f)}\right\rangle.</math>
[[Datei:Zustand in Hilbertraum.svg|mini|300px|Abb. 1: Schematische Darstellung eines 3-dimensionalen Unterraums des i.&nbsp;A. unendlich-dimensionalen Hilbertraums. Der Zustand ist aus einer Linearkombination der Eigenzustände eines VSKO aufgebaut. Die Koordinaten sind die Wahrscheinlichkeitsamplituden.]]

Ein solcher Zustand wird häufig auch ''reiner Quantenzustand'' genannt. Er ist über seine zugehörigen Eigenwerte definiert und maximal bestimmt.

Es sei betont, dass über einen derart präparierten Quantenzustand –&nbsp;im Gegensatz zum Zustand eines klassischen Systems&nbsp;– ''nicht sämtliche'' messbaren Eigenschaften des physikalischen Systems bestimmt sind! Für Observablen, die mit dem VSKO unverträglich sind, kann für jeden ihrer Eigenwerte lediglich eine bestimmte Wahrscheinlichkeit angegeben werden, mit der dieser aus einer Messung resultiert; das Messergebnis ist in jedem Fall ein Eigenwert der Observablen. Diese ''prinzipielle Unbestimmtheit'' hängt mit der o.&nbsp;g. Unbestimmtheitsrelation zusammen. Sie ist eine der wichtigsten Aussagen der Quantenmechanik und ist zugleich Ursache für vielerlei Ablehnung dieser gegenüber.

Für ein gegebenes quantenphysikalisches System bilden die zu den Eigenwerten einer Observablen gehörenden Eigenzustände einen ''linearen'' Zustandsraum <math>\mathcal H</math>&nbsp;– mathematisch einen sogenannten ''[[Hilbertraum]].'' Dieser stellt die Gesamtheit aller möglichen Zustände des Systems dar und hat damit im Allgemeinen bereits bei einfachen Systemen wie dem [[Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)|quantenmechanischen harmonischen Oszillator]] unendlich viele Dimensionen; allerdings kommt man mit abzählbar-unendlich-dimensionalen Räumen (separablen Hilberträumen) aus. Dem widerspricht nicht, dass es auch Messgrößen mit kontinuierlichem Spektrum gibt. Wesentlich ist jedenfalls, dass auch eine lineare ''Überlagerung'' mehrerer Eigenzustände wieder Teil des Zustandsraumes ist, selbst wenn der Überlagerungszustand kein Eigenzustand der Observablen ist. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einer ''[[Superposition (Physik)|Superposition]]'' mehrerer Zustände. Diese Eigenschaft ist vergleichbar mit der von [[Vektor]]en in einer Ebene, deren Überlagerung ebenfalls ein Vektor in der Ebene ist.

Ein einfaches Beispiel eines Quantensystems ist das [[Zweizustandssystem]], siehe dazu den Artikel [[Qubit]].

=== Statistische Aussagen der Quantenmechanik ===

[[Datei:messwertverteilung.svg|mini|300px|Abb. 2: Wahrscheinlichkeiten diskreter Messwerte der Observablen <math>O</math>, Erwartungswert und Standardabweichung.]]

Aus der Zerlegung des Zustandes in eine lineare Kombination der orthonormalen Eigenzustände <math>|n_i\rangle</math> der Observablen ergibt sich mit dem [[Betragsquadrat]] <math>|\omega_i|^2</math> des entsprechenden Vorfaktors ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, bei einem solchen Überlagerungszustand den Eigenwert <math>n_i</math> zu messen, also das System im Eigenzustand <math>|n_i\rangle</math> anzutreffen. Die Koeffizienten <math>\omega_i</math> werden daher als „Wahrscheinlichkeitsamplituden“ für die Messwerte <math>n_i</math> bezeichnet. Sie lassen sich als Projektion (=&nbsp;Skalarprodukt) von <math>|\psi\rangle</math> auf den jeweiligen Eigenzustand <math>|n_i\rangle</math> berechnen (siehe Abb.&nbsp;2):
: <math>\omega_i = \langle n_i|\psi\rangle</math>

Demnach ergeben sich bei wiederholter Durchführung einer Messung einer Observablen i.&nbsp;A. unterschiedliche Messergebnisse, auch wenn das System vor der Messung immer im gleichen Zustand war. Ausnahme: Sofern das System in einem Eigenzustand einer Observablen <math>O</math> präpariert wurde, ergeben weitere Messungen dieser Observablen jeweils den gleichen Messwert. Experimentell lassen sich die statistischen Verteilungen der Messwerte <math>n_i</math> durch wiederholte Durchführung von Messungen an identisch präparierten Systemen ermitteln. Dieser Zusammenhang zwischen dem Messprotokoll und dem mathematischen Kalkül der Quantenmechanik bestätigt sich in allen Experimenten.

Hierbei wird der Einfachheit halber angenommen, dass man es mit einem rein diskreten Spektrum zu tun hat.

=== Zeitliche Entwicklung ===

Die Dynamik von Quantenzuständen wird durch unterschiedliche Repräsentationen, die sogenannten „Bilder“, beschrieben, die sich durch Redefinition der Operatoren und Zustände ineinander überführen lassen und somit äquivalent sind. Für alle Bilder sind die Erwartungswerte von Operatoren gleich.

==== Schrödinger-Bild ====

Im [[Schrödinger-Bild]] ergibt sich die Dynamik aus folgender Betrachtung:
Der Zustand ist definiert durch eine differenzierbare [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] der durch <math>t</math> parametrisierten Zeit auf den Hilbertraum der Zustände. Wenn <math>\left|\psi\left(t\right)\right\rangle</math> den Zustand des Systems zu einer beliebigen Zeit <math>t</math> beschreibt, gilt die sog. [[Schrödingergleichung]]

:<math>\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\psi_{S}(t)\right\rangle =\hat{H}_{S}(t)\left|\psi_{S}(t)\right\rangle,</math>

mit <math>\hat H_S</math> als einem dicht-definierten selbstadjungierten Operator, dem [[Hamiltonoperator]], der [[Imaginäre Einheit|imaginären Einheit]] <math>\rm i</math> und dem reduzierten [[Plancksches Wirkungsquantum|Planckschen Wirkungsquantum]] <math>\hbar</math>. Als Observable entspricht <math>\hat H_S</math> der Gesamtenergie des Systems. Im Allgemeinen kann der Hamiltonoperator zeitabhängig sein, z.&nbsp;B. bei Wechselwirkung des Systems mit einem elektromagnetischen Feld.

Die Zeitentwicklung eines Zustandes ist gegeben durch den [[Zeitentwicklungsoperator|unitären Zeitentwicklungsoperator]] <math>\hat U(t, t_0)</math> (<math>\hat{\mathcal T}</math> ist der Zeitordnungsoperator, siehe unten):

:<math>|\psi_S(t)\rangle=\hat U(t,t_0)|\psi_S(t_0)\rangle,</math>

wobei

:<math>\hat{U}(t,t_{0})=\hat{\mathcal T}\left[\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\int_{t_{0}}^{t}\hat{H}_{\text{S}}(t^{\prime})dt^{\prime}\right)\right]\quad (\,\overset{\frac{\partial\hat{H}_{\text{S}}}{\partial t}=0}{=}\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_{\text{S}}\cdot (t-t_{0})\right)\,).</math>

Der Zeitordnungsoperator <math>\hat{\mathcal T}</math> sorgt dafür, dass Operatorprodukte der Form <math>\hat A_1(t_1)\cdot \hat A_2(t_2)\cdot\dots \cdot\hat A_n(t_n)</math> bei Nicht-Vertauschbarkeit so umgeordnet werden, <math>\to\hat A_{i_1}(t_{i_1})\cdot \hat A_{i_2}(t_{i_2})\cdot\dots \cdot\hat A_{i_n}(t_{i_n}),</math> dass <math>t_{i_1}\ge t_{i_2}\ge\dots\ge t_{i_n}</math> gilt. Das ergibt eine Kausalkette; rechts Ursache, links Wirkung.

==== Heisenberg-Bild ====

Im [[Heisenberg-Bild]] der Quantenmechanik wird anstelle zeitlicher Änderungen der Zustände, die in diesem Bild konstant bleiben, die Zeitabhängigkeit durch zeitabhängige Operatoren für die Observablen beschrieben. Für die zeitabhängigen Heisenberg-Operatoren ergibt sich für <math>t\ge t_0</math> die Differentialgleichung ([[Heisenbergsche Bewegungsgleichung]])

:<math>\frac{\mathrm{d}\hat{A}_{{\rm H}}(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left[\hat{H}_{H}(t),\hat{A}_{H}(t)\right]+\frac{\partial\hat{A}_{S}(t)}{\partial t},</math>

wobei <math>\hat{A}_{S}(t)</math> den Operator im Schrödingerbild bezeichnet. Mit dem (schon bekannten) [[Zeitentwicklungsoperator]] <math>\hat{U}(t,t_{0})</math> werden die Zustände und Operatoren im Heisenbergbild mit denen im Schrödinger-Bild über folgende Beziehungen verknüpft:

:<math>|\psi_{\text{H}}\rangle=\hat{U}^{\dagger}(t,t_{0})|\psi_{\text{S}}(t)\rangle=|\psi_{\text{S}}(t_{0})\rangle=\text{const}_{\,t}\quad\,(\,\Rightarrow\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi_{\text{H}}\rangle\equiv 0\,)</math>

:<math>\hat{A}_{\text{H}}(t)=\hat{U}^{\dagger}(t,t_{0})\,\hat{A}_{{\rm \text{S}}}(t)\,\hat{U}(t,t_{0})\quad\,(\,\Rightarrow\,\hat{A}_{H}(t_{0})\equiv\hat{A}_{\text{S}}(t_{0})\,)</math>

==== Dirac-Bild ====

Im Dirac- oder [[Wechselwirkungsbild]] sind im Allgemeinen Zustände und Operatoren zeitabhängig. Im Schrödingerbild sei der Hamiltonoperator aus einem zeitunabhängigen und einem zeitabhängigen hermiteschen Operator zusammengesetzt:

:<math>\hat{H}_{S}(t)=\hat{H}_{S}^{(0)}+\hat{V}_{S}(t)</math>

Im Wechselwirkungsbild benutzt man dann für die Observablen nur die Ähnlichkeitstransformation mit <math>e^{\pm\frac{{\rm i}}{\hbar}(t-t_0)\hat{H}_{S}^{(0)}}</math> und für die Zustände den entsprechend gebildeten Ausdruck
: <math>\hat{V}_{\text{I}}(t)\,:=e^{{\rm i}(t-t_{0})\hat{H}_{S}^{(0)}/\hbar}\hat{V}_{S}(t)\, e^{-{\rm i}(t-t_{0})\hat{H}_{S}^{(0)}/\hbar}</math>.
Daraus folgt insbesondere <math>\hat{H}_{I}^{(0)}=\hat{H}_{S}^{(0)}</math>.

Das Wechselwirkungsbild ist dann am nützlichsten, wenn die zeitliche Entwicklung der Observablen exakt lösbar ist (das heißt, wenn <math>\hat{H}_{S}^{(0)}</math> „trivial“ ist), sodass sämtliche mathematischen Komplikationen auf die Zeitentwicklung der Zustände begrenzt bleiben. Aus diesem Grund wird der Hamiltonoperator für die Operatoren als „freier Hamiltonoperator“ und der Hamiltonoperator für die Zustände als „Wechselwirkungs-Hamiltonian“ bezeichnet. Die dynamische Entwicklung wird also jetzt durch folgende zwei Gleichungen beschrieben:

* erstens die ''Zustandsgleichung'' (vgl. Schrödingergleichung)

:<math>\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\psi_{\text{I}}(t)\right\rangle =\hat{V}_{\text{I}}(t)\left|\psi_{\text{I}}(t)\right\rangle </math>

* und zweitens die ''Operatorgleichung'' (vgl. Heisenbergsche Bewegungsgleichung)

:<math>\frac{\mathrm{d}A_{{\text{I}}}(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left[H_{\text{I}}^{(0)},A_{\text{I}}(t)\right] </math>

Mit dem Zeitentwicklungsoperator des zeitunabhängigen Teilproblems

:<math>\hat{U}^{(0)}=\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_{S}^{(0)}\cdot (t-t_0)\right)</math>

werden Zustände und Operatoren im Dirac-Bild mit denen im Schrödinger-Bild über folgende Beziehungen verknüpft:

:<math>|\psi_{\text{I}}(t)\rangle=\hat{U}^{(0)\dagger}(t,t_{0})|\psi_{\text{S}}(t)\rangle\quad\,(\,\Rightarrow\,|\psi_{\text{I}}(t_{0})\rangle\equiv|\psi_{\text{S}}(t_{0})\rangle\,)</math>

:<math>\hat{A}_{\text{I}}(t)=\hat{U}^{(0)\dagger}(t,t_{0})\,\hat{A}_{{\rm \text{S}}}(t)\,\hat{U}^{(0)}(t,t_{0})\quad(\,\Rightarrow\,\hat{A}_{\text{I}}(t_{0})\equiv\hat{A}_{\text{S}}(t_{0})\,)</math>

==== Bemerkungen ====

Zum Zeitpunkt <math>t_0</math> stimmen die Operatoren und Zustände aller Bilder überein:

:<math>\hat{A}_{\text{I}}(t_{0})=\hat{A}_{\text{H}}(t_{0})=\hat{A}_{\text{S}}(t_{0})</math>
:<math>|\psi _{\text{I}}(t_{0})\rangle =|\psi _{\text{H}}(t_{0})\rangle =|\psi _{\text{S}}(t_{0})\rangle</math>

Das Heisenbergbild entspricht der klassischen Hamilton-Mechanik (zum Beispiel entsprechen die Kommutatoren <math>\frac{\mathrm i}{\hbar}[{\hat A},{\hat B}]</math> der Quantenmechanik den klassischen [[Poisson-Klammer]]n). Physikalisch ist aber das Schrödinger-Bild intuitiver. Das [[Dirac-Bild]] wird häufig in der [[Störungstheorie (Quantenmechanik)|Störungstheorie]] angewandt&nbsp;– speziell in der [[Quantenfeldtheorie]] und der [[Vielteilchenphysik]].

Manche Wellenfunktionen bilden Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die sich mit der Zeit nicht ändern. Viele Systeme, die in der klassischen Mechanik mit einem dynamischen Zeitverhalten beschrieben werden müssen, weisen in der quantenmechanischen Beschreibung solche „statischen“ Wellenfunktionen auf. Zum Beispiel wird ein einzelnes [[Elektron]] in einem [[Atom]] im Grundzustand durch eine kreisförmige Trajektorie um den [[Atomkern]] beschrieben, während es in der Quantenmechanik durch eine statische, kugelsymmetrische Wellenfunktion beschrieben wird, die den Atomkern umgibt. (Man beachte, dass nur die kleinsten Drehimpuls-Zustände, die „s“-Wellen, kugelsymmetrisch sind).

Die Schrödingergleichung ist wie die eng verwandte Heisenberggleichung und die Gleichungen des Wechselwirkungsbildes eine partielle Differentialgleichung, die nur für einige wenige Modellsysteme analytisch gelöst werden kann (zu den wichtigsten Beispielen gehören der quantenmechanische harmonische Oszillator und das Elektron im Coulombpotential). Selbst die Elektronenstruktur des [[Helium]]-Atoms, das nur ein Elektron mehr als Wasserstoff aufweist, ist bereits nicht mehr analytisch berechenbar. Es existieren jedoch eine Reihe verschiedener Techniken zur Berechnung von Näherungslösungen. Ein Beispiel ist die bereits erwähnte ''Störungstheorie,'' bei der vorhandene analytische Lösungen vereinfachter Modellsysteme als Ausgangspunkt zur Berechnung komplexerer Modelle verwendet werden. Diese Methode ist insbesondere dann erfolgreich, wenn sich die Wechselwirkungen des komplexen Modells als „kleine“ Störungen des einfachen Modellsystems formulieren lassen. Eine andere Methode ist die sogenannte „semiklassische Näherung“, die auf Systeme angewendet werden kann, die nur kleine Quanteneffekte aufweisen. Die quantenmechanisch bedingten Effekte können dann unter der Annahme klassischer Bewegungstrajektorien berechnet werden. Dieser Ansatz wird zum Beispiel bei der Erforschung des [[Quantenchaos]] zugrunde gelegt.

== Spin ==

Neben ihren sonstigen Eigenschaften besitzen viele Teilchen eine Art Eigendrehimpuls, den [[Spin]], für den es in der klassischen Physik kein Pendant gibt. Der Spin ist in Einheiten von <math>\hbar</math> ganz- oder halbzahlig quantisiert, in der Ortsdarstellung gilt demnach nicht <math>\psi = \psi(\mathbf r)</math>, sondern <math>\psi =\psi(\mathbf r, m_s)</math>, wobei <math>m_s</math>, das oft mit <math>\sigma</math> bezeichnet wird, einer der folgenden diskreten Werte ist: <math>m_s \in \{-S, -(S-1), \dotsc, +(S-1), +S\}</math>.

Man unterscheidet [[Boson]]en (<math>S \in \{0, 1, 2, \dotsc\}</math>) und [[Fermion]]en (<math>S \in \{\frac12, \frac32, \frac52, \dotsc\}</math>).

== Pauli-Prinzip ==

Damit verknüpft ist für Systeme aus <math>N</math> identischen Teilchen das sogenannte [[Pauli-Prinzip]], das zum Beispiel in der Ortsdarstellung besagt, dass bei Vertauschung zweier der <math>N</math> Teilchen, <math>i\leftrightarrow j</math>, für die <math>N</math>-Teilchen-Wellenfunktion folgendes Permutationsverhalten gelten muss:

<math>\psi(\dotsc;\,\mathbf r_i,\sigma_i;\,\dotsc;\,\mathbf r_j,\sigma_j;\,\dotsc) \stackrel{!}{=}(-1)^{2S}\cdot \psi(\dotsc;\,\mathbf r_j,\sigma_j;\,\dotsc;\,\mathbf r_i,\sigma_i;\,\dotsc),</math>

das heißt, für Bosonen muss sich der Vorfaktor +1, für Fermionen dagegen −1 ergeben.<ref>Das Auftreten des Faktors −1 bei Fermionen kann man mit dem ungewöhnlichen ''Drehverhalten'' dieser Teilchen in Zusammenhang bringen, indem man sich etwa vorstellt, dass die Vertauschung zweier identischer Fermionen so vor sich geht, dass das eine Teilchen auf dem unteren Halbkreis von <math>P_i</math> nach <math>P_j</math> läuft und gleichzeitig das andere auf dem oberen Halbkreis von <math>P_j</math> nach <math>P_i</math>. Insgesamt entsteht so ein Umlauf um 360°, was bei Fermionen einen Faktor −1 impliziert.</ref> In zwei Raumdimensionen kann <math>(-1)^{2S}</math> durch eine beliebige komplexe Zahl vom Betrag Eins ersetzt werden (siehe [[Anyon]]). Bei sog. [[Supersymmetrie|supersymmetrischen]] Theorien, wie sie in der Hochenergiephysik diskutiert werden, wäre der Zustand eine Linearkombination aus einem bosonischen und einem fermionischen Anteil.

Elektronen sind Fermionen mit <math>S=1/2</math>; Photonen sind Bosonen mit <math>S=1</math>.

== Neuere Formalismen ==

Ein alternativer Ansatz zur Berechnung quantenmechanischer Systeme ist der [[Pfadintegral]]-Formalismus von [[Richard Feynman]], bei dem eine quantenmechanische Amplitude als Summe über die Wahrscheinlichkeitsamplituden für alle theoretisch möglichen Pfade eines Teilchens bei seiner Bewegung von einem Ausgangszustand zu einem Zielzustand dargestellt wird. Diese Formulierung ist das quantenmechanische Analogon zum klassischen [[Hamiltonsches Prinzip|Wirkungsprinzip]].

Erst in neuerer Zeit ist eine allgemeinere mathematische Beschreibung von Observablen durch positiv-operatorwertige Wahrscheinlichkeitsmaße ([[Positive Operator Valued Probability Measure]]s) entstanden, die in der traditionellen Lehrbuchliteratur noch kaum behandelt wird. Operationen auf Quantensystemen werden in der modernen, aber noch wenig bekannten Version der Quantenmechanik durch [[Vollständig positiver Operator|vollständig positive Abbildungen]] sehr umfassend und mathematisch beschrieben. Diese Theorie verallgemeinert sowohl die unitäre Zeitentwicklung als auch die oben beschriebene traditionelle von-Neumannsche Beschreibung der Veränderung eines Quantensystems bei einer Messung. Konzepte, die nur schwer im traditionellen Bild beschrieben werden können, wie zum Beispiel kontinuierlich ablaufende unscharfe Messungen, fügen sich problemlos in diese neuere Beschreibung ein.
Zu nennen ist hier auch die Methode der sogenannten [[C*-Algebra|C*-Algebren]].

== Literatur ==

* J. von Neumann: ''Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik.'' Springer, Berlin 1932.
* [[Claude Cohen-Tannoudji]]: ''Quantenmechanik.'' de Gruyter, 1999, ISBN 3-11-016458-2.
* Wolfgang Nolting: ''Grundkurs Theoretische Physik 5/1 (Quantenmechanik – Grundlagen).'' Springer, 2008, ISBN 978-3-540-68868-6.

== Einzelnachweise und Fußnoten ==

<references />

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[[Kategorie:Mathematische Modellierung]]
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